初中数学沪科版（2024）七年级下册（2024）相交线优秀导学案

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▉题型1 对顶角、邻补角
【知识点的认识】
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
1．如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE等于（ ）
A．72°B．90°C．108°D．144°
【答案】C
【解答】解：∵∠1＝36°，
∴∠AOD＝180°﹣∠1＝144°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=12∠AOD＝72°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝108°，
故选：C．
2．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数为（ ）
A．20°B．50°C．70°D．80°
【答案】B
【解答】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，
∴∠AOC=12∠EOC=12×100°＝50°，
则∠BOD＝∠AOC＝50°．
故选：B．
3．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝34°，则∠BOD的度数为（ ）
A．22°B．34°C．56°D．72°
【答案】A
【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝34°，
∴∠EOF＝90°﹣34°＝56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝56°﹣34°＝22°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°．
故选：A．
4．下列工具中，有对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项C．
故选：C．
5．如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，小刚提供了测量方案是：反向延长OA至点C，若他测量∠BOC的度数是35°36′，则∠AOB的度数是（ ）
A．144°64′B．144.64°C．144°24′D．145°24′
【答案】C
【解答】解：如图，∵∠AOB与∠BOC是邻补角，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣35°36′＝144°24′，
故选：C．
6．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；
B、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；
C、图中，∠1与∠2是对顶角，符合题意；
D、图中，∠1与∠2不是对顶角，不符合题意；
故选：C．
7．如图，当光线从空气射入水中，光线的传播发生了改变，这就是折射现象．∠1的对顶角是（ ）
A．∠AOBB．∠BOCC．∠AOCD．都不是
【答案】A
【解答】解：根据对顶角的定义判断：∠1的对顶角为∠AOB，
故选：A．
8．如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．在图中，直线AB与CD相交于水平面上的点F，一束光线沿CD斜射入水面，在点F处发生折射，沿FE方向射入水中．如果∠1＝42°，∠2＝29°．那么光的传播方向改变了（ ）
A．42°B．29°C．21°D．13°
【答案】D
【解答】解：∵∠1＝42°，∠1与∠BFD是对顶角，
∴∠BFD＝∠1＝42°（对顶角相等），
∵∠2＝29°，
∴∠DFE＝∠DFB﹣∠2＝42°﹣29°＝13°，
所以光的传播方向改变了13°，
综上所述，只有选项D正确，符合题意．
故选：D．
9．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOC．若∠AOC＝50°，则∠BOE的度数是（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【答案】D
【解答】解：∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°（平角的定义），
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC＝65°（角平分线的定义）．
故选：D．
10．下面四个图形中，∠1＝∠2一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2＝180°；故本选项错误；
B、∠1、∠2是对顶角，根据其定义；故本选项正确；
C、根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D、根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
11．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝135°，∠1=12∠2，则∠1的度数为（ ）
A．40°B．50°C．45°D．60°
【答案】C
【解答】解：∵∠AOD＝135°，
∴∠1+∠2＝135°．
∵∠1=12∠2，
∴3∠1＝135°，
∴∠1＝45°．
故选：C．
12．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB增加25°时，∠COD（ ）
A．不变B．增加25°C．减少25°D．增加50°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB＝∠COD，
∴当∠AOB增加25°时，∠COD也增加25°，
故选：B．
13．小明在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线，如图，把两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，可以做成一个测量内槽宽的工具（卡钳），当∠AOB增大10°时，∠A′OB′的度数（ ）
A．减小10°B．增大10°C．增大20°D．不变
【答案】B
【解答】解：由图知∠AOB与∠A′OB′是对顶角，
则∠AOB＝∠A′OB′（对顶角相等），
∴当∠AOB增大10°时，∠A′OB′的度数增大10°，
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．
（1）求∠BOE的度数；
（2）求∠BOF的度数．
【答案】（1）30°；
（2）45°．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝2∠BOD，∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD=13×180°＝60°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE=12∠BOD=12×60°＝30°；
（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=12∠COE=12×150°＝75°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠BOE＝75°﹣30°＝45°．
