2025--2026学年广东省部分学校高二下学期5月联考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年广东省部分学校高二下学期5月联考数学试题 [含答案]，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数f(x)=2x+7在[2,5]上的平均变化率为
A.1 B.2 C.3 D.6
2.市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者(均已完成基础培训),现要从男、女志愿者中各选1人,组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作,则不同的搭档组合种数为
A.27 B.66 C.105 D.180
3.下列求导正确的是
A.(2cs x)'=-2sin x B.(9+ln x)'=9+1x
C.(x3)'=3x D.(e2x+1)'=e2x+1
4.如图,点A,B,C,D,E,F六等分圆O的圆周,从OA,OB,OC,OD,OE,OF这6个向量中随机抽取2个向量,则这2个向量不共线的取法种数为
A.9 B.12 C.15 D.18
5.若等差数列{an}的公差不为0,a4=10,且a1,a2,a6成公比为q的等比数列,则q=
A.2 B.3 C.4 D.5
6.若曲线y=x3+3ax-9在点(0,-9)处的切线与曲线y=x2相切,则正数a=
A.12 B.1 C.2 D.3
7.若z=cs α+isin α,z2=1,其中α∈[0,π],则满足题意的α有
A.1个 B.2个 C.4个 D.无数个
8.已知函数f(x)=x3+2x2-4x,关于x的方程[f(x)]2-3mf(x)+2m2=0有且仅有4个不同的实根,则正数m的取值范围为
A.(4,8) B.(0,4) C.(2,4) D.(8,16)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若函数f(x)有极大值点x1和极小值点x2,则其导函数f'(x)的大致图象可能为
10.已知正整数m,n满足m0),点N(x1,y1,z1)在四面体SABC外接球的球面上,且CN⊥平面ABC,点H(x2,y2,z2)在四面体SABC内切球的球面上,则
A.mnt=83
B.|HN|的最大值是最小值的2倍
C.四面体SABC外接球的体积为108π
D.当|HN|取得最小值时,点H的坐标为(6,523,43)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知函数f(x)=2ex+x2-f'(0)x,则f'(0)= ▲ .
13.已知函数f(x)=x2+2x在(4-m,m)上单调递增,则m的取值范围是 ▲ .
14.图中矩形的个数为 ▲ .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知函数f(x)=ex-tx+1,且f(x)在x=0处的瞬时变化率为0.
(1)求t的值;
(2)求f(x)在[0,1]上的值域.
16.(15分)
已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为23,离心率为3.
(1)求C的方程.
(2)已知数列{an}是正项数列,a1=2,点Pn(an+1,an+1)(n∈N*)在C上.
(ⅰ)证明{an}为等比数列,并求{an}的通项公式;
(ⅱ)过点P3且斜率为1的直线l与C的另一个交点为M,求|P3M|.
17.(15分)
为落实教育部“银龄讲学计划”“乡村教师支持计划”,推进县域义务教育优质均衡发展,某省教育厅组织8名优秀教师(3名银龄教师和甲、乙、丙等5名青年骨干教师,且这5名青年骨干教师不是银龄教师),按照以下要求将其分配到省内3个乡村振兴重点帮扶县的A,B,C三所新建乡村学校任教.
(1)要求分配2名银龄教师和1名青年骨干教师给A校,分配1名银龄教师和2名青年骨干教师给B校,分配2名青年骨干教师给C校,问共有多少种不同的分配方案?
(2)要求至少分配2名教师给每所学校,且至少分配1名银龄教师给每所学校,青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校,问共有多少种不同的分配方案?
(3)要求A,B,C三所学校中,其中分配4名教师(含1名银龄教师)给1所学校,各分配2名教师给另外2所学校,问共有多少种不同的分配方案?
18.(17分)
已知函数f(x)=12x2-(a+2)x+2aln x.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)若f(x)的极大值大于-52a,求a的取值范围.
19.(17分)
若函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域都为(0,+∞),对任意x∈(0,+∞),xf'(x)-λf(x)>0恒成立,则称f(x)为“λ系超越函数”.
(1)试判断函数f(x)=x2ln x是否为“2系超越函数”.
(2)证明:函数φ(x)=xex+a-x2ln x-ax2为“1系超越函数”.
(3)若g(x)为“1系超越函数”,证明:当t0,f(x)单调递增;当-20,A不符合题意.对于B,当x∈(-∞,x1)时,f'(x)>0,当x∈(x1,x2)时,f'(x)≤0,当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,所以x1为f(x)的极大值点,x2为f(x)的极小值点,B符合题意.同理可得C符合题意.对于D,当x∈(-∞,x1)时,f'(x)4-m,4-m≥1,解得20,当a0,
所以f(x)在(0,a)上单调递增,在(a,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.8分
若a=2,则f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.9分
若a>2,则当00,所以h(a)在(0,2)上单调递增.13分
因为h(1)=0,所以由4ln a-a+1>0,得h(a)>h(1),
所以1-52a,15分
解得a>44ln2+1,因为ln 2>ln e=12,所以44ln2+10,即证x2ex+a-x2ln x-x2-ax2>0,即证ex+a-ln x-1-a>0.7分
设μ(x)=ex-x-1,则μ'(x)=ex-1,当x>0时,μ'(x)>0,μ(x)单调递增,当x0,所以r(x)在(0,+∞)上单调递增,12分
当x→0时,r(x)0,所以存在唯一的x0∈(0,+∞),使得r(x0)=0,
即存在唯一的x0∈(0,+∞),ln x0-4x0t+t-2=1.13分
因为g(x)为“1系超越函数”,所以g(x)的定义域为(0,+∞),且对任意x∈(0,+∞),
xg'(x)-g(x)>0恒成立.14分
设k(x)=g(x)x(x>0),则k'(x)=xg'(x)-g(x)x2>0,所以k(x)在(0,+∞)上单调递增,15分
即存在唯一的x0∈(0,+∞),使得k(ln x0-4x0t+t-2)=k(1),16分
所以存在唯一的x0∈(0,+∞),使得g(lnx0-4x0t+t-2)lnx0-4x0t+t-2=g(1)1,即存在唯一的实数x1=x0∈(0,+∞),使得tg(ln x1-4x1t+t-2)=(tln x1-4x1+t2-2t)g(1).17分
【评分细则】
第(2)问还可以这样证明:
φ'(x)=ex+a+xex+a-(2xln x+x)-2ax,5分
则xφ'(x)-φ(x)=xex+a+x2ex+a-(2x2ln x+x2)-2ax2-(xex+a-x2ln x-ax2)
=x2ex+a-x2ln x-x2-ax2,6分
所以要证φ(x)是“1系超越函数”,即证xφ'(x)-φ(x)>0,即证x2ex+a-x2ln x-x2-ax2>0,即证ex+a-ln x-1-a>0.7分
设m(x)=ex+a-ln x-1-a,则m'(x)=ex+a-1x,易得m'(x)在(0,+∞)上单调递增,
当x→0时,m'(x)0,8分
所以存在唯一的x2∈(0,+∞),使得m'(x2)=0,即ex2+a=1x2,x2+a=-ln x2,9分
所以当x∈(0,x2)时,m'(x)