广东省和美联盟2024-2025学年高一下学期5月联考 数学试题（含解析）

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考试时长：120分钟 试卷满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上。
4．考生必须保持答题卡的整洁， 考试结束后， 将答题卷收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列向量中与共线的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据共线向量定理判断即可．
【详解】因为，由共线向量定理可知向量与共线．
故选：C．
2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求出复数即可判断．
【详解】由题意知，，
所以在复平面内所对应的点为，位于第二象限．
故选：B．
3．设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和B．与
C．与D．与
【答案】C
【解析】
【分析】根据基底的概念及平面向量基本定理判断即可．
【详解】、是不共线的两个非零向量，
对于A，和中，，和不共线，可作基底，A不；
对于B，与中，，与不共线，可作基底，B不是；
对于C，与中，，与共线，不能作基底，C是；
对于D，与中，，与不共线，可作基底，D不是．
故选：C
4．如图，是斜二测直观图，其中为正三角形，，则的面积是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】在直观图中求出，画出原图形，求出边长和面积．
【详解】在直观图中，，
在三角形中，过点作⊥于点，则，，
故，
还原直观图得原图如下，
，
由得，
所以的面积为．
故选：D
5．如图， 在△ABC中， AN=12NC，P是线段BN上的一点，若 AP=mAB+15AC，则实数m等于（ ）
A．15B．13C．14D．25
【答案】D
【详解】AN=12NC⇒AC=3AN，
AP=mAB+15AC=mAB+15⋅3AN=mAB+35AN，
因为P、B、N三点共线，所以m+35=1⇒m=25，
故选：D．
6．已知向量，向量在方向上的投影向量为，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用向量在方向上的投影向量为，代入数据计算可得．
【详解】由题意：．
故选：A
7．一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】A
【解析】如图，作出，由题意可知，
海里，，则，
因为，所以海里，
即B，C两点间的距离是海里，故选A．
8．窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若为的中点，则（ ）

A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【解析】依题意得，，，，
所以，
，
所以
．故选B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．圆锥被一个平行于底面的平面截去顶部的小圆锥后，剩余部分是圆台。
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆柱的母线与它的轴可以不平行
D．一个多面体至少有4个侧面
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据多面体和旋转体的定义判断即可．
【详解】对于A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故选项A正确；
对于B，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误；
对于C：圆柱的母线与它的轴平行，故C错误；
对于D，三棱锥为多面体，但只有3个侧面，所以D错误．
故选：BCD．
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
D．函数在区间上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据正弦函数的周期即可判断A；根据正弦函数的对称性即可判断B；根据左右平移的原则即可判断C；根据正弦函数的单调性即可判断D．
【详解】对于A，的周期，所以 A 正确；
对于B，因为 ，
所以函数的图象关于点中心对称 ，故B正确；
对于C，将的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，故C正确；
对于D中，因为，所以，
所以在上不单调，故D错误．
故选：ABC．
11． 已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，为纯虚数
B．满足的点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆
C．的虚部为
D．若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为
【答案】BD
【解析】
【分析】结合复数的概念，复数的几何意义，复数的运算，即可求解．
【详解】对于A，当时，则不为纯虚数，故A错误；
对于B，即到原点距离为2的点构成，故点的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆，故B正确；
对于C，的虚部为，故C错误；
对于D，，且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根是其中一个根的共轭复数，为，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，，则 ．
【答案】
【解析】
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后利用两角差的余弦公式可求得的值．
【详解】因为，则，
所以，，
因此，
．
13．在斜三棱柱中，连接、与，记三棱锥的体积大小为3，三棱柱的体积大小为 ．
【答案】9
【分析】设斜三棱柱的体积，易知，割补法求得，即可得出，从而得解．
【详解】设斜三棱柱的高为h，，斜三棱柱的体积为，
所以，易知，
所以，
又三棱锥的体积大小为3，所以，
所以，即三棱柱的体积大小为9，
故答案为：9
14．已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，将表示成关于t的函数，根据二次函数最值即可求解．
【详解】∵，∴，
整理可得，
∵对任意，上式恒成立，∴；
由题意知，∴，∴．
∴．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知，，，且．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
【解】因为，，，
所以，
（1）因为．所以，即，解得；
（2）因为，，
又，
所以，
即，解得．
16．（15分）如图，在直角梯形中，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．

（1）求该几何体的表面积；
（2）一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，求蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】（1）
（2）6．
【知识点】圆台表面积的有关计算、由平面图形旋转得旋转体、圆台的展开图
【分析】（1）得到几何体为上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，求出表面积；
（2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，作出辅助线，设，根据弧长得到方程，求出，进而得到为等边三角形，
求出最短路径为线段，得到答案．
【详解】（1）如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周，
形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台，
其表面积为．

（2）将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，

因为圆台上下底面半径的关系为，
所以，，
又∵，
∴，
∴，
设，则的弧长，
解得，
连接，为等边三角形，
∴
所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段，
所以蚂蚁爬行的最短距离为6．
17．（15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简条件，利用余弦定理求出，即可得出答案；
（2）由三角形面积公式求得，利用余弦定理列出方程求解即可．
【小问1详解】
由题意及正弦定理知，
，，，．
【小问2详解】
由得，
由余弦定理得得，
，，
的周长为．
18．（17分）已知函数已知．
（1）求函数的周期；
（2）求在上的单调区间与最值；
（3）若对，不等式恒成立，试求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）上单调递增，上单调递减；最大值3，最小值；
（3）
【解析】
【分析】（1）法一：，再利用余弦函数的性质求解；法二：，利用正弦函数的性质求解；
（2）法一：先判断上单调递增，上单调递减，再求解；法二：先判断上单调递增，上单调递减，再求解；
（3）原不等式可化为恒成立，再转化为恒成立求解．
【小问1详解】
法一：．
，
所以．
法二：，
所以．
【小问2详解】
法一：，，
所以上单调递增，上单调递减，
所以上单调递增，上单调递减，
，，，
所以
法二：，，
所以上单调递增，上单调递减，
所以上单调递增，上单调递减，
，，，
所以；
【小问3详解】
，而恒成立，
所以，
当取得最大值3时，，
所以．
19．（17分）在中，，，对应的边分别为，，，．
（1）求；
（2）若为线段内一点，且，求线段的长；
（3）法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值．
19．（1） （2） （3）48
【分析】（1）利用同角三角函数关系和正弦定理边角互化对等式进行化简，再结合余弦定理即可求解．
（2）法一：用基向量法，将用表示，等式左右两边同时平方，利用模长和数量积公式即可求解；法二：用坐标系法，以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，将用坐标表示，结合坐标表示求模长即可；
（3）根据柯西不等式的定义直接化简，当且仅当为正三角形时取等号，即可得到最小值．
【详解】（1）因为
所以，
由正弦定理，
所以
即：，又，所以；
（2）（方法一）因为，所以，
所以，
所以
，及
（方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
所以；
（3）根据柯西不等式：

（当且仅当为正三角形时取等号）
即：的最小值为48．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是仿照柯西不等式的形式进行代入构造，找到所求要素与柯西不等式的联系，再运用正弦定理进行求解．