2026年广东省清远市二模数学试题（含答案+解析）

这是一份2026年广东省清远市二模数学试题（含答案+解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.温度上升3 ∘C，记为+3 ∘C，温度下降2 ∘C，记为( )
A. 2 ∘CB. −2 ∘CC. 1 ∘CD. −1 ∘C
2.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 杨辉三角B. 笛卡尔心形线
C. 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
3.近年来，国内AI发展迅猛，AI应用到生活多个领域，据统计，DeepSeek应用上线20天后，日活跃用户达22150000，数据22150000用科学记数法表示为( )
A. 0.2215×108B. 2.215×107C. 2.215×106D. 2215×104
4.下列计算正确的是( )
A. x2+x3=x5B. (2x)3=6x3C. (x3)2=x5D. x5÷x3=x2
5.一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放(厚度忽略不计)，若∠α=15 ∘，则∠β的度数为( )
A. 45 ∘B. 40 ∘C. 30 ∘D. 15 ∘
6.3月15日清远马拉松盛大开幕，社会实践小组记录了10名志愿者的年龄(单位：岁)20，21，22，22，23，23，23，24，25，26.这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 23，23B. 23，22.5C. 22，23D. 24，23
7.如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，AD与BC相交于点O，小正方形的边长为1，则AODO的值等于( )
A. 32B. 23C. 25D. 49
8.一元二次方程x2−4x+3=0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是( )
A. x1+x2=−4B. x1+x2=3C. x1x2=4D. x1x2=3
9.如图，四边形ABCD的两边AD,CD与⊙O相切于A,C两点，点B在⊙O上，若圆的半径为9,∠D=80 ∘，则∠B所对的弧长为( )
A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π
10.下列图象与函数y=−2x图象相符的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：x2−9= .
12.若二次根式 m−4有意义，则正整数m的值可以是 .(写出一个即可)
13.一个多边形的内角和是1080 ∘，则这个多边形是 边形．
14.若a2−2a−2026=0，则代数式−2a2+4a+2026的值为 .
15.如图1，某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2的位置，其示意图如图3所示(栏杆宽度忽略不计)，车辆在EF正下方通过，其中AB⊥BC，EF//BC，∠AEF=150 ∘，AB=AE=1.4米，那么该地下车库的车辆限高的高度为 米．
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
16.计算：20260−tan45 ∘+ 9−2−1
四、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题3分)
第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届全运会吉祥物A型号“喜洋洋”和B型号“乐融融”纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价少28元，用240元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型号纪念品数量的2倍，求A，B两种型号纪念品的单价分别是多少元？
18.(本小题12分)
研究表明，地表以下岩层的温度y ∘C与所处深度xkm成一次函数关系．通过测量得到某个地点地表以下的岩层温度y ∘C与所处深度xkm的部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当该地点地表以下某处岩层的温度为300 ∘C时，求此处岩层的深度．
19.(本小题12分)
同学们知道：“在直角三角形中，30 ∘所对的直角边等于斜边的一半”．
(1)请写出它的逆命题 ；该逆命题是一个 命题(填“真”或“假”).
(2)如图，在Rt△ABC中，小敏把自己对该逆命题的猜想与数学小组的同学们进行交流，经过充分交流、研讨，发现有多种方法求证，得出以下三种想法：
想法一：取AB中点D，连接CD，利用直角三角形斜边中线性质使问题得到解决．
想法二：画出AB的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，利用垂直平分线的性质使问题得到解决．
想法三：沿线段AC所在的直线，将△ABC翻折得到△ADC，构造特殊的三角形，使问题得到解决．
请选择其中一种想法，帮助小敏完成解答过程．
20.(本小题11分)
骑电动车、摩托车时佩戴头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了佩戴头盔专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电动车、摩托车的市民，就骑车佩戴头盔情况进行问卷调查，将收集的数据制成如下统计图表．
活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表
活动后骑电动车、摩托车戴头盔情况统计图
请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)“活动前骑电动车、摩托车戴头盔情况统计表”中，B类别对应人数a不小心污损，请计算a的值．
(2)该市约有20万人骑电动车、摩托车，请估计活动前全市骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的总人数．
(3)小华认为，宣传活动后骑电动车、摩托车“都不戴”头盔的人有178人，比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果．小华分析数据的方法是否合理？请说明理由．
21.(本小题11分)
综合与实践
【回归教材】
(1)如图1，小文在∠AOB内部作了一条射线OC，请根据作图痕迹判断小文作的射线是 ；作这条射线的依据是 (选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”).
