2026年高三数学一轮复习之一题多变系列讲义第4题由三角函数零点求参数范围(学生版+解析)

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【2024年10月福建百校联考高三测评T8】已知，函数与的图象在上最多有两个公共点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
由题意知与的图象在上最多有两个公共点，可转化为同一个函数在上最多有两个零点，根据辅助角公式化简得，结合正弦函数的图象和性质分别讨论区间端点所在位置列出不等式求解即可.

设，
因为函数与的图象在上最多有两个公共点，
即在上最多有两个零点，所以，则，
由得，根据结合正弦函数图象可分如下情况：
（1）由得；（2）由得；
（3）由得；（4）由得；
（5）由得此时不等式组无实数解，
综上可得，
故选：A．
1．已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将化简为，根据方程可知或，根据整体的范围可知需满足，解不等式得到的取值范围.
【详解】，
令，则，，
或，
，，
在上有且只有四个实数根，，
解得：.
故选：B.
2．已知函数，，函数在区间上单调递增，在区间上恰有个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由，得，由在区间上恰有个零点，结合正弦函数图象得，最后根据函数在区间上单调递增，结合正弦函数的单调性得，最后确定的取值范围.
【详解】因为，得，又，则，
当时，，
因为在上只有个零点，所以，解得，
当时，，
因为，所以，，
又因为在上单调递增，所以，解得，
综上可得.
故选：C.
由题意知与的图象在上最多有两个公共点，令，
即，令，即，可知，则与的图象在至多有两个交点，结合正切函数图象和性质列出不等式即可求解.

由题意令，即，因为，所以，即，则与在至多有两个交点.
结合正切函数图象及性质可得：
，
又，故；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
综上可得．
故选：A．
3．当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分别作出与的图象，可得，从而可求解.
【详解】由，如图所示，画出在时的图象，
对于，，，
令，得，，得，，
由与的图象有个交点，
由图知，解得，故B正确.
故选：B.

4．设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使，求取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于的不等式，解出即可．
【详解】令，则，令，则，
则原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，
作出与的图象，如图所示，

由图知，满足条件的最短区间长度为，最长区间长度为，
∴，解得．
故选：B．
由题意知与的图象在上最多有两个公共点，令，
即，即在至多有两解，结合选项可分别取验证排除即可.
由题意令，即，即在至多有两解.
结合选项分别取验证：
当时，即，此时在有一解满足题意，故C错误；
当时，即，此时在有，两解满足题意，故B错误；
当时，即，此时在有，，三解，与题意矛盾，故D错误；
故选：A．
5．当时，函数与的图象有4个交点，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】在同一坐标系内作出时函数与在内的图象，利用图象的交点个数判断.
【详解】对于A，当时，函数与在内的图象如图，
它们有2个交点，A不是；
对于B，当时，函数与在内的图象如图，
它们有4个交点，B是；
对于C，当时，函数与在内的图象如图，
它们有6个交点，C不是；
对于D，当时，函数与在内的图象如图，
它们有8个交点，D不是.
故选：B
6．已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出范围；求出函数零点，根据题意得出不等式，求出范围，由交集得出最后范围.
【详解】令，
则
当时，，∴，即，
令，则，
∵时，，
且时，，时，，时，，
∴，∴，
综上，.
故选：D.
7．已知函数，若在区间上单调递增，且在区间上有且只有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】化简的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
.
，由于在区间上有且只有一个零点，
所以，
而，
其中，而，
在区间上单调递增，
所以，解得，
则.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为一个简单的正弦函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数的范围.
8．已知函数在区间上只有一个零点和两个最大值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将函数进行三角恒等变换化成正弦型函数，再将看成整体角，依题求得的范围，结合的图象，按要求即得，解之即得.
【详解】由，
设，由可得，
如图作出函数在上的图象.
由图，要使函数在上只有一个零点和两个最大值点，
需使，解得.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角恒等变换和正弦型函数得性质应用，属于难题.
解题关键在于，将函数化成正弦型函数后，必须将其中的辐角看成整体，求出其范围，结合正弦型函数（余弦型函数）的图象解决.
9．已知函数在上恰有2个零点，则的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由的范围求出的范围，结合函数图像确定，解不等式即可.
【详解】因为，
令，即，；
又因为，所以，
令，有，则问题转化为，如图所示，
因为函数在上恰有2个零点，所以，
所以，解得.
故选：C.
10．已知关于x的方程在内恰有3个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，根据方程有3个不相等的实数根可得，求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
由，可得，
因为方程有3个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得，
解得，所以的取值范围．
故选：B．
11．设函数，当时，方程有且只有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合三角恒等变换化简函数表达式，利用三角函数性质结合已知即可列出关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】，
注意到，所以当时，，
，
因为方程有且只有两个不相等的实数解，
所以，解得，即的取值范围是.
故选：B.
12．若当时，函数与的图象有且仅有4个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出两个函数的图象，然后找出有4,5个交点临界状态的解即可.
【详解】如图所示，画出在的图象，
也画出的草图，
函数与的图象有且仅有4个交点，
则将的第4个，第5个与x轴交点向处移动即可.
满足，解得．
故选：C．
13．已知函数（）在区间上只有1个零点，且当时，单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由范围求得的范围，结合整体思想转化为在上只有1个零点，在上单调递增，求解即可.
【详解】当时，，
因为在上只有1个零点，
所以，解得，
当时，，
因为，所以，
又因为在上单调递增，
所以，解得.
综上可得.
故选：C.
14．曲线与在内有3个交点，则可能的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】利用三角函数的恒等变换将问题转化与在内有3个交点，再利用数形结合即可得解.
【详解】令，
则，
则，
易知，
，
所以，
设，则，
令，因为，故，
因为与在内有3个交点，
所以问题转化为与在内有3个交点，
作出与的大致图象，
虽然不好确定的正负情况，
但数形结合可知，当时，不管的值为正还是为负，
与在内都恰有3个交点，故B正确；
其他选项都不正确.
故选：B.
【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：
（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；
（2）转化为函数图象的交点问题，数形结合解决问题；
（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.