2026年广西壮族自治区柳州市二模数学试题（含解析）（中考模拟）

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数 学
（满分：120分时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效．
3．不能使用计算器．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用“负数小于，小于正数”的比较规则，即可得出最小的数．
【详解】解：∵是负数，其余三个数都是非负数，
∴，
∴四个数中最小的数是．
2. 下列简笔画中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
3. 某校创建了五个社团：文学社、天文社、辩论社、党宣部、曲艺社，圆圆从中随机选择一个社团加入，则选中“党宣部”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式，用符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解．
【详解】解：圆圆随机选择社团时，总共有5种等可能的结果，其中选中“党宣部”的结果只有1种.
根据概率公式，得选中“党宣部”的概率为 ，B选项符合题意．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：选项A：，A错误；
选项B：，B错误；
选项C：，C错误；
选项D：，D正确．
5. 下列为解分式方程的其中四个步骤，其中错误的步骤是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】按照解分式方程的运算步骤，对给出的四个步骤逐一验证，即可找出错误步骤．
【详解】解：，
方程两边同乘最简公分母，
可得，故正确，
展开多项式并去括号，可得，
即，故正确，
合并同类项可得，故正确，
移项整理可得，与不符，故错误．
6. 在平面直角坐标系中，将点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减，据此求解即可．
【详解】解：点向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到点，
可得点的横坐标为，纵坐标为，
故点的坐标为．
7. 下列调查中，适合抽样调查的是（ ）
A. 了解某班同学期中考试的数学成绩
B. 了解全市中小学生的身高情况
C. 了解一张试卷的知识点分布情况
D. 对乘坐某班次飞机的乘客进行安检
【答案】B
【解析】
【分析】根据调查范围大小，调查的要求选择合适的调查方式，范围广，工作量大的调查适合抽样调查．
【详解】解：选项：调查范围仅为一个班，范围小，适合全面调查；
选项：仅调查一张试卷的知识点分布，工作量小，适合全面调查；
选项：飞机安检事关公共安全，必须全面检查，适合全面调查；
选项：调查全市中小学生身高，调查范围广，工作量大，难以完成全面调查，适合抽样调查．
8. 在平面直角坐标系中，点绕原点旋转得到点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】点绕原点旋转，得到的点与原来的点关于原点中心对称，利用关于原点对称的点的坐标特征求解即可．
【详解】解：∵点绕原点旋转得到点，
∴点与点关于原点对称，
∵关于原点对称的点，横坐标和纵坐标分别是原坐标的相反数，
∴点的坐标为．
9. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象经过点
B. 图象位于第二、四象限
C. 当时，随的增大而减小
D. 当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，结合点的坐标验证、图象象限分布、函数增减性逐一判断选项即可．
【详解】解：∵ 当时，，
∴A错误；
∵ ，
∴ 反比例函数图象位于第一、三象限，
∴B错误；
∵ ，当 时，函数图象在第三象限，
∴ 随的增大而减小，
∴正确；
∵ ，当时，函数图象在第一象限，
∴ 随的增大而减小，不是增大，
∴错误．
10. 《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子．
明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组．
【详解】解：设合伙人数为人，羊价为钱，
若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即，
若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即，
因此，可列方程组为，
故选：C．
11. 如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）
A. （千米）B. （千米）
C. （千米）D. （千米）
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解；由题意得，，
∴劣弧的长为千米，
故选：C．
12. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 如图，有一段之字形路段，经过两次转弯后的路段与初始路段保持平行，若第一次转弯时，则__________．
【答案】##度
【解析】
【详解】解：由题意得，
∴．
