2026年高考数学一轮复解答题数列及其综合应用(专项训练，6大题型+高分必刷)(全国通用)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复解答题数列及其综合应用(专项训练，6大题型+高分必刷)(全国通用)(学生版+解析)，共18页。
数列及其综合应用是高考必考内容。近五年高频考查等差数列、等比数列的基本概念、通项与前n项和公式，以及裂项相消、错位相减等求和方法，命题兼顾基础与核心素养（数学运算、逻辑推理、数学建模），且近年情景更新颖、难度有所提升，常涉及实际应用与跨知识综合。未来考向仍以等差、等比数列核心知识为基础，重点关注数列通项与求和，同时强化与函数、不等式、概率等的交汇，以及新定义、实际情境类创新题型，进一步突出对数学素养的考查。
题型1：分组求和法求数列的前n项和
（25-26高三上·北京·阶段练习）已知等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.
【思路分析】
（1）利用等差数列的基本量法联立方程组求解；（2）利用分组求和法分为等差数列与等比梳理求和
【规范答题】
（1）设等差数列的公差为，
因为，
则，即，解得 ，
所以.
则数列的通项公式为：
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则，
又因为，所以.
设数列的前项和为，
则
所以数列的前项和为
1．（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）已知数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为数列的前项和，，所以；
当时，，
又适合上式，所以；
（2），
所以数列的前项和，
当为偶数时，，
当为奇数时，
.
综上，.
2．（2025·辽宁大连·模拟预测）若数列和满足：，，且
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设，试求的前n项和．
【答案】(1)证明见详见；(2)
【解析】（1），
，
又
构成以为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
，
，
又
构成以为首项，为公比的等比数列
，
，
∴当为偶数时，
当为奇数时，
所以
题型2：裂项相消法求数列的前n项和
（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求前项和.
【思路分析】
（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式；
（2）根据（1）中结论可得，利用裂项相消法求和.
【规范答题】
（1）因为，
当时，可得，解得；
当时，可得，
两式相减得，即；
可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以．
（2）由（1）可知，
则，，
可得，
故.
1．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，点在曲线上且
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，记，求
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）因为点在曲线上，所以且 ，
所以，
结合题设，故数列是首项、公差均为1的等差数列．
（2）由（1）及，知，则．
因为 ，所以，则，
故．
2．（2025·湖南·模拟预测）设正项数列的前n项和，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由得，可知，
两式相减得，
即，
，
∵当时，，
则是首项为1，公差的等差数列，
的通项公式为；
（2），
，
.
题型3：错位相减法求数列的前n项和
（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知正项数列满足：．
(1)证明是等比数列，并求通项；
(2)若，求数列的前项和的表达式．
【思路分析】
（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式；
（2）根据错位相减法直接求数列的前项和.
【规范答题】
（1）证明：由，得，
因为是正项数列，所以，即，
所以是公比为的等比数列，又，得，
所以.故
（2）由（1）知，所以.
所以，即，
，
所以 ，
所以.
故.
1．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）在等比数列中，，，且成等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设的公比为，由，得，
因为成等差数列，
所以，所以，
所以，解得（舍），或，
又，所以.
（2）由，得
两边同乘以，得
两式相减，得，
所以．
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知数列前n项和为，且满足，数列满足．
(1)求出
(2)求出数列的前项和
【答案】(1)；；(2)
【解析】（1）因为，
当时，，所以，
当时，可得，
两式相减，得，
所以，所以，，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
因为，
所以．
（2）由（1）得，
所以，
则，
两式相减得
，
所以.
题型4：数列与不等式综合应用
（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知数列的前项为，且.正项等比数列的首项为1，为其前项和，且.
(1)求，；
(2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值.
【思路分析】
（1）根据与的关系求解，结合等比数列的求和公式及题设分，两种情况求解；
（2）转化问题为对任意的恒成立，进而利用不等式组求得的最小值，即可求解.
【规范答题】
（1）由，
当时，，
当时，，满足上式，所以.
由，正项等比数列的首项为1，
当公比时，，，不满足；
当公比，且时，，解得，此时.
综上所述，.
（2）由，，则，
即对任意的恒成立，
当时，，
当时，设数列在第项取得最小值，
则，解得，
而，则，此时取得最小值，
由于，即，
则实数的最大值为.
1．（2025·河南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)对于任意，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由已知可得，
因为，解得，
又，
得，
所以.