▉题型2 垂线
【知识点的认识】
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，∠1＝55°，则∠BOD的度数是（ ）
A．40°B．45°C．30°D．35°
【答案】D
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠BOD+∠1＝∠BOE，
∠1＝55°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠1＝90°﹣55°＝35°．
故选：D．
16．如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF＝65°，则∠DEB的度数为（ ）
A．155°B．135°C．35°D．25°
【答案】D
【解答】解：∵EF⊥AB于E，∠CEF＝65°，
∴∠AEF＝90°，
则∠AEC＝∠BED＝90°﹣65°＝25°．
故选：D．
17．如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（ ）
A．28°B．30°C．32°D．34°
【答案】D
【解答】解：∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOB＝180°，
又∠AOF＝28°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOF﹣∠EOF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，
∵OB平分∠DOE，
∴∠DOE＝2∠EOB＝2×62°＝124°，
∵∠COE+∠DOE＝180°，
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣124°＝56°，
∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣56°＝34°．
故选：D．
18．如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，已知∠ABE＝∠FBM，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝（ ）
A．60°B．70°C．80°D．85°
【答案】B
【解答】解：∵BM⊥CD，
∴∠CBM＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠ABE+∠FBM＝180°﹣90°﹣50°＝40°，
∵∠ABE＝∠FBM，
∴∠ABE＝∠FBM＝20°，
∴∠EBC＝20°+50°＝70°．
故选：B．
19．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝72°，OE平分∠BOD，OF⊥OD，则∠EOF的度数为（ ）
A．54°B．72°C．36°D．50°
【答案】A
【解答】解：由条件可知∠BOD＝∠AOC＝72°，
因为OE平分∠BOD，
所以∠EOD=12∠BOD=36°，
因为OD⊥OF，
所以∠FOD＝90°，
所以∠EOF＝∠FOD﹣∠EOD＝90°﹣36°＝54°．
故选：A．
20．过直线m外的一点Q作m的垂线，下列图中借助直角三角尺操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：过直线外一点向直线作垂线，则过点Q的垂线垂直于直线m，交点处所成角度为90°，
∴运用直角尺操作正确的是D选项．
故选：D．
21．下列各图中，过直线l外点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：根据分析可得D的画法正确，
故选：D．
22．下列说法正确的有（ ）
①互为补角的两角的平分线互相垂直；
②在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定相交；
③两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直；
④画一条射线的垂线，垂足一定落在这条射线上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：①互为补角的两角的平分线不一定互相垂直，如正方形的对角的平分线是一条，故本结论错误；
②在同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交，但它们所在的直线一定相交，正确；
③两条直线相交成四个角，有一对对顶角都是45°，两角互余，其邻补角为135°，二线不垂直，故本结论错误；
④画一条射线的垂线，垂足可能落在这条射线上，也可能落在射线的反向延长线上，故本结论错误．
故选：A．
23．如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．作射线OF⊥AB于点O，∠EOF的度数为 23°或157° ．
【答案】23°或157°．
【解答】解：当点F在CD上方时，如图所示，
∵∠BOD＝46°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝134°．
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE=12∠AOD＝67°．
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝90°﹣67°＝23°；
当点F在CD下方时，
同理可得，
∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝90°+67°＝157°，
综上所述，∠EOF的度数为23°或157°．
故答案为：23°或157°．
24．已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC，射线OF⊥CD于点O，且∠BOF＝40°，则∠COE＝ 65° ．
【答案】65°
【解答】解：如图，
∵∠COF是直角，∠BOF＝40°，
∴∠COB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠AOC＝180°﹣50°＝130°，
又∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝65°．
故答案为：65°．
25．如图，点O在直线AB上，∠BOD与∠COD互补，∠BOC＝n∠EOC．
（1）若∠AOD＝24°，n＝3，求∠DOE的度数；
（2）若DO⊥OE，求n的值；
（3）若n＝4，设∠AOD＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示∠DOE的度数）．
【答案】（1）∠EOC＝44°；
（2）n＝2；
（3）∠EOC=45°+α2．
【解答】解：（1）∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝24°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝48°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣48°＝132°，
∵n＝3，
∴∠BOC＝3∠EOC＝132°，
∴∠EOC=13∠BOC=13×132°=44°，
∠EOD＝∠COD+∠EOC＝24°+44°＝68°；