14. 分解因式：____________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，观察多项式，两项均含有公因式，直接提取公因式即可完成因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 游泳池完成换水需要经过“排水—清洗—注水”三个过程．图中折线表示的是该游泳池在换水过程中池中的水量与时间之间的关系，则清洗游泳池所用的时间为____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查函数的应用，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据函数图象中的数据，可以计算出排水的速度，从而可以求得排水用的时间，最后即可求得清洗游泳池所用的时间．
【详解】解：由图象可得，
排水的速度为：，
∴排水用的时间为：，
清洗游泳池所用的时间为：．
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，点是的内心，则点关于轴对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用勾股定理求解，连接，，，过作，，，垂足分别为，，，根据是的内心，利用，，，得出，求解即可．
【详解】解：点，点，
，，
∴在中，；
连接，，，过作，，，垂足分别为，，，
是的内心，
∴分别平分
∴
∵
∴
∴
同理可得，，，
设，则，，
，
解得：，
∴，
的坐标为，
点关于轴对称的点的坐标是．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 按要求解题：
（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【小问1详解】
解：原式=1+23−4×32=1+23−23=1 ．
【小问2详解】
解：
解不等式①，得，解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
18. 2025年12月15日，我国新型高空高速长航时无人机彩虹成功首飞．某玩具商为吸引客源，现决定购买，两种无人机模型共100架，已知购买1架模型和1架模型共需65元；购买2架模型和1架模型共需100元．
（1）求，两种无人机模型的单价分别为多少元；
（2）若玩具商决定购买以上两种无人机模型的总费用不超过3300元，那么他最多可以购买种无人机模型多少架？
【答案】（1）模型的单价是35元，模型的单价是30元
（2）该玩具商最多可以购买模型60架．
【解析】
【分析】（1）设模型的单价是元，模型的单价是元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可；
（2）设该玩具商购买模型架，则购买模型架，根据题意列不等式，据此求解即可．
【小问1详解】
解：设模型的单价是元，模型的单价是元，
根据题意，解得，
答：模型的单价是35元，模型的单价是30元；
【小问2详解】
解：设该玩具商购买模型架，则购买模型架，
根据题意得，解得，
∴的最大值为60．
答：该玩具商最多可以购买模型60架．
19. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
安全知识竞赛成绩频数分布直方图安全知识竞赛成绩扇形统计图
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：__________，__________；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为度_________；
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】（1），
（2）见解析 （3）
（4）320人
【解析】
【分析】（1）用B：的频数除以占比，求得的值，进而用C：的人数除以总人数求得的值；
（2）根据总人数求得D等级的人数，进而补全统计图；
（3）根据D等级的占比乘以，即可求解．
（4）用样本估计总体，用乘以等级的占比，即可求解．
【小问1详解】
解： ．
∵，
∴．
【小问2详解】
等级学生有（人），
补全频数分布直方图如下：
安全知识竞赛成绩频数分布直方图
【小问3详解】
扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为．
故答案为．
【小问4详解】
（人）．
答：估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有320人．
20. 如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）若所对圆心角的度数为，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明；
（2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接．
∵是直径，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：如图，连接
∵，
∴．
∵，
∴∠CED=12∠ECA=27° ．
21. 某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直．
【收集数据】某次羽毛球飞行的高度（单位：）与距发球点的水平距离（单位：）的对应值如下表（不考虑空气阻力）．
【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线的一部分．