(2)如图2，小文在正方形ABCD内作了一个等边△BCE，连接AE、DE，则∠AEB= .
(3)【问题解决】如图3，李师傅要在等腰Rt△ABC的瓷砖上切割出一个△APB装修构件，要求点P在边BC上，且∠PAB=15 ∘，请用尺规作图的方法找到点P(保留作图痕迹)，并写出你的方案．
22.(本小题11分)
九年级数学兴趣小组以探究“矩形的性质”为主题开展活动．小北将如图所示的矩形纸片ABCD(BC>AB)进行折叠，使点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，展开后，连接EF，就可以得到一个四边形ABFE.
(1)如图1，求证：四边形ABFE是正方形．
(2)如图2，若将图1中的矩形纸片沿CE中点P所在直线进行折叠，使得点C恰好与点E重合，展开后，折痕所在的直线交AB的延长线于点M，交AF于点N，交EF于点G，交BF于点H，若AD=12，CD=8，求MN的长．
(3)如图3，D′Q′C⌢(优弧D′Q′C)与DQC⌢(优弧DQC)关于直线EC对称，∠DQC=45 ∘，点R是D′Q′C⌢(优弧D′Q′C)上的一个动点，连接BR，若AD=12，CD=8，求BR的最小值．
23.(本小题12分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0、C3,0两点，与y轴交于点B.
(1)①求抛物线的表达式．②对于该抛物线上的两点Px1,y1，Rx2,y2，设t≤x1≤t+1，当x2≥4时，均有y1≥y2，请直接写出t的取值范围．
(2)如图2，连接BC，点 D是直线BC上方抛物线上一动点，过点 D作 y轴的平行线交直线BC于点 E，求DE+ 22BE的最大值．
(3)如图3，点 D是抛物线上的一动点，过点 D作 y轴的平行线交直线BC于点 E，过点 D， E分别作 x轴的平行线交抛物线的对称轴于点 G，F.过点 A作BC的平行线交 y轴于点 H，当四边形DEFG在直线AH，直线BC之间的部分的面积恰好是四边形DEFG面积的一半时，请求出点 D的横坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】本题考查了正负数的实际应用，掌握正负数表示相反意义的量是解本题的关键．
根据温度上升记为正值，下降则记为负值，即可求解．
【详解】解：如果温度上升3 ∘C记为+3 ∘C，那么温度下降2 ∘C记为−2 ∘C.
故选：B.
2.【答案】C
【解析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的判定方法是解题的关键．
根据把一个图形绕某一点旋转180 ∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐项判断，即可求解．
【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知，
A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不合题意，
B、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项B不合题意，
C、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项C符合题意，
D、原图不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项D不合题意．
故选：C.
3.【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a0和x0时，y=−2x=−2x，图象在第四象限；
当xAB)进行折叠，使点B落在AD边上的点E处，折痕为AF，
∴∠AEF=∠B=90 ∘，BF=EF，
∴∠AEF=∠B=∠BAE=90 ∘，
∴四边形ABFE为矩形，
∵BF=EF，
∴四边形ABFE为正方形；
【小题2】
解：如图，连接NB，NE，NC，NC与EF交于点I，
在矩形ABCD中，AB=CD=8，AD=BC=12，
根据解析(1)可得：四边形ABFE为正方形，
∴BF=AE=EF=AB=CD=8，∠AEF=∠BFE=90 ∘，
∴CF=12−8=4，∠CFE=∠DEF=90 ∘，
∴CE= CF2+EF2=4 5，
∵矩形纸片沿CE中点P所在直线进行折叠，
∴MP垂直平分CE，
∴CP=12CE=2 5，∠CPH=90 ∘，
∵∠CPH=∠CFE=90 ∘，∠ECF=∠HCP，
∴△CEF∽△CHP，
∴CHCE=PHEF=CPCF，
即CH4 5=PH8=2 54，
∴CH=10，PH=4 5，
∴BH=12−10=2，
同理可得：△MBH∽△CPH，
∴BHPH=MHCH，
∴24 5=MH10，
解得：MH= 5，
∴MP=MH+PH=5 5，
由矩形纸片ABCD沿AF进行折叠，使点B落在AD边上的点E处，
得NE=NB，△EFN≌△BFN，
∴∠1=∠2，
∵MP垂直平分CE，
∴EN=CN，
∴NB=NE=NC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3.