（2）设∠AOD＝x，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝x，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝x+x＝2x，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2x，
∵DO⊥OE，
∴∠DOE＝90°，
∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣x，
∵∠BOC＝n∠EOC，
∴180°﹣2x＝n（90°﹣x），
∴n＝2；
（3）∵∠BOD+∠AOD＝180°，∠BOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD＝∠COD＝α，
∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝α+α＝2α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣2α，
∵n＝4，
∴∠BOC＝4∠EOC＝180°﹣2α，
∴∠EOC=14×(180°−2α)=45°−α2，
∴∠EOD＝∠COD+∠EOC＝45°−α2+α=45°+α2．
26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠COE＝50°，求∠AOF的度数；
（2）若∠COE：∠AOF＝2：3，求∠BOD的度数．
【答案】（1）70°；（2）45°．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°．
∵∠COE＝50°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝140°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=12∠AOD=12×140°=70°；
（2）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°．
∵∠COE：∠AOF＝2：3，
设∠COE＝2x°，则∠AOF＝3x°，
∴∠AOC＝（90﹣2x）°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOD＝2∠AOF＝6x°，
∵∠AOC+∠AOD＝180°，
∴90﹣2x+6x＝180，
解得：x=452，
∴∠BOD=∠AOC=(90−2x)=90−2×452=45°．
27．如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥OA，∠DOF＝90°，则∠1＝∠2．请说明理由（补全解答过程）．
解：∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝ 90°（垂直的定义） ．
∴∠1+∠EOF＝90°．
∵ ∠DOF＝90°（已知） ，
∴∠2+∠EOF＝90°．
∴ ∠1＝∠2（同角的余角相等） ．
【答案】90°，垂直的定义；∠DOF＝90°，已知；∠1＝∠2，同角的余角相等．
【解答】解：∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
∴∠1+∠EOF＝90°．
∵∠DOF＝90°（已知），
∴∠2+∠EOF＝90°，
∴∠1＝∠2（同角的余角相等）．
故答案为：90°，垂直的定义；∠DOF＝90°，已知；∠1＝∠2，同角的余角相等．
28．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
（1）若∠BOE＝45°，求∠AOC的度数；
（2）若∠AOC：∠BOE＝2：3，求∠AOE的度数；
（3）在（2）的条件下，如果过点O作直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F（点F与点O不重合），求∠EOF的度数．
【答案】（1）45°；
（2）126°；
（3）144°或36°．
【解答】解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝45°，
∴∠BOD＝∠AOC＝45°，
（2）∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝∠COE＝90°，
∴∠BOE+∠BOD＝90°，
∵∠AOC：∠BOE＝2：3，∠BOD＝∠AOC，
∴∠BOD：∠BOE＝2：3，
∴BOE=35×90°=54°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝126°；
（3）如图，当点F在直线AB的下方，
∵MN⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
由（2）可得，BOE＝54°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝54°+90°＝144°；
当点F在直线AB的上方，
∵MN⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
由（2）可得，BOE＝54°，
∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝90°﹣54°＝36°，
综上所述，∠EOF的度数为144°或36°．
▉题型3 垂线段最短
【知识点的认识】
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
29．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
【答案】A
【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选：A．
30．数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（ ）
A．经过两点，有且仅有一条直线
B．经过一点，有无数条直线
C．垂线段最短
D．两点之间，线段最短
【答案】A
【解答】解：生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是：经过两点，有且仅有一条直线．
故选：A．
31．如图，将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路AB、AC、AD可走，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点之间，直线最短
C．两点确定一条直线
D．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【解答】解：将军要从村庄A去村外的河边饮马，有三条路可走AB、AC、AD，将军沿着AB路线到的河边，他这样做的道理是垂线段最短．
故选：D．
32．在正常情况下，射击时要保证瞄准的那只眼在由准星和缺口确定的直线上才能射中目标（如图），这样做的数学依据是（ ）
A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线
C．三点确定一条直线D．垂线段最短
【答案】B
【解答】解：射击时要保证瞄准的那只眼在由准星和缺口确定的直线上才能射中目标，这样做的数学依据是两点确定一条直线．
故选：B．
33．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．
