2026年高考数学一轮复解答题立体几何与平面向量(专项训练，11大题型+高分必刷)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复解答题立体几何与平面向量(专项训练，11大题型+高分必刷)(全国通用)(学生版+解析)，共18页。试卷主要包含了，且，如图,在四棱锥中，底面，等内容，欢迎下载使用。
根据近几年的高考情况，空间向量与立体几何仍然是是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要从选择题和解答题两方面出题，解答题以空间向量的应用为主，主要考察空间夹角，体积和距离问题，是高考中的必拿分。
题型1 立体几何种平行关系的证明
1．（24-25高一下·湖南长沙·期末）如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，E为的中点，侧棱长为6.
(1)证明：平面；
(2)求该正四棱台的表面积.
1．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为菱形，，，⊥，且平面⊥平面.
(1)在DE上确定一点M，使得平面；
(2)若，且，求多面体的体积.
2．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，点分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面将四棱锥分成体积为和的两部分（其中），求的值．
题型2：立体几何中垂直关系的证明
1．（25-26高三上·广东·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，，点在线段上.

(1)证明：平面；
(2)已知四点均在球的球面上.
（i）证明：三点共线；
（ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求.
2．（2025·宁夏吴忠·一模）如图，在四棱锥中，底面.
(1)求证：平面平面；
(2)若为的中点，且；
（i）求证：四棱锥的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径；
（ii）求二面角的正弦值.
1．（24-25高二上·上海静安·期中）如图，在正三棱柱中，已知，、分别是、的中点.
(1)求正三棱柱的表面积；
(2)求证：平面平面；
(3)求证：直线平面.
2．（2025·广东·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，.
(1)证明：；
(2)若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值.
题型3：立体几何中的线线角
1．（2025·广西·模拟预测）如图，直四棱柱的下底面为菱形，，是上底面内两个不同的动点．

(1)若为正方体，为上底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若恰好是二面角的平面角．证明：在动点运动过程中，三棱锥的体积保持不变．
1．（2025·广西·模拟预测）如图，直四棱柱的下底面为菱形，，是上底面内两个不同的动点．

(1)若为正方体，为上底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值；
(2)若恰好是二面角的平面角．证明：在动点运动过程中，三棱锥的体积保持不变．
2．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台中，底面，与都是等腰直角三角形，，、分别为、的中点．

(1)证明：平面；
(2)求异面直线与夹角的余弦值．
题型4：立体几何中的线面角
1．（2025·湖南长沙·三模）如图，在三棱柱 中，底面 是正三角形， .
(1)求证:三棱锥 是正三棱锥；
(2)若三棱柱 的体积为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
1．（2025·山东德州·三模）建筑学中常用体形系数表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即，为建筑物暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积），为建筑物所包围的体积．某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于，的点，且．
(1)若，求圆台形建筑的高；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
2．（2025·山东·模拟预测）如图，是的直径，与所在的平面垂直，，是上的一动点（不同于），为线段的中点，点在线段上，且．

(1)求证：
(2)当时，求直线与直线所成角的余弦值
(3)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
3．（2025·山西·模拟预测）如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且．
(1)证明：与相交且交点在直线上．
(2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．
4．（2025·福建三明·模拟预测）如图，等腰梯形中，，，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥．在四棱锥中，点，分别在线段，上，且．

(1)求证：平面；
(2)若二面角为120°，求直线与平面所成角的余弦值．
题型5：立体几何中的面面角
1．（2025·四川巴中·模拟预测）如图，矩形是圆柱的轴截面，，点分别是上、下底面圆周上的点，且.

(1)求证：；
(2)若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值.
2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，且为正三角形，E，F分别为的中点，．
(1)证明：平面．
(2)若三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
1．（2025·广东广州·模拟预测）在三棱锥中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在棱AC上，且.
(1)求证：；
(2)若是边长为2的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
2．（25-26高三上·安徽蚌埠·开学考试）如图，在四棱锥中，是正三角形，．
(1)求证：平面平面；
(2)设，若点均在球的球面上且点在平面内．
（i）求四棱锥的体积；
（ii）求平面与平面的夹角的余弦值．
3．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示在直三棱柱中，，，M是的中点，
(1)求证：平面，
(2)试问在棱上是否存在点，使得与与所成角为?若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由，
(3)在（2）题设条件下，试求平面与平面所成角的余弦值.
题型6：立体几何中点到线的距离
1．（2024·青海·一模）如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，点F在底面圆O上，，点G在线段BF上运动．
(1)当平面DAF时，求线段的长度；
(2)设，当与平面DAF所成角的正弦值为时，求的值．
1．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，点在边上，且，为边的中点.是平面外的一点，且有.

(1)证明：；
(2)已知，，，直线与平面所成角的正弦值为.
（i）求的面积；
（ii）求三棱锥的体积.
2．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点，直线与所成角的余弦值为．求：
(1)点到直线的距离；
(2)二面角的余弦值．
题型7：立体几何中线到面的距离
1．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点.
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若，
（i）求点F到平面AEG的距离.
（ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
1．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，点E，F，G分别为PD，AB，AC的中点.
(1)求证：平面平面PBC；
(2)若，
（i）求点F到平面AEG的距离.
（ii）画出四边形ABCD的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
2．（2025·广东惠州·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且，.
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
3．（2025·福建泉州·一模）如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若该四棱台的体积等于，且，求直线到平面的距离．
题型8：立体几何中的体积问题
1．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面平面，，，是等边三角形，O，M分别为线段AB，PB的中点，且，．

(1)求证：平面；
(2)求多面体的体积．
2．（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，E是PD的中点，F，M分别在线段PC，PB上，且，，.
(1)证明：多面体为四棱锥；
(2)作出四棱锥的底面所在平面与平面的交线，写出画法，不必证明；
(3)若，平面，且，求四棱锥的体积.
1．（2024·全国·模拟预测）在四棱柱中，平面平面，，底面为菱形，，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，求三棱锥的表面积．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，平面，点为中点，点，分别在棱，上，且，.

