湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期5月适应性考试（一）数学试卷 含解析

这是一份湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期5月适应性考试（一）数学试卷 含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）．
A. R B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的交集计算和二次不等式以及指数函数的不等式解法即可求解.
【详解】 ,
,
,
故选：B.
2. 若复数 满足 ，则 虚部为（ ）
A. B. 1 C. D. i
【答案】B
【解析】
【分析】先求出 ，结合虚部的概念可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 的虚部为 1.
故选：B
3. 点 绕原点 按逆时针方向旋转 到达点 ，则点 的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义，结合诱导公式求解.
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【详解】以原点为角的顶点， 轴的非负半轴为角的始边，令角 的终边过点 ，
则 角 终边过点 ，且 ，
于是 ， ，
，
所以点 的坐标为 .
故选：B
4. 已知椭圆的两个焦点为 ， ，点 在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得 ，由椭圆的定义可得 ，利用两点间的距离公式可求得 ，可求得椭
圆的离心率.
【详解】由题意，设 ， ， ，
则 ， ，
，
则 ，则 ，
所以椭圆的离心率为 .
故选：A.
5. 设函数 是奇函数.若函数 ， ，则 （ ）
A. 27 B. 28 C. 29 D. 30
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇函数定义可得 ，再利用赋值法由 代入计算可得结果.
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【详解】由函数 是奇函数可知 ，
因此可得 ；
又 ，因此 ；
两式相加可得 ；
又 ，因此 .
故选：B
6. 已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A. 21 B. 42 C. 63 D. 84
【答案】D
【解析】
【分析】设等比数列 公比为 q，根据给定条件求出 即可计算作答.
【详解】等比数列 公比为 q，由 得： ，即 ，而
，解得 ，
所以 .
故选：D
7. 的展开式中 系数为（ ）
A. 180 B. 90
C. 20 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】先求得 的通项公式，以及每一项的系数，再根据 系数的产生，即可求得结果.
【详解】 展开式通项公式 ，
其各项次数依次为 ,
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所以 的系数是 的一次项系数 2 乘以 展开式的 的系数.
由 展开式通项公式 知 解得 ，
所以 系数为 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式求指定项的系数，属基础题.
8. 已知数列 满足 ，且 ，则使不等式 成立的 的最
大值为（ ）
A. 98 B. 99 C. 100 D. 101
【答案】B
【解析】
【分析】利用取倒数法并构造新数列 求其通项公式，再由等比数列求和公式结合数列的单调性解
不等式即可.
【详解】由 ， 可得 ，
易知 ，两侧同时除 ，可得 ，整理得 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
故 ，
故 ，
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易知 单调递增， ，所以
.
故选：B
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题列出的四个选项中，有多个选
项是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.某中学高三
学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩 与历史类班级女生的成绩 均服从正态分布，且
， ，则( ).
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于 A：由 ，得 ，故 A 正确；
对于 B：由 ，得 ，故 B 错误；
对于 C：因为 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D：由于随机变量 、 均服从正态分布，且对称轴均为直线 ，
，所以在正态分布曲线上， 的峰值较高，
正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以 ，故 D 错误.
故选：AC.
10. 已知函数 ，则下列命题正确的是（ ）
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 是奇函数 D. 在 上单调递减
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【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，需找出使函数有意义的自变量取值范围；对于 B，则根据函数的性质和自变量的取值范围
来确定；对于 C，奇偶性通过判断 与 的关系得出；对于 D，单调性可利用复合函数单调性的判
断规则来分析.
【详解】由 ，解得 ， ，所以 的定义域为 ，A 错误.
， ，所以 的值域为 ，B 正确.
，所以 是奇函数，C 正确.
当 时，函数 单调递增，且 .函数 在 上单调递减，根据复合函数
的单调性可得 在 上单调递减，D 正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于 轴对称，且在 上不单调
B. 导函数 图象关于原点对称，且在 上单调递增
C. 函数 在 上单调递增
D. 对于任意 都有 ，且
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性定义，利用导数判断单调性可依次判断各个选项.