∵∠4=∠5，
∴∠3+∠4=∠1+∠5.
∵∠3+∠4=90 ∘，
∴∠1+∠5=90 ∘，即∠ENC=90 ∘，
∴△ENC为直角三角形．
∵点P为CE的中点，
∴NP=12CE=2 5，
∴MN=MP−NP=5 5−2 5=3 5；
【小题3】
解：取DQC⌢(优弧DQC)所在圆的圆心O，作点O关于CE的对称点O′，则点O′为D′Q′C⌢(优弧D′Q′C)所在圆的圆心，连接OO′，交CE于点M，过点M作MN⊥CN于点N，过点O作OG⊥CD于点G，延长OG交CE于点H，连接O′H，O′B，OC，OD，O′B与⊙O′于点R′，如图所示：
在矩形ABCD中，AB=CD=8，AD=BC=12，
根据解析(1)可得：四边形ABFE为正方形，
∴BF=AE=EF=AB=CD=8，∠AEF=∠BFE=90 ∘，
∴CF=12−8=4，∠CFE=∠DEF=90 ∘，
∴CE= CF2+EF2=4 5，
∵∠DQC=45 ∘，
∴∠DOC=2×45 ∘=90 ∘，
∵OG⊥CD，
∴CG=DG=OG=12CD=4，∠OGD=90 ∘，
∴OC= OG2+CG2=4 2，
∴O′R′=OC=4 2，
∵∠ADC=∠OGD，
∴OH//DE，
∴△CGH∽△CDE，
∴GHDE=CHCE=CGCD=12，
∴CH=12CE=2 5，GH=12DE=2，
∴OH=OG+GH=4+2=6，
根据轴对称可得：OO′⊥CE，OM=O′M，
设CM=x，则MH=2 5−x，
在Rt△OHM中，根据勾股定理得：OH2=OM2+HM2，
∴OM2=OH2−HM2=62−2 5−x2，
在Rt△OCM中，根据勾股定理得：OC2=OM2+CM2，
∴OM2=OC2−CM2=4 22−x2=32−x2，
∴62−2 5−x2=32−x2，
解得：x=4 55，
∴CM=4 55，
∵MN⊥BC，
∴∠MNC=90 ∘，
∴∠EFC=∠MNC，
∵∠MCN=∠ECF，
∴△MCN∽△ECF，
∴CNCF=MNEF=CMCE=4 554 5=15，
∴MN=15EF=85，CN=15CF=45，
如图，以点C为原点，BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
∴点O的坐标为4,4，点M的坐标为−45,85，B−12,0，
根据中点坐标公式得点O′的坐标为：−45×2−4,2×85−4，即点O′−285,−45，
∴BO′= −12−−2852+−45−02=4 655，
∵点R是D′Q′C⌢(优弧D′Q′C)上的一个动点，
∴当点R运动到R′时，BR最小，且最小值为：4 655−4 2.

【解析】1.
先证明四边形ABFE为矩形，再证明四边形ABFE为正方形即可；
2.
连接NB，NE，NC，NC与EF交于点I，证明△CEF∽△CHP，得出CHCE=PHEF=CPCF，求出CH=10，PH=4 5，同理可得：△MBH∽△CPH，求出MH= 5，从而得出MP=MH+PH=5 5，证明△ENC为直角三角形，得出NP=12CE=2 5，即可得出答案；
3.