（2）由（1）可知，则，
由可得，
令，
，
当时，，
当时，，
则数列的最大项为，故，
即实数的取值范围为.
2．（24-25高三下·四川江油·三诊）已知数列满足，（），记．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，数列的前n项和为.
(ⅰ)求．
(ⅱ)若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)（i）(ⅱ)
【解析】（1），，
又，
所以，
又， ，
数列中任意一项不为0，，
数列是首项为2， 公比为2的等比数列，则.
（2）(ⅰ) 由第（1）问知， ，则，设数列的前项和为，
所以①，②，
所以①-②可得：
，
所以.
(ⅱ)由，得，化简得.
当为奇数时，有，即，
而，所以；
当为偶数时，有，
而，所以.
综上，的取值范围为.
题型5：数列中的探究性问题
（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列?若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由．
【思路分析】
（1）由和计算分析即可求解；
（2）先由题意结合（1）中通项公式求出，接着假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，结合等差中项公式分析计算求得得出矛盾，从而得解.
【规范答题】
（1）依题意得，当时，．
由，可得，
两式相减得，
当时，，亦符合，
所以数列是以3为首项，以4为公差得等差数列，故．
（2）在数列中不存在不同的三项，， （其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，
理由如下：
由（1）可得，依题意得，
假设在数列中存在三项，，（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列，
则，即
整理得：①
又因为m，k，p成等差数列，则，
代入①式整理得： ，
即，化简得，即，
而m，k，p成等差数列，即，
又因为，，为不同的三项，，故假设不成立．
因此，在数列中不存在不同的三项，，
（其中m，k，p成等差数列）仍然成等差数列．
1．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在；或或或或或
【解析】（1）由，得，
又数列的各项均为正数，则，所以，
又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列．
（2）由（1）得，于是，
假设存在正整数，使得成等比数列，则，
即，
即，整理得，
因为均为正整数且，
所以的正整数解为：
或或或或或
所以存在正整数，使得成等比数列．
2．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知数列前项和为，满足；数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)对于给定的正整数，在和之间插入个数，使得成等差数列.
（i）求；
（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或数列中的项？若存在，请求出所有满足条件的的值（直接写出结论即可）.若不存在，请说明理由.
【答案】(1)（为常数）；(2)（i）；（ii）不存在满足条件的正整数.
【解析】（1）已知数列的前项和，
当时，，故，
当时，，
由，得：，整理得：，即，
通过累乘法可得：，
验证：，
而，两者相等，故的通项公式为（为常数）；
（2）（i）在和之间插入个数，形成等差数列，共项，
设公差为，
则：解得，
是该等差数列的第项（从开始计数为第项），
故：代入，
得：；
（ii）由（常数列），为（自然数倍数的数列），
分析：
若，则，即，解得，无正整数解，
若，则（为正整数），即，
化简得，由于非整数，故左边非整数，矛盾，
综上，不存在正整数满足条件.
题型6：数列的新定义问题
（25-26高三上·江苏南京·开学考试）对于数列，记，称数列为数列的差分数列．
(1)已知，证明：的差分数列为等差数列；
(2)已知的差分数列为，求的通项公式．
【思路分析】
（1）根据定义可求，再利用定义法可证的差分数列为等差数列；
（2）利用累加法可求的通项公式．
【规范答题】
（1），其中，
故，故的差分数列为等差数列.
（2）由题设有，
故，由累加法可得，
而，所以，
而也满足该式，故.
1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列的前项和为，若数列满足，则称数列是“方特数列”.
(1)证明：数列是“方特数列”；
(2)若数列是“方特数列”，求的取值范围；
(3)证明：当时，数列是“方特数列”.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析
【解析】（1）当时，，
，
∴数列满足，即数列是“方特数列”.
（2）当时，，
，满足条件；
当时，，
∵数列是“方特数列”，
∴，.
∴，∴且，
综上所述，当数列是“方特数列”时，的取值范围为.
（3）当时，由（1）知满足条件，
当且时，，
，
∴，
∴，
，
设，∴，
当时，单调递增；当时，单调递减，∴，
∴，
综上所述，当时，数列是“方特数列”.
2．（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
(3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；(2)；(3)不存在，理由见解析
【解析】（1）由题意，当时，有；当时，
联立方程，解得或（舍）.
所以数列的通项公式.