【详解】 ， ，
又 ，
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所以 偶函数，其图象关于 对称，
又 ，而
，
所以 为奇函数，其图象关于原点对称，
令 ，
则 ，所以 在 R 上单调递增，
又 ，则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 在 上不单调，故 A，B 正确，C 错误；
因为函数 在 上单调递增，且为偶函数，所以 ， ，故 D
正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据函数奇偶性定义可判断 及 的奇偶性，求出 的导数，令
可判断 的正负，从而可得 的正负，则可判断 的单调性，
可判断 A，B，C 选项，再根据 是偶函数及在 上单调递增，可判断选项 D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知抛物线 上位于第一象限内的点 到抛物线的焦点 的距离为 5，过点 作圆
的切线，切点为 ，则 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线的定义求出点 的坐标，再将圆的方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，最后
根据切线的性质，利用勾股定理求值.
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【详解】
在抛物线 中， ，则 ，所以焦点 ，准线方程为 .
设点 ，根据抛物线的定义，可得 ，解得 .
把 代入 ，得 ，因为 ，所以 ，即 .
将圆 化为标准方程： ，从而圆心为 ，半径 .
故 .
故答案为： .
13. 是公差为 2 的等差数列 的前 n 项和，若数列 也是等差数列，则 ________.
【答案】 或 3
【解析】
【分析】
可由特殊值求出 ，再验证对所有正整数 ，都有数列 是等差数列
【详解】由题意 ，
∵数列 是等差数列
∴ ， ，解得 或 ，
时， ， 时， ，均为 的一次函
数，数列 是等差数列，
故答案为： 或 3.
【点睛】本题考查等差数列的前 项和公式，考查等差数列的证明，如果数列的通项公式是 的一次函数，
则数列一定是等差数列．
14. 《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意
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思如下：今有一个刍童，上底面宽 1 尺、长 2 尺，下底面宽 3 尺、长 4 尺，高 1 尺．刍童是上、下底面为
相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若 A 是该六面体上底面的一
个顶点，点 M 在下底面的外接圆上，则线段 AM 长度的最大值为________尺．
【答案】
【解析】
【分析】设点 A 在底面上的射影是 Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆 ，易知 Q， ，M 三点共线
时，线段 AM 的长度最大，再根据已知求线段 AM 的长度.
【详解】如图，设点 A 在底面上的射影是 Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆 ，
当 Q， ，M 三点共线时，线段 AM 的长度最大，
由题意得 ， ， ，
因为 圆 所在平面，所以 ．
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，四边形 中， ， ， ， 且 为锐角．
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（1）求 ；
（2）求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形面积公式求得 ，利用余弦定理求得 ，分析可知 BD 是四边形 外
接圆的直径，再利用正弦定理可求解；
（2）由面积公式即可得解.
【小问 1 详解】
由已知 ，
∵ 是锐角，∴ ．
由余弦定理可得 ，则 ．
∵ ，∴BD 是四边形 外接圆的直径，
∴BD 是 外接圆的直径，利用正弦定理知
【小问 2 详解】
由 ， ， ， ，
则 , ,
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又 ，则 ，
因此 ，
故 的面积为 ．
16. 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可，
（2）对函数二次求导后可得 在区间 上递增，再由 可分析得 在
上单减，在 上单增，从而可求出函数的最值
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
， ，
函数曲线 在点 处的切线方程为 .
【小问 2 详解】
当 ， ，
在区间 上递增，
又 ，
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所以，当 ， ，
所以 在 上单减，
当 ， ，所以 在 上单增.
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
令 ，则 ， ，
所以 在 上递增，
因为 ，
所以 在 上递增，
所以 ，所以
所以 .
