2025届新高考数学一轮复习精讲精练第11讲：拓展四：导数中的隐零点问题（Word版附解析）

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已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：
①关系式成立；②注意确定的合适范围.
2、含参函数的隐零点问题
已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有
①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.
3、函数零点的存在性
（1）函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
① 若，则的零点不一定只有一个，可以有多个
② 若，那么在不一定有零点
③ 若在有零点，则不一定必须异号
(3)若在上是单调函数且连续，则在的零点唯一.
高频考点
1．（23-24高三下·湖南湘潭·阶段练习）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，记的极小值点为，证明：存在唯一零点，且.（参考数据：）
2．（23-24高三下·河南信阳·阶段练习）已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若，求实数的取值范围.
3．（2024·江西赣州·一模）已知函数.
(1)求的单调区间，
(2)已如.若函数有唯一的零点.证明，.
4．（2024·山东聊城·一模）已知函数，，.
(1)求的单调递增区间；
(2)求的最小值；
(3)设，讨论函数的零点个数.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若在区间各恰有一个零点，求的取值范围.
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）定义满足的实数为函数的然点.已知.
(1)证明：对于，函数必有然点；
(2)设为函数的然点，判断函数的零点个数并证明.
7．（23-24高三上·全国·开学考试）已知函数．
(1)求曲线在处的切线；
(2)若对任意，当时，证明函数存在两个零点．
8．（23-24高三上·河南驻马店·期末）已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设，是的两个零点，，证明：.
9．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知函数.
(1)证明：当时，；
(2)若恒成立，求的取值范围.
10．（23-24高三上·四川成都·期末）已知函数，.
(1)若函数只有一个零点，求实数的取值所构成的集合；
(2)已知，若，函数的最小值为，求的值域.
11．（23-24高三上·北京东城·期末）已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求证：函数在上有极大值，且.
12．（2024·湖南邵阳·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，求证：当时，恰有两个零点.
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
(2)若对任意的恒成立，其中为自然对数的底数，求实数的最大值．
14．（21-22高三上·重庆黔江·阶段练习）已知函数，是的导函数，
(1)当时，判断函数在上是否存在零点，并说明理由；
(2)若在上存在最小值，求正实数的取值范围.
15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的值；
(2)若函数恰有两个不同的零点，求实数的取值范围．