（1）【建立模型】求与的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）【应用模型】羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是多少？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）化为顶点式，进而根据二次函数的性质，即可求解．
【小问1详解】
解：将点代入，
得
解得
∴与的函数解析式为．
【小问2详解】
解：．
∵，
∴当时，有最大值为．
答：羽毛球在此次飞行过程中，飞行的最大高度是．
22. 【综合实践】测量铜像高度
【工具准备】边长为且一边带有刻度的正方形硬纸板、量角器．
【测量步骤】如图，将正方形硬纸板斜放在地面上，使得，，三点在同一直线上，，将点对准点，视线经过边上一点，读取，测得．
【查阅数据】，．
【计算结果】
（1）求的长度；
（2）求铜像的高度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，即可得到；
（2）解直角三角形求得，再证明，据此求解即可．
【小问1详解】
解∶四边形是正方形，
，．
，C, B, G 三点共线，
， ．
， ．
．
，即150BG=20130．
．
答：的长度为．
【小问2详解】
解：由（1）可得，
．
∵∠DCE=69°, cs69°≈0.36 ，
．
∵∠CDE=∠GCH=90°−∠DCE, ∠CED=∠GHC=90° ，
．
∴，即54GH=1501125．
．
∴铜像的高度为．
23. 【基础探究】
在正方形中，，点分别在边上，与相交于点．
（1）①如图1，若点分别是的中点，则___________；
②如图2，若，则___________；
【类比探究】
在菱形中，，点分别在边上，对角线相交于点，与相交于点，连接交于点．
（2）①如图3，若点分别是的中点，求的值；
②如图4，若，求证：；
【拓展延伸】
（3）如图5，在四边形中，，且，点为的中点．若，请直接写出的值．
【答案】（1）①；②；
（2）①；②见解析；
（3）−2+102
【解析】
【分析】（1）①连接，设和交于点，首先，由正方形的性质得AC⊥BD, AC=BD=42，再由点分别是的中点，得，可得CG=AC−AG=32，最后，得sin∠EFC=CGFC=3225=31010；
②首先，证得，得，再由AF=2, CD=4, CF=25，代入可得的长；
（2）①首先，由菱形的性质及，得，进而得tan30°=ODOA，即，接着，由点分别是的中点，得，得AGAO=GFOD=AFAD=12，可得FG=12OD, AG=12OA ，进而得CG=AC−AG=2OA−12OA=32OA ，代入化简可得比值；
②延长至点，使DW=CD ，连接，首先，证得是等边三角形，得CW=CD, ∠W=60° ，再证得，可得EFFC=AFWC，进而得出；
（3）作，交于点，交于点，作，交的延长线于点，得∠CHB=∠DCE=45° ，再证得四边形是平行四边形，得BF=CD, DF=BC ，由，得，然后，证得，得BFCE=ABGC=AFGE，设EG=AE=EB=x, BC=AF=y ，则AB=2x, CG=BC+BG=BC+2BE=y+2x ，将代数式代入，整理得，解得yx=−2+102或yx=−2−102（舍去），最后，得CDCE=BFCE=−2+102．
【小问1详解】
①解：如图1，连接，设和交于点．
∵四边形是正方形，，
∴AC⊥BD, AC=BD=42．
∵点分别是的中点，
∴，
∴AG=OG=2，
∴CG=AC−AG=32，
∴sin∠EFC=CGFC=3225=31010．
②解：∵四边形是正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°, AD=CD ，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵AF=2, CD=4, CF=25，
∴EF25=24
∴．
【小问2详解】
①解：∵四边形是菱形，，
∴，，平分∠BAD, ∠BAD=60° ，
∴，
∴tan30°=ODOA，
∴．
∵点分别是的中点，
∴，
∴AGAO=GFOD=AFAD=12，
∴FG=12OD, AG=12OA ，
∴CG=AC−AG=2OA−12OA=32OA ，
∴CGFG=32OA12OD=33．
②证明：如图2，延长至点，使DW=CD ，连接．
∵四边形是菱形，
∴AC⊥BD, AD=CD=AB ，
∴∠CDW=∠BAD=60° ，
∴是等边三角形，
∴CW=CD, ∠W=60° ，
∴CW=AD, ∠W=∠BAD, ∠CFW+∠FCW=180°−∠W=120° ．
∵，
∴∠AFE+∠CFW=120° ，
∴∠AFE=∠FCW ，
∴，
∴EFFC=AFWC，
∴．
【小问3详解】
解:如图3，作，交于点，交于点，作，交的延长线于点，
∴∠CHB=∠DCE=45° ．
∵，
∴四边形是平行四边形，∠ABC=180°−∠A=135°, ∠ABG=∠A=45° ，
∴BF=CD, DF=BC ．
∵，
∴，
设，则∠CBH=135°−α ，
∴，
∴．
∵∠G=90°−∠ABG=45° ，
∴，
∴，
∴BFCE=ABGC=AFGE，
设EG=AE=EB=x, BC=AF=y ，则AB=2x, CG=BC+BG=BC+2BE=y+2x ，
∴2x2x+y=yx，
∴，
∴yx=−2+102或yx=−2−102（舍去），
∴CDCE=BFCE=−2+102．
巧妙添加辅助线，延长至点，使DW=CD ，连接，运用菱形的性质、等边三角形的性质证得；巧妙添加辅助线，作，交于点，交于点，作，交的延长线于点，运用平行四边形的性质构造相似三角形，得BFCE=ABGC=AFGE，设EG=AE=EB=x, BC=AF=y ，则AB=2x, CG=BC+BG=BC+2BE=y+2x ，得到关于的方程，并解方程是解题的关键．
水平距离
竖直高度