广东省广州市部分重点高中2025-2026学年高一下学期5月联考试题 数学（含解析）

这是一份广东省广州市部分重点高中2025-2026学年高一下学期5月联考试题 数学（含解析），共58页。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第一册,必修第二册第六章至第八章8.1。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x-2≥0},则A∩(∁RB)=
A.{-1,0,1,2} B.{-1,0,1}
C.{2} D.{x|xa>c B.c>b>a C.a>c>b D.a>b>c
4.在△ABC中,点D在边BC上,且满足BD=3DC,E为AD的中点,则BE=
A.-58AB+38AC B.-78AB+58AC C.-78AB+38AC D.-58AB+18AC
5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=6,cs A=33,则b+csinB+sinC=
A.23 B.63 C.66 D.36
6.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=3,且(a-2b)⊥(a+b),则向量a在向量b上的投影向量为
A.73b B.-79b C.79b D.-73b
7.已知复数z满足|z-2+2i|=2,则|z+1-2i|的最小值为
A.5-2 B.3 C.2 D.1
8.如图,在△ABC中,BD=DC,E在边AC上,且BE⊥AC,若AD=6,BC=8,则|AE||AC|=
A.20 B.24 C.26 D.28
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知复数z1=2+ai(a∈R),z2=1-2i,若z1z2为纯虚数,则下列说法正确的有
A.a=-1 B.z1z2=5i
C.|z1|=5 D.z1+z2在复平面内对应的点为(3,3)
10.下列关于立体图形的说法错误的是
A.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥
B.侧面都是矩形的四棱柱是长方体
C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.圆台的母线延长后一定交于同一点
11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1+x)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=lg2(x+1),则
A.函数f(x)的周期为4
B.函数f(x)在[-3,-1]上单调递增
C.关于x的方程f(x)=lg2|x|有且仅有2个不同的实根
D.当x∈[2,3]时,f(x)=-lg2(x-1)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形,且所有棱长之和为48,则该正六棱柱的侧棱长为 ▲ .
13.已知x>0,y>0,且3x+y=1,则1x+3y的最小值为 ▲ ,此时x= ▲ .
14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=k,b=4,A=30°,则使△ABC有两解的k的取值范围是 ▲ .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知复数z=2-i11i5+i8+i9.
(1)求z的共轭复数z;
(2)求z2的实部和虚部;
(3)若复数w=z+m+mi(m∈R)在复平面内对应的点位于第四象限,求m的取值范围.
16.(15分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cs B=14.
(1)求b的值;
(2)求sin C的值;
(3)求△ABC的面积.
17.(15分)
已知函数f(x)=2sin xcs x+23cs2x-3.
(1)求函数f(x)的最小正周期和曲线y=f(x)的对称轴方程;
(2)若关于x的方程f(x)-m=0在[π6,2π3]上有两个不同的实根,求实数m的取值范围.
18.(17分)
已知平面内两个非零不共线向量OA,OB满足|OA|=3,|OB|=2,且对任意实数t,不等式|OA+tOB|≥|OA-OB|恒成立,向量OC满足(OC-2OA)·(OC-3OB)=0.
(1)求OA,OB夹角的余弦值;
(2)求|OC+OA-OB|的最小值.
19.(17分)
某自动化港口的水平作业区为水平面,岸边桥吊作业点A,集装箱堆场B,维修站C构成三角形布局,AB=400米,∠BAC=45°,∠ABC=105°.无人集卡(无人驾驶集装箱卡车的简称)在作业区的最大行驶速度为10米/秒,道路均为直线通行.
(1)求A,B到C的直线距离(结果保留根号).
(2)无人集卡从A运输集装箱到B(按10米/秒的速度行驶),行驶到AB的中点D时收到调度指令,需先前往C维修故障,再前往B卸货,其中从C到B按最大速度10米/秒行驶.为不影响卸货时效,从D点出发后的行驶总时间不得超过原计划D直接到B的时间的3倍,求无人集卡从D到C的行驶速度的最小值(结果保留根号).
(3)港口计划在∠ACB的角平分线上新建一个充电补给站P,使得补给站到A,B两点的距离相等.求补给站P到维修站C的距离(结果保留根号).
高一数学参考答案
三、12. 4 13. 12 14.
1.B 【解析】本题考查集合的补集和交集运算,考查数学运算的核心素养.
因为B={x|x-2≥0}={x|x≥2},所以∁RB={x|x20=1,b=0.30.2∈(0,1),c=lg0.23b>c.
4.C 【解析】本题考查平面向量基本定理,考查逻辑推理的核心素养.
由BD=3DC,得AD=AB+BD=AB+34BC=AB+34(AC-AB)=14AB+34AC.
