湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期5月适应性考试（一）数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）．
A. R B. C. D.
2. 若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D. i
3. 点 绕原点 按逆时针方向旋转 到达点 ，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知椭圆的两个焦点为 ， ，点 在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 设函数 是奇函数.若函数 ， ，则 （ ）
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
6. 已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A 21 B. 42 C. 63 D. 84
7. 的展开式中 系数为（ ）
A. 180 B. 90
C 20 D. 10
8. 已知数列 满足 ，且 ，则使不等式 成立的 的最
大值为（ ）
A. 98 B. 99 C. 100 D. 101
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二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题列出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三
学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩 与历史类班级女生的成绩 均服从正态分布，且
， ，则( ).
A B.
C. D.
10. 已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 是奇函数 D. 在 上单调递减
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于 轴对称，且在 上不单调
B. 导函数 的图象关于原点对称，且在 上单调递增
C. 函数 在 上单调递增
D. 对于任意 都有 ，且
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知抛物线 上位于第一象限内的点 到抛物线的焦点 的距离为 5，过点 作圆
的切线，切点为 ，则 _____．
13. 是公差为 2 的等差数列 的前 n 项和，若数列 也是等差数列，则 ________.
14. 《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意
思如下：今有一个刍童，上底面宽 1 尺、长 2 尺，下底面宽 3 尺、长 4 尺，高 1 尺．刍童是上、下底面为
相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若 A 是该六面体上底面的一
个顶点，点 M 在下底面的外接圆上，则线段 AM 长度的最大值为________尺．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，四边形 中， ， ， ， 且 为锐角．
（1）求 ；
（2）求 的面积．
16. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
17. 如图，已知斜三棱柱 侧面 是正方形，侧面 是菱形，平面 平
面 ， ， ，点 E，F 分别是棱 ，AC 的中点．
（1）求证： ；
（2）设直线 AB 与平面 的交点为 M，求 AM 的长；
（3）求二面角 的余弦值．
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18. 如图，双曲线 ： 的虚轴长为 2，离心率为 ，斜率为 的直线 过 轴上
一点 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若双曲线 上存在关于直线 对称的不同两点 ， ，直线 与直线 及 轴的交点分别为 ， .
（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）当 时，求 最小值.
19. 你参与一场游戏，游戏一共 100 局，你的起始分数为 0 分；每局游戏胜利加一分，失败扣一分．已知每
局胜利与否相互独立，第 局中你胜利的概率为 ，记第 局结束后你的得分为 ，若
且 中恰有 51 个数大于 0，则称这是一场完美游戏．
（1）写出 的分布列；
（2）设 ．
（ⅰ）若这是一场完美游戏，求 的最小值 ；
（ⅱ）若事件“这是一场完美游戏且 ”发生的概率为 P，证明： ．
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