34．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，BC＝4，点P是AB边上的一个动点，则CP的最小值是（ ）
A．2B．2.4C．3D．3.5
【答案】B
【解答】解：当CP垂直AB时，CP的最小值，
由条件可知S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CP，
即12×3×4=12×5⋅CP，
∴CP＝2.4，
故选：B．
35．如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【答案】D
【解答】解：PB⊥l于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段PB最短，依据是垂线段最短．
故选：D．
36．如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（ ）
A．两点确定一条直线B．垂线段最短
C．两点之间线段最短D．垂直的定义
【答案】B
【解答】解：测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是：垂线段最短．
故选：B．
37．用“垂线段最短”来解释的现象（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：A、体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩，利用了垂线段最短，故A符合题意；
B、木板上弹墨线，利用了两点确定一条直线，故B不符合题意；
C、用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上，利用了两点确定一条直线，故C不符合题意；
D、把弯曲的公路改直，就能够缩短路程，利用“两点之间线段最短故D不符合题意；
故选：A．
38．如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．在线段AC，AB，BC，CD中，长度最短的是（ ）
A．线段ABB．线段ACC．线段BCD．线段CD
【答案】D
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴AC＜AB，BC＜AB，
∵CD⊥AB，
∴CD＜AC，CD＜BC，
∴在线段AC，AB，BC，CD中，长度最短的是线段CD．
故选：D．
39．下列各选项能用“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．两钉子固定木条
D．弯曲河道改直
【答案】A
【解答】解：A、测量跳远成绩可以用“垂线段最短”来解释，故本选项符合题意；
B、木板上弹墨线可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意；
C、两钉子固定木条可以用“两点确定一条直线”来解释，故本选项不符合题意；
D、弯曲河道改直可以用“两点之间，线段最短”来解释，故本选项不符合题意，
故选：A．
40．如图，生活中，有以下两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A．两个现象均可用两点之间线段最短来解释
B．现象1用垂线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用垂线段最短来解释
【答案】C
【解答】解：现象1用垂线段最短来解释，现象2用两点之间线段最短来解释，
故选：C．
41．如图，某农户要将水渠AB中的水通过引水管道引入麦田M处浇地，他的做法是：过点M作MN⊥AB于点N，则沿MN铺设管道用料最省，能解释这一做法的是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之网，线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解答】解：能解释这一做法的是垂线段最短．
故选：A．
42．如图是小周同学在校运会上投掷实心球的场景，当投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【解答】解：投掷完毕时，测量员选取AB的长度作为小周的成绩，其依据是垂线段最短，
故选：A．
43．数学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（ ）
A．打靶瞄准B．拉绳插秧
C．跳远测量成绩D．弯曲河道改直
【答案】C
【解答】解：A、打靶瞄准为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
B、拉绳插秧为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、跳远测量成绩为垂线段最短，故该选项符合题意；
D、弯曲河道改直为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
故选：C．
▉题型4 点到直线的距离
【知识点的认识】
（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．
44．如图，点P是直线l外的一点，点A、B、C在直线l上，且PB⊥l，垂足是B，PA⊥PC，则下列判断不正确的是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离
B．PA、PB、PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离
D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【答案】C
【解答】解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、PA、PB、PC三条线段中，依据垂线段最短可知PB最短，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、线段PA的长度叫做点A到直线PC的距离，原说法不正确，故此选项符合题意；
D、线段PC的长是点C到直线PA的距离，原说法正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
45．下列作图能表示点A到BC的距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：A、BD表示点B到AC的距离，故此选项错误；
B、AD表示点A到BC的距离，故此选项正确；
C、AD表示点D到AB的距离，故此选项错误；
D、CD表示点C到AB的距离，故此选项错误；
故选：B．
46．已知在直线l上有三个点A、B、C，点P在直线l外．若PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．等于5cmB．不小于5cmC．不大于5cmD．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵PC＝7cm，PA＝6cm，PB＝5cm，5＜6＜7，且点到直线，垂线段最短，
∴若PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离不大于5cm；
故选：C．
47．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．2cmB．小于2cmC．不大于2cmD．4cm
【答案】C
【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度最短，