(1)证明：；
(2)记三棱锥与四棱锥的体积分别为，，求；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦值.
题型9：立体几何中的存在性问题
1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，二面角的大小为．
(1)求线段的长．
(2)若，且，则在线段上是否存在点，使得直线BE与平面PDC所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
1．（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P、Q分别是棱的中点.
(1)在底面内是否存在点，满足平面?若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；
(2)设平面交棱于点T，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值.
2．（24-25高三下·广东·开学考试）如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，.
(1)证明：平面平面.
(2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
题型10：立体几何中的截面问题
1．（2025·湖南娄底·二模）如图，长方体中，，，，E，F分别为棱AB，的中点．

(1)过点C，E，F的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S的周长；
(2)设T为线段上一点，当平面平面时，求平面TCF与平面CEF夹角的余弦值．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，四棱锥中，平面平面，．设中点为，过点的平面同时垂直于平面与平面．
(1)求
(2)求平面与平面夹角的正弦值；
(3)求平面截四棱锥所得多边形的周长．
1．（2024高三·全国·专题练习）如图在正方体中，是所在棱上的中点.
(1)求平面与平面夹角的余弦值
(2)补全截面
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在长方体中，，，为棱的中点．
(1)若是线段上的动点，试探究：是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说明理由．
(2)过作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围．
3．（2025·陕西西安·一模）如图，正方体的棱长为2，点是棱上的动点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)当为中点时，求过点且与垂直的平面截正方体的截面面积.
题型11：立体几何中的最值问题
1．（2025·辽宁·三模）如图，在高为6的直三棱柱中，底面的周长为分别为棱，上的动点.
(1)若，证明：平面.
(2)求的最小值.
(3)若，求平面与底面夹角的余弦值的最大值.
1．（2025·湖南邵阳·三模）如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的外接球的表面积；
(3)是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值．
2．（2025·辽宁·三模）如图，四棱锥中，．
(1)当为正三角形时，
（i）若，证明：直线平面PBC；
（ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？
(2)当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值．
3．（24-25高二下·江西景德镇·期中）在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中为动点.
(1)设，
（i）证明：平面；
（ii）求三棱锥的外接球体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥.
(1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积；
(2)若，是的中点.
（ⅰ）求的大小；
（ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值.
2．（2024·上海·一模）如图，在四棱锥中， .为棱的中点，异面直线与所成角的大小为.
(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
3．（2024·上海嘉定·一模）如图所示，在三棱柱中，，侧面底面，点分别为梭和的中点.
(1)若底面为边长为2的正三角形，且，侧棱与底面所成的角为，求三棱柱的体积；
(2)求证：平面.
4．（24-25高三上·上海黄浦·期末）如图，在正方体中，E是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的大小．
5．（2024·浙江金华·一模）如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
6．（24-25高三上·上海·期中）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上.

(1)求证: AF⊥BE;
(2)若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角的大小.
7．（2025·贵州·模拟预测）如图，平面平面，四边形为正方形，，，，为线段上一点．
(1)证明：平面平面．
(2)若，求二面角的余弦值．
8．（2025·湖南益阳·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，底面为等边三角形，平面平面，点分别是的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若，点在直线上，且平面与平面的夹角的余弦值为，求线段的长.
9．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，．
(1)证明：平面平面；
(2)设，且点，，，均在球的球面上．
（i）证明：点在平面内；
（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．
10．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．
(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；
(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．
11．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积．
12．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．
13．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．
(1)证明：平面；
(2)求面与面所成的二面角的正弦值．
此类题型通常通过以下步骤证明：
①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线（常见方法：三角形中位线、平行四边形的性质、线段成比例利用相似的性质）；
②证明已知直线平行于找到(作出的)直线；
③由判定定理得出结论
从而得证。
1线面垂直.判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
线线垂直线面垂直
如果一条直线与一个平面内的两条_______直线垂直，那么该直线与此平面垂直
2.线面垂直性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
线面垂直线线垂直
一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的_______一条直线垂直
线面垂直线线平行
垂直于同一个平面的两条直线_______.
3.面面垂直判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
线面垂直面面垂直
如果一个平面过另一个平面的_______，那么这两个平面垂直
4.面面垂直性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
面面垂直线面垂直
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的_______，那么这条直线与另一个平面垂直
在垂直问题中，通常通过构造直角三角形利用勾股定理，利用垂直本身的性质或者利用三垂线定理得到垂直的直线，从而得证。
立体几何中异面直线所成的夹角：
1.平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
2.向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ②
立体几何中的线面角：
定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．
范围：
常见求法：
1.常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；
2.向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．
求立体几何中的面面角的求法：
1.定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

2.垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
3.向量法
设是二面角的两个半平面的法向量，
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为顿二面角（取负），则；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）
4.三垂线法
在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点，作于；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；
③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．

图1 图2 图3
5.射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；
6.补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用射影面积法解题．
求立体几何中点到线的距离:
已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得：
求立体几何中线到面的距离：
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度.
立体几何中常见的求体积的方法：
公式法
割补法
等体积法
在立体几何中的存在性问题中
常假设存在，通过
作截面的几种方法
1.直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
2.延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。
3.平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线。