由题意知，，则，
联立方程，解得，
所以数列的通项公式．
综上，，.
（2）因为，
所以...①，
①×3得，...②，
①-②得，，
，
化简得：.
（3）由（1）知.
所以，所以．
设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
则．故，即．
又因为m，k，p成等差数列，所以，故.
故，化简得，所以.
又因为，所以，故，即.
而，所以.
与假设矛盾．
所以在数列中不存在3项成等比数列．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
4．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
【答案】(1)；(2)①证明见解析；②
【解析】（1）设等比数列的公比为，
因为，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
当时，则，即
可知，
，
可得，
当且仅当时，等号成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，则；
若，则，
当时，，可知为等差数列，
可得，
所以，
且，符合上式，综上所述：.
5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列是可分数列．
(1)写出所有的，，使数列是可分数列；
(2)当时，证明：数列是可分数列；
(3)从中任取两个数和，记数列是可分数列的概率为，证明：．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）首先，我们设数列的公差为，则.
由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，
故我们可以对该数列进行适当的变形，
得到新数列，然后对进行相应的讨论即可.
换言之，我们可以不妨设，此后的讨论均建立在该假设下进行.
回到原题，第1小问相当于从中取出两个数和，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是，或，或.
所以所有可能的就是.
（2）由于从数列中取出和后，
剩余的个数可以分为以下两个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，共组.
（如果，则忽略②）
故数列是可分数列.
（3）定义集合，
.
下面证明，对，如果下面两个命题同时成立，
则数列一定是可分数列：
命题1：或；
命题2：.
我们分两种情况证明这个结论.
第一种情况：如果，且.
此时设，，.
则由可知，即，故.
此时，由于从数列中取出和后，
剩余的个数可以分为以下三个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，共组；
③，共组.
（如果某一部分的组数为，则忽略之）
故此时数列是可分数列.
第二种情况：如果，且.
此时设，，.
则由可知，即，故.
由于，故，从而，这就意味着.
此时，由于从数列中取出和后，
剩余的个数可以分为以下四个部分，共组，使得每组成等差数列：
①，共组；
②，，共组；
③全体，其中，共组；
④，共组.
（如果某一部分的组数为，则忽略之）
这里对②和③进行一下解释：
将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含个行，个列的数表以后，
个列分别是下面这些数：
，，
，.
可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，
将取遍中除开五个集合，，，，中的十个元素以外的所有数.
而这十个数中，除开已经去掉的和以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数.
这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列是可分数列.
至此，我们证明了：对，
如果前述命题1和命题2同时成立，则数列一定是可分数列.
然后我们来考虑这样的的个数.
首先，由于，和各有个元素，故满足命题1的总共有个；
而如果，假设，则可设，，代入得.
但这导致，矛盾，所以.
设，，，则，即.
所以可能的恰好就是，
对应的分别是，总共个.
所以这个满足命题1的中，不满足命题2的恰好有个.
这就得到同时满足命题1和命题2的的个数为.
当我们从中一次任取两个数和时，
总的选取方式的个数等于.
而根据之前的结论，使得数列是可分数列的至少有个.
所以数列是可分数列的概率一定满足
.
这就证明了结论.
6．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，．
(1)求，的通项公式；
(2)，，有，
（i）求证：对任意实数，均有;
（ii）求所有元素之和．
【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，
则由题得，
所以；
（2）（i）证明：由（1）或，，
当时，
设，
所以，
所以，
所以，为中的最大元素，
此时恒成立，
所以对，均有.
（ii）法一：由（i）得对任意实数，均有，
所以，，
所以取值随着的取值不同各不相同，
又为中的最大元素，
由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成：
当均为1时：此时该系列元素只有即个；
当中只有一个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素有共有个，
则这个元素的和为；
当中只有2个为0，其余均为1时：
此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
…
当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个，
则这个元素的和为；
当均为0时：此时该系列的元素为即个，
综上所述，中的所有元素之和为
；
法二：由（i）得，为中的最大元素，
由题意可得，
所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次，
所以中的所有元素之和为.
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.
(1)若，求；
(2)证明：数列是公比为的等比数列；
(3)设为的面积，证明：对任意正整数，.
【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）
由已知有，故的方程为.
当时，过且斜率为的直线为，
与联立得到.
解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上.
故，从而，.
（2）方法一：由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程.
展开即得，由于已经是直线和的公共点，故方程必有一根.
