2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点11极值点偏移与拐点偏移问题(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习举一反三专练(通用版)重难点11极值点偏移与拐点偏移问题(学生版+解析)，共40页。

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\l "_Tc18750" 【题型1 对称化构造函数求极值点偏移问题】 PAGEREF _Tc18750 \h 2
\l "_Tc10560" 【题型2 比值代换求极值点偏移问题】 PAGEREF _Tc10560 \h 4
\l "_Tc1628" 【题型3 指数、对数均值不等式求极值点偏移问题】 PAGEREF _Tc1628 \h 5
\l "_Tc6609" 【题型4 极值点偏移：加法型】 PAGEREF _Tc6609 \h 5
\l "_Tc14474" 【题型5 极值点偏移：减法型】 PAGEREF _Tc14474 \h 6
\l "_Tc1218" 【题型6 极值点偏移：乘积型】 PAGEREF _Tc1218 \h 8
\l "_Tc19421" 【题型7 极值点偏移：商型】 PAGEREF _Tc19421 \h 9
\l "_Tc17526" 【题型8 极值点偏移：平方型】 PAGEREF _Tc17526 \h 10
\l "_Tc1325" 【题型9 极值点偏移：复杂型】 PAGEREF _Tc1325 \h 11
\l "_Tc17942" 【题型10 拐点偏移问题】 PAGEREF _Tc17942 \h 12
1、极值点偏移与拐点偏移问题
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，是近几年高考的热点问题，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色，复习是要注意此类问题的求解.
知识点1 极值点偏移问题及其解题策略
1．极值点偏移的概念
(1)已知函数y=f(x)是连续函数，在区间(a,b)内只有一个极值点x0，f(x1)=f(x2)，且x0在x1与x2之间，由于函数在极值点左右两侧的变化速度不同，使得极值点偏向变化速度快的一侧，常常有，这种情况称为极值点偏移.
(2)极值点偏移
若，则极值点偏移，此时函数f(x)在x=x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3).
(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x2>2x0；
(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)=f(x2)，则x1+x22x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)；
(3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令，求证：f'(x0)>0；
(4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，令，求证：f'(x0)>0.
3．极值点偏移问题的常见解法
(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：
①对结论x1+x2>2x0型，构造函数.
②对结论型，方法一是构造函数，通过研究的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成两变量即可.
(2)(比值代换法)：通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明.
知识点2 指数、对数均值不等式解决极值点偏移问题
极值点偏移问题是近几年高考的热点问题，求解此类问题的一个重要工具就是指数均值不等式和对数均值不等式.
1．对数均值不等式
结论1 对任意的a,b>0(a≠b)，有.
2．指数均值不等式
结论2 对任意实数m, n( m≠n)，有.
【题型1 对称化构造函数求极值点偏移问题】
【例1】（2025·云南·二模）已知常数a>0，函数f(x)=12x2−ax−2a2lnx.
(1)若∀x>0,f(x)>−4a2，求a的取值范围;
(2)若x1、x2是f(x)的零点，且x1≠x2，证明:x1+x2>4a.
【变式1-1】（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数fx=x+aex，直线y=2x+1是曲线y=fx的一条切线．
(1)求a的值，并讨论函数fx的单调性；
(2)若fx1=fx2，其中x14．
【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx=axexa≠0．
(1)若对任意的x∈R，都有fx≤1e恒成立，求实数a的取值范围；
(2)设m、n是两个不相等的实数，且m=nem−n．求证：m+n>2．
【变式1-3】（2025高二下·云南曲靖·学业考试）已知函数fx=lgax−xa(a>1)．
(1)若fx只有一个零点，求a的值；
(2)若fx有两个零点x1,x2，证明：x1+x2>2alna．
【题型2 比值代换求极值点偏移问题】
【例2】（2025高三·全国·专题练习）若x1,x2是函数fx=ex−axx>0的两个零点，且x12且x1x20)
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x−1，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知gx=fx+ax有两个零点x1，x2，求实数a的取值范围并证明x1x2>e2.
【题型3 指数、对数均值不等式求极值点偏移问题】
【例3】（24-25高三上·浙江宁波·开学考试）已知函数fx=lnxx，对于正实数a，若关于t的方程ft=fat恰有三个不同的正实数根，则a的取值范围是（ ）
A．1,8B．e2,8C．8,+∞D．e2,+∞
【变式3-1】（2025·湖南长沙·一模）已知a=e−0.1e+0.1，b=ee，c=e+0.1e−0.1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a