素养拓展10 导数中的隐零点问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结 原卷版

这是一份素养拓展10 导数中的隐零点问题（精讲+精练）【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结 原卷版，共7页。试卷主要包含了知识点梳理，函数零点的存在性定理，常见类型等内容，欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第1步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；
第2步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；
第3步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简，要么消除最值式中的指对项，要么消除其中的参数项，从而得到最值式的估计. 下面我们通过实例来分析.
二、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
三、常见类型
1.隐零点代换
2.隐零点同构
实际上，很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项，而这类问题由往往具有同构特征，所以下面我们看到的这两个问题，它的隐零点代换则需要同构才能做出，否则，我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向.例如：
3.隐零点的估计
二、题型精讲精练
【典例1】已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若，求的取值范围.
解析：（1）切线方程为,故切线与坐标轴交点坐标分别为,所求三角形面积为.
（2）由于,，且. 设,则即在上单调递增，当时，,∴,∴成立.当时， ，,∴存在唯一，使得，且当时，当时，，，因此
, 故恒成立；
当时， ∴不是恒成立.综上所述，实数的取值范围是.
【典例2】已知函数（，为自然对数的底数），.
（1）若有两个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）有两个零点关于的方程有两个相异实根，由，知
有两个零点有两个相异实根.令，则，
由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，，又，当时，，当时，
当时，，有两个零点时，实数的取值范围为；
（2）当时，，原命题等价于对一切恒成立
对一切恒成立.令
，，令，，则
，在上单增，又，
，使即①，当时，，当时，，即在递减，在递增，
由①知，函数在单调递增，即，，
实数的取值范围为.
【典例3】已知函数，且．
（1）求；
（2）证明：存在唯一的极大值点，且 QUOTE e−2