从而根据韦达定理，另一根，相应的.
所以该直线与的不同于的交点为，而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上.
所以.
这就得到，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
方法二：因为，，，则，
由于，作差得，
，利用合比性质知，
因此是公比为的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
而又有，，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明的取值是与无关的定值，所以.
方法二：由于上一小问已经得到，，
故.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
所以对任意的正整数，都有
.
这就得到，
以及.
两式相减，即得.
移项得到.
故.
而，.
所以和平行，这就得到，即.
方法三：由于，作差得，
变形得①，
同理可得，
由（2）知是公比为的等比数列，令则②，
同时是公比为的等比数列，则③，
将②③代入①，
即，从而，即.
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项，且满足
(1)求证：为等比数列；
(2)设，记的前项和，求满足的最小正整数．
【答案】(1)证明见解析；(2)10
【解析】（1），
是以1为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）得，即，
所以，
所以，
因为，
所以为递增数列，又.
所以满足的最小正整数为10.
2．（25-26高三上·湖南·阶段练习）记数列的前n项和为，已知，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由已知，，即，即，所以数列是公差为3的等差数列
因为，则
因为，所以的通项公式是.
（2）因为，则
因为，则
所以.
3．（25-26高三上·广东·阶段练习）已知数列的前项和为，，且（）．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为数列满足，
当时，可得，
两式相减，可得，所以，即，
又因为，可得，即，
所以，所以数列为以2为首项，3为公比的等比数列，
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，所以，
可得，
则
.
4．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）记为数列的前项和，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)若．
①求的通项公式；
②求的前项和．
【答案】(1)证明见解析；(2)①；②
【解析】（1）因为，所以，
两边同除得，即，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列.
（2）①由（1）可知，所以，当时，，
当时，，又，所以，所以，
所以，
当时，，
所以，当时，也满足，
所以的通项公式为；
②因为，
所以的前项和
.
5．（25-26高三上·山东潍坊·开学考）已知数列为非零数列，设，是数列的前n项之积，且满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，且当时，，对于均有恒成立，求满足条件的正整数k．
【答案】(1)；(2)4和5
【解析】（1）由题意得：
当时，，解得．
当时，由
得：
两式相除得：，即
当时，也满足上式，所以
（2）由（1）可知，，
故当时，
当时，由，得
，
解得，且，所以或
又，，，所以
故数列中最大项为和，即满足条件的正整数k的值为4和5.
6．（25-26高三上·湖北·阶段练习）记为数列的前n项和，已知.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）令时，，即得，
当时，①，②，
由①②得，，又由，又，，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列.
（2），，
因为，所以，
，
两式相减得：
，
所以.
7．（25-26高三上·天津武清·阶段练习）已知等差数列满足公差，，.等比数列的首项，，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)数列的前项和为，记数列的前项和为，求；
(3)若，求数列的前项和.
【答案】(1)，；(2)；(3).
【解析】（1）在等差数列中，，而，
则是方程的两个实根，由，得，
解得，，，，
在等比数列中，由，，得，而，则，
所以数列，的通项公式分别为，.
（2）由（1）得，，
，
，
两式相减得
，
所以.
（3）由（2）得，，
所以
.
8．（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）已知数列的项数有限，且满足以下两个条件：①，②.称该数列为阶好数列.
(1)若为等比数列，写出阶好数列的各项(不必说明理由).
(2)若为等差数列，且为阶好数列，求该数列的通项(，用、表示).
(3)记阶好数列的前项和为，若存在()满足，则数列能否为阶好数列?请说明理由.
【答案】(1)或；(2)，其中.
(3)不能，理由见解析
【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，故，
否则，这与为等比数列矛盾.
故，而，故，
故，而，故，即或，
故4阶好数列的各项为：或.
（2）设等差数列的公差为，
由，得，即，
因，则，从而，.
若，则为常数列且常数为0，这与矛盾.
当时，因，，则有，
所以，解得.
由得，则.
所以.
当时，同理可得，即.
由得，则，
所以.
综上，，其中.
（3）因为，故.
故，
结合绝对值不等式取等的条件可得.
故，
当时，
，
所以，
所以与不能同时成立，
所以数列不能为阶好数列.
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
2、常见类型：
（1）分组转化法：若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列：
（2）奇偶并项求和：通项公式为an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数))的数列，
其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列．
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．
数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等．
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．
1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的．
2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．