2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第35讲等比数列及其前n项和（教师版）

这是一份2024年新高考数学一轮复习知识梳理与题型归纳第35讲等比数列及其前n项和（教师版），共8页。试卷主要包含了等比数列的有关概念，等比数列的有关公式，等比数列的性质等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(q≠0，n∈N*)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝aeq \\al(2,r)．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
1．正确理解等比数列的单调性
当q>1，a1>0或0当q>1，a1<0或00时 ，{an}是递减数列；
当q＝1时，{an}是常数列；
当q＝－1时，{an}是摆动数列．
2．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))，{aeq \\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,bn)))仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．
(4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，eq \f(T2n,Tn)，eq \f(T3n,T2n)，…成等比数列．
(5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝eq \f(a1,1－q).
(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．
题型归纳
题型1 等比数列的基本运算
【例1-1】在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝（ ）
A．3B．27C．D．243
【分析】由题意利用等比数列的性质，求得a5a6＝的值．
【解答】解：等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a5a6＝a11•a10＝3，
故选：A．
【例1-2】若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝3，S6＝9，则S9＝（ ）
A．12B．18C．21D．24
【分析】由已知可知S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，从而可求．
【解答】解：等比数列{an}中，S3＝3，S6＝9，
由等比数列的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等比数列，
即3，6，S9﹣S6成等比数列，
所以36＝3（S9﹣S6），
则S9＝21
故选：C．
【例1-3】设等比数列{an}满足a1+a2＝4，a3﹣a1＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为数列{lg3an}的前n项和．若Sm+Sm+1═Sm+3，求m．
【分析】（1）设其公比为q，则由已知可得，解得a1＝1，q＝3，可求其通项公式．
（2）由（1）可得lg3an＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求Sn，由已知可得，进而解得m的值．
【解答】解：（1）设公比为q，则由，
可得a1＝1，q＝3，
所以an＝3n﹣1．
（2）由（1）有lg3an＝n﹣1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，
所以Sn，
所以，m2﹣5m﹣6＝0，
解得m＝6，或m＝﹣1（舍去），
所以m＝6．
【跟踪训练1-1】已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且，若b5b6＝2，则a11＝（ ）
A．16B．21C．31D．32
【分析】由题意利用等比数列的性质，求得结果．
【解答】解：∵数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且，
∴b1•b2•b3…b10••a11．
∵b5b6＝2，
∴b1•b2•b3…b1025，
∴a11＝25＝32，
故选：D．
【跟踪训练1-2】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则（ ）
A．2n﹣1B．2﹣21﹣nC．2﹣2n﹣1D．21﹣n﹣1
【分析】根据等比数列的通项公式求出首项和公比，再根据求和公式即可求出．
【解答】解：设等比数列的公比为q，
∵a5﹣a3＝12，
∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），
∴q＝2，
∴a1q4﹣a1q2＝12，
∴12a1＝12，
∴a1＝1，
∴Sn2n﹣1，an＝2n﹣1，
∴2﹣21﹣n，
故选：B．
【跟踪训练1-3】已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100．
【分析】（1）设出等比数列的公比，由已知列式求得公比，进一步求出首项，可得等比数列的通项公式；
（2）由题意求得0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，可知b63＝5，b64＝b65＝…＝b100＝6．则数列{bm}的前100项和S100可求．
【解答】解：（1）∵a2+a4＝20，a3＝8，
∴8q＝20，
解得q＝2或q（舍去），
∴a1＝2，
∴an＝2n，
（2）记bm为{an}在区间（0，m]（m∈N*）中的项的个数，
∴2n≤m，
∴n≤lg2m，
故b1＝0，b2＝1，b3＝1，b4＝2，b5＝2，b6＝2，b7＝2，
b8＝3，b9＝3，b10＝3，b11＝3，b12＝3，b13＝3，b14＝3，b15＝3，b16＝4，…，
可知0在数列{bm}中有1项，1在数列{bm}中有2项，2在数列{bm}中有4项，…，
由100，100
可知b63＝5，b64＝b65＝…＝b100＝6．
∴数列{bm}的前100项和S100＝0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×37＝480．
【名师指导】
等比数列基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(a1－anq,1－q)..