因为E为AD的中点,所以AE=12AD=18AB+38AC,所以BE=AE-AB=-78AB+38AC.
5.D 【解析】本题考查正弦定理,考查数学运算的核心素养.
因为cs A=33,所以sin A=1-cs2A=63.因为a=6,所以asinA=36.b+csinB+sinC=36.
6.C 【解析】本题考查平面向量的投影向量,考查数学运算的核心素养.
因为(a-2b)⊥(a+b),所以(a-2b)·(a+b)=|a|2-a·b-2|b|2=0.因为|a|=5,|b|=3,所以a·b=7,所以向量a在向量b上的投影向量为a·b|b|·b|b|=79b.
7.B 【解析】本题考查复数的几何意义,考查逻辑推理的核心素养.
设复数z在复平面内对应的点为Z.由模长的几何意义知,|z-(2-2i)|表示点Z到定点C(2,-2)的距离,因此点Z的轨迹是以C(2,-2)为圆心,2为半径的圆.|z+1-2i|=|z-(-1+2i)|,其几何意义是点Z到定点P(-1,2)的距离.因为|CP|=(2+1)2+(-2-2)2=5,所以|z+1-2i|的最小值为5-2=3.
8.A 【解析】本题考查平面向量的数量积,考查逻辑推理的核心素养.
因为E在边AC上,所以|AE||AC|=AE·AC.
因为AE=AB+BE,所以AE·AC=(AB+BE)·AC=AB·AC+BE·AC.
因为BE⊥AC,所以BE·AC=0,所以AE·AC=AB·AC.
因为AB=AD+DB,AC=AD+DC,且BD=DC,
所以AB·AC=(AD+DB)·(AD+DC)=(AD+DB)·(AD-DB)=|AD|2-|DB|2.
因为AD=6,BC=8,所以AB·AC=62-42=20.
9.AC 【解析】本题考查复数的概念与运算,考查数学运算的核心素养.
因为z1z2=(2+ai)(1-2i)=2+2a+(a-4)i,所以2+2a=0,得a=-1,所以z1z2=-5i,故A正确,B不正确;因为z1=2-i,所以|z1|=22+(-1)2=5,故C正确;因为z1+z2=3-3i,所以z1+z2在复平面内对应的点为(3,-3),故D不正确.
10.ABC 【解析】本题考查基本图形的特征,考查逻辑推理的核心素养.
棱锥的定义要求其余各面的三角形必须有公共顶点,若三角形没有公共顶点,则不是棱锥,比如用两个底面重合的三棱锥组合的几何体,满足“一个面是多边形,其余各面是三角形”,但不是棱锥,所以A错误;
侧面都是矩形仅能说明侧棱垂直于底面,但底面如果不是矩形,该四棱柱不是长方体,比如底面是平行四边形的直四棱柱不是长方体,所以B错误;
只有以直角三角形的直角边为轴旋转才能得到圆锥,若以斜边为轴旋转,得到的是两个同底圆锥的组合体,不是圆锥,所以C错误;
圆台是由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的,因此母线延长后必然交于圆锥的顶点,所以D正确.
11.ACD 【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性,考查数学运算的核心素养.
因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f(1+x)=f(1-x),所以f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),所以f(x)的周期为4,故A正确.当x∈[0,1]时,f(x)=lg2(x+1),此时单调递增,由奇函数的性质可知,当x∈[-1,0]时,f(x)仍单调递增,即f(x)在[-1,1]上单调递增.因为f(x)的图象关于x=1对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,由周期性可知,f(x)在[-3,-1]上单调递减,故B不正确.结合图象可知,f(x)的图象与y=lg2|x|在(-1,0),(1,2)上分别有一个交点,故C正确.当x∈[2,3]时,2-x∈[-1,0],因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)=f(2-x)=-f(x-2).因为x-2∈[0,1],所以f(x-2)=lg2(x-1),所以f(x)=-lg2(x-1),故D正确.
12.4 【解析】本题考查正六棱柱的特征,考查逻辑推理的核心素养.
设侧棱长为h.因为正六棱柱的棱包括2组底面的6条棱和6条侧棱,且底面边长为2,所以2×12+6h=48,解得h=4.
13.12;16 【解析】本题考查基本不等式的应用,考查数学运算的核心素养.
因为3x+y=1,所以1x+3y=(3x+y)（1x+3y）=6+yx+9xy.因为yx+9xy≥2yx·9xy=6,当且仅当yx=9xy,即y=12,x=16时,等号成立,所以1x+3y的最小值为12.
14.(2,4) 【解析】本题考查解三角形的多解问题,考查逻辑推理的核心素养.
因为b=4,A=30°,所以AB边上的高为4sin 30°=2.若△ABC有两解,则2