取DQC⌢(优弧DQC)所在圆的圆心O，作点O关于CE的对称点O′，则点O′为D′Q′C⌢(优弧D′Q′C)所在圆的圆心，连接OO′，交CE于点M，过点M作MN⊥CN于点N，过点O作OG⊥CD于点G，延长OG交CE于点H，连接O′H，O′B，OC，OD，O′B与⊙O′于点R′，先求出CM=4 55，再求出MN=15EF=85，CN=15CF=45，
以点C为原点，BC所在的直线为x轴，CD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，根据两点间距离公式求出BO′= −12−−2852+−45−02=4 655，最后得出答案即可．
23.【答案】【小题1】
解：①将A−1,0、C3,0代入y=ax2+bx+3得：
0=a−b+30=9a+3b+3，解得：a=−1b=2，
即y=−x2+2x+3；
②由①知抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=−22×−1=1，
∵抛物线上的两点Px1,y1，Rx2,y2，当x2≥4时，均有y1≥y2，
∴当x2=4时，y2=−42+2×4+3=−5，
根据抛物线的对称性可知，当x=−2时，也有y=−5，
∵t≤x1≤t+1，当x2≥4时，有y1≥y2，
∴当t+1≤4，且t≥−2，
解得：−2≤t≤3时，均有y1≥y2，
∴t的取值范围为−2≤t≤3；
【小题2】
解：如图，作EF⊥OB交OB于点F，则EF//OC
当x=0时，y=3，
∴B0,3，
∵C3,0，
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=45 ∘，
∴∠BEF=45 ∘
∴BF=EF，
∵BF2+EF2=BE2，
∴BF=EF= 22BE(负值舍去)，即DE+ 22BE=DE+EF
设Da,−a2+2a+3
设直线BC的函数关系式为y=sx+t，由题意得：
3s+t=0t=3，解得：s=−1t=3，
∴直线BC的函数关系式为y=−x+3，
∵过点D作y轴的平行线交直线BC于点E，
∴Ea,−a+3，
∴EF=a，DE=−a2+2a+3−(−a+3)=−a2+3a，
∴DE+EF=−a2+3a+a
=−a2+4a
=−a2+4a−4+4
=−a−22+4，
可知当a=2时，DE+EF有最大值4，
即DE+ 22BE的最大值为4；
【小题3】
解：由(2)知直线BC的函数关系式为y=−x+3，
∵y=−x2+2x+3的对称轴为直线x=1，C3,0，
∴A−1,0，
∵AH//BC，
∴可设直线AH的函数关系式为y=−x+q，
∴0=1+q，解得：q=−1，
∴直线AH的函数关系式为y=−x−1，
设点D的横坐标为m，
∵点D在抛物线上，
∴D(m,−m2+2m+3)，E(m,−m+3)，
∵点F，G均在对称轴x=−22×(−1)=1上，
∴xF=xG=1，
∴四边形DEFG为矩形，
①如图①，当EG与BC共线时，满足在直线AH、BC之间的部分的面积恰好是矩形DEFG面积的一半，
此时DE=EF，
∴yD−yE=xE−xF或yE−yD=xF−xE，
即−m2+2m+3−(−m+3)=m−1或−m+3−(−m2+2m+3)=1−m，
解得m1=1+ 2，m2=1− 2；
②如图②，当对角线不在BC上时，当D在第四象限时，令AH交对称轴于N，DE交AH于M，
根据矩形的对称轴当FN=DM时，S四边形FNME=12S矩形DEFG，
∴N(1,−2)，M(m,−m−1)，
∴yF−yN=yM−yD，
∴−m+3−(−2)=−m−1−(−m2+2m+3)，
解得m1=1+ 10或m2=1− 10(舍去)，
③当D在第三象限时，如图③，令DE交AH于M、FG交BC于Q，
2(yE−yM)=yE−yD，
即2yM=yE+yD，
∵M在AH上，
∴M(m,−m−1)，
∴2(−m−1)=−m+3+(−m2+2m+3)，
解得m1=3− 412，m2=3+ 412(m