题型2 等比数列的判定与证明
【例2-1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Snb（n∈N*，b∈R，b≠0）．
（ I）求证：{an}是等比数列；
（ II）求证：{an+1}不是等比数列．
【分析】（Ⅰ）根据数列的递推公式和等比数列的定义即可证明，
（Ⅱ）利用反证法证明即可．
【解答】证明：（ I）因为Snb，所以当n≥2时Sn﹣1an﹣1+b，
两式相减得Sn﹣Sn﹣1ban﹣1﹣b，
∴anan﹣1，
∴an＝3an﹣1，
故{an}是公比为q＝3的等比数列．
（ II）假设：{an+1}是等比数列，则有：（an+1）2＝（an+1+1）（an﹣1+1），
即：an2+2an+1＝an+1an﹣1+an+1+an﹣1+1，
由（ I）知{an}是等比数列，所以an2＝an+1an﹣1，
于是2an＝an+1+an﹣1，即6an＝an﹣1+9an﹣1，解得an﹣1＝0，
这与{an}是等比数列相矛盾，
故假设错误，即：{an+1}不是等比数列．
【跟踪训练2-1】已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝2an+1，（n∈N*）．
（1）求证：数列{an+1}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项和．
【分析】（1）把所给的递推公式两边加上1后，得到an+1+1＝2（an+1），再变为2，由等比数列的定义得证；
（2）根据（1）的结论和条件，求出{an+1}的通项公式，再求出{an}的通项公式，利用分组求和方法和等比数列的前n项和公式进行求解．
【解答】解：（1）∵an+1＝2an+1，（n∈N*），
∴an+1+1＝2（an+1），
∴2，
∴数列{an+1}是以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，数列{an+1}是等比数列，且q＝2，首项为a1+1＝2，
∴an+1＝2•2n﹣1＝2n，
∴an＝2n﹣1，
∴数列{an}的前n项和sn＝（2+22+…+2n）﹣nn＝2n+1﹣n﹣2．
【名师指导】
等比数列的4种常用判定方法
题型3 等比数列的性质及应用
【例3-1】已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，a4•a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，能求出公比．
【解答】解：各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N*，
a4•a14＝9，a8+a10＝10，
∴，
解得数列{an}的公比为q＝3．
故选：D．
【例3-2】若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝10，S10＝30，则S20＝（ ）
A．80B．120C．150D．180
【分析】由已知结合等比数列的求和公式即可直接求解．
【解答】解：∵等比数列{an}中S5＝10，S10＝30，
∴q≠1，
，
解可得，10，q5＝2，
则S2010×（1﹣16）＝150．
故选：C．
【跟踪训练3-1】已知正项等比数列{an}中，a3，若a1+a2+a3＝7，则数列的前十项和S10＝（ ）
A．511B．512C．1023D．1024
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
由a2•a3＝a4得，所以a1＝1，
又因为a1+a2+a3＝7，得1+q+q2＝7，所以q＝2，
，
故选：C．
【跟踪训练3-2】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若3，则（ ）
A．9B．7C．5D．4
【分析】利用等比数列前n项和的性质，转化求解即可．
【解答】解：等比数列{an}的前n项和为Sn，所以S1010，S2020﹣S1010，S3030﹣S2020，是等比数列，
由3，不妨设S2020＝3，S1010＝1，则S2020﹣S1010＝2，S3030﹣S2020＝4，
∴S3030＝1+2+4＝7，
则7．
故选：B．
【名师指导】
1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
3．等比数列{an}中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有的性质，设公比为q.
(1)若共有2n项，则eq \f(S偶,S奇)＝q；
(2)若共有2n＋1项，eq \f(S奇－a1,S偶)＝q.定义法
若eq \f(an＋1,an)＝q(q为非零常数，n∈N*)或eq \f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
中项
公式法
若数列{an}中，an≠0且aeq \\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项
公式法
若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
前n项和
公式法
若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列