17. 如图，已知斜三棱柱 的侧面 是正方形，侧面 是菱形，平面 平
面 ， ， ，点 E，F 分别是棱 ，AC 的中点．
（1）求证： ；
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（2）设直线 AB 与平面 交点为 M，求 AM 的长；
（3）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见详解
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）做辅助线，可证 平面 ，建系标点，利用空间向量证明线线垂直；
（2）设 ，求平面 的法向量，根据空间位置关系结合向量垂直运算求解；
（3）分别求平面 、平面 的法向量，利用空间向量求二面角.
【小问 1 详解】
取 的中点 ，连接 ，
由题意可知： 为等边三角形，则 ，
又因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
可得 平面 ，且 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，平行于 的直线为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
则 ，所以 .
【小问 2 详解】
设 ，则 ，
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由（1）可得： ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
由题意可知： ，则 ，解得 ，
所以 AM 的长为 .
【小问 3 详解】
因为 ，
设平面 （即平面 ）的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
则 ，
由图可知：二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .
18. 如图，双曲线 ： 的虚轴长为 2，离心率为 ，斜率为 的直线 过 轴上
一点 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）若双曲线 上存在关于直线 对称的不同两点 ， ，直线 与直线 及 轴的交点分别为 ， .
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（i）当 时，求 的取值范围；
（ii）当 时，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）（i） ；（ii）
【解析】
【分析】（1）由虚轴及离心率可得 ，即可得双曲线方程；
（2）令 ，设直线 为： ，将直线 BC 方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得
， .（i）代入 ，可得 ， ，结合 ，可得
，最后由 可得答案；（ii）由 ，结合 ， ， ，可得
关于 的表达式，然后由基本不等式可得答案.
【小问 1 详解】
由题知 ，解得 ，双曲线 E 的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
令 ，设直线 为： ，与 联立得
，当 时，
设 ，则由韦达定理，及题意可得：
则 ， ，.
（i）当 时， ， ，
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由 ，得 ，
又因为 ，即 ，
所以 ；
（ii）由题知 ， .
因为 ，
所以 ，又 ， ，
则 ，
，
又 ，
则 ，
则 ，
当 取得，此时 满足题意.
综上， 的最小值为 .
【点睛】关键点睛：对于双曲线中所涉及的范围问题，常利用双曲线上点的横坐标范围，判别式，点与双
曲线位置关系求解；对于最值问题，常先找到所求量关于某变量的表达式，再利用函数知识或基本不等式
求解.
19. 你参与一场游戏，游戏一共 100 局，你的起始分数为 0 分；每局游戏胜利加一分，失败扣一分．已知每
局胜利与否相互独立，第 局中你胜利的概率为 ，记第 局结束后你的得分为 ，若
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且 中恰有 51 个数大于 0，则称这是一场完美游戏．
（1）写出 的分布列；
（2）设 ．
（ⅰ）若这是一场完美游戏，求 的最小值 ；
（ⅱ）若事件“这是一场完美游戏且 ”发生的概率为 P，证明： ．
【答案】（1）见解析.
（2）（i） （ii）见解析.
【解析】
【分析】（1）要求 的概率分布，需分析前三局的胜负情况，并计算对应的概率值；
（2）（i）主要用到题目中的“完美游戏”的定义，然后一步步大量计算求得 的最小值；
（ii）分析得 ，再设 ，计算 和 的表达式即可.
【小问 1 详解】
表示玩完前 3 局后的得分，
的可能的值为： .
分别求得概率为：
.
.
.
所以 的分布列为
3 1 -1
【小问 2 详解】
（i）首先证明： 中必有大于 1 的，
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否则其中有 51 个 1，必有相邻两项同时为 1，这是不可能的.
因此，设 中的最大值为 ，则 .
又 .
因此 .
当 时取等，
所以 的最小值 .
(ii)由（i）知，取等必有 ，且 .
因此 中只有一个数大于 1，共有 50 个 1；
又 ，所以 .
设 ，则 ，那么 .
设事件 的概率为 ，
事件 的概率为 ,
又 .
因此所求概率 .
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