∴点P到直线l的距离不大于2cm．
故选：C．
48．如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC，则下列不正确的语句是（ ）
A．线段PC的长是点C到直线PA的距离
B．线段AC的长是点A到直线PC的距离
C．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
D．线段PB的长是点P到直线a的距离
【答案】B
【解答】解：A选项，线段PC的长是点C到直线PA的距离，故该选项不符合题意；
B选项，应该是线段AP的长是点A到直线PC的距离，故该选项符合题意；
C选项，垂线段最短，PA，PB，PC三条线段中，PB最短，故该选项不符合题意；
D选项，线段PB的长是点P到直线a的距离，故该选项不符合题意；
故选：B．
49．在下列图形中，线段PQ的长表示点P到直线MN的距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：∵直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，
∴线段PQ是P到直线MN的垂线段，PQ⊥MN，
选项B，C，D中PQ与MN不垂直，选项A符合题意．
故选：A．
50．下列图形中，线段AD的长度表示点A到直线BC距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意．
B．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
C．AD与BC不垂直，故线段AD的长不能表示点A到直线BC距离，不合题意；
D．AD⊥BC于D，则线段AD的长表示点A到直线BC的距离，符合题意；
故选：D．
51．如图，在探究垂线的性质时，李老师将直角三角尺DEF的一条直角边摆放在钝角△ABC的AB边上，另一条直角边经过顶点C，则下列线段的长度能表示点C到AB距离的是（ ）
A．FDB．CFC．CBD．CD
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，CD⊥AB，
∴点C到AB距离的是线段CD的长度．
故选：D．
52．如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中错误的为（ ）
A．AB⊥AC
B．点C到AB的垂线段是线段CA
C．点A到BC的距离是线段AD
D．线段CD的长度是点C到AD的距离
【答案】C
【解答】解：A、∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，故不符合题意；
B、∵∠BAC＝90°，∴点C到AB的垂线段是线段CA，故不符合题意；
C、点A到BC的距离是线段AD的长度，故符合题意；
D、线段CD的长度是点C到AD的距离，故不符合题意；
故选：C．
53．下列图形中，线段PQ能表示点P到直线l的距离的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：只有D选项PQ⊥l，故D选项中线段PQ能表示点P到直线l的距离．
故选：D．
54．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，则点M到直线l的距离是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】A
【解答】解：由条件可知点M到直线l的距离是2cm，
故选：A．
55．如图，AB⊥BC，DB⊥AC，下列线段的长能表示点B到AC的距离的是（ ）
A．ABB．BDC．BCD．AD
【答案】B
【解答】解：∵DB⊥AC，
∴线段BD的长能表示点B到AC的距离．
故选：B．
56．如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝3，BC＝4，AC＝5．给出下列结论：
①∠BDC＝90°；
②∠C＝∠ABD；
③图中互余的角共有3对；
④点B到直线AC的距离为125．
其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【解答】解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，故①符合题意，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠ABC＝90°，即∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠C＝∠ABD，故②符合题意，
∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，∠CBD+∠ABD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠C＝90°，故③不符合题意，
∵12×AB×BC=12×AC×BD，AB＝3，BC＝4，AC＝5，
∴BD=125，故④符合题意，
故选：B．
57．如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段PC去公路边，那么他的选择体现的数学基本事实是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线
C．从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离
D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【答案】D
【解答】解：他的选择体现的数学基本事实是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
故选：D．
58．立定跳远是山西中考体育的必选项目，男子跳2.5米，女子跳1.99米可以获得该项目满分，跳远成绩是测量如图中线段AB的长度．这种测量方式的依据是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．两点之间的距离是两点之间线段的长度
D．点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度
【答案】D
【解答】解：这种测量方式的依据是点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度．
故选：D．
59．如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且PB⊥l于点B，∠APC＝90°，则下列结论：①线段AP是点A到直线PC的距离；②线段BP的长是点P到直线l的距离；③PA，PB，PC三条线段中，PB最短；④线段PC的长是点P到直线l的距离．其中正确的个数是 ①②③ ．
【答案】①②③．
【解答】解：①线段AP是点A到直线PC的距离，因此①正确；
②线段BP的长是点P到直线l的距离，因此②正确；
③PA，PB，PC三条线段中，PB最短，因此③正确；
④线段PC的长是点P到直线AP的距离，因此④不正确．
综上所述，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
60．如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处，图中有4处（即C，B，D，E处）可供选择，为节省水管材料，应选择将水泵房建在B 处．
【答案】B．
【解答】解：由垂线度最短可得AB最短，
∴应选择将水泵房建在B处，
故答案为：B．题型1 对顶角、邻补角
题型2 垂线
题型3 垂线段最短
题型4 点到直线的距离