2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第13讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第13讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用(原卷版+解析)，共17页。试卷主要包含了泰勒公式形式，麦克劳林公式，常见函数的麦克劳林展开式，两个超越不等式等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29840" 类型一：泰勒展开式 PAGEREF _Tc29840 \h 3
\l "_Tc21341" 类型二：利用超越不等式比较大小 PAGEREF _Tc21341 \h 8
\l "_Tc30" 类型三：利用对数型超越放缩证明不等式 PAGEREF _Tc30 \h 9
\l "_Tc3924" 类型四：利用指数型超越放缩证明不等式 PAGEREF _Tc3924 \h 12
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法.
若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：
其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量.
2、麦克劳林(Maclaurin)公式
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.
3、常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
4.1对数型超越放缩：（）
上式（1）中等号右边只取第一项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
对于结论②左右两边同乘“”得，用替换“”得：
（）结论③
4.2指数型超越放缩：（）
上式（2）中等号右边只取前2项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
当时，对于上式结论②结论③
当时，对于上式结论②结论④
类型一：泰勒展开式
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数和泰勒展开式而闻名于世．计算器在计算，，，等函数的函数值时，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．其中是的导数，是的导数，是的导数，阶乘，．取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，精确到0.01的近似值为 ．
例题2．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．
(1)分别求在处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）；
(3)当时，求证：．（参考数据）
例题3．（24-25高二下·河南信阳·期中）电脑或计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的．“泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有x0的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间，b）内具有阶导数，则对于闭区间上的任意一点，有，我们称上式为函数在处的泰勒展开式，其中为的高阶无穷小量．特别地，当在处n阶连续可导，则称为函数的麦克劳林公式．如的麦克劳林公式为，
(1)利用麦克劳林公式估算的近似值（精确到0.01）；
(2)当时，比较与的大小并证明；
(3)若，求实数a的取值范围．
精练高频考点
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
2．（24-25高一上·湖南长沙·期末）十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
，
，
，
其中，读作的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到.
(1)，，，比较的大小;
(2)当时，证明：；
(3)设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间.
3．（24-25高三上·四川成都·开学考试）麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，的麦克劳林展开式为：，其中表示的n阶导数在0处的取值，我们称为麦克劳林展开式的第项．例如：．
(1)请写出的麦克劳林展开式中的第2项与第4项；
(2)数学竞赛小组发现的麦克劳林展开式为，这意味着：当时，，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？
(3)当时，若，求整数的最大值．
类型二：利用超越不等式比较大小
典型例题
例题1．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
精练高频考点
1．（24-25高三下·山东青岛·阶段练习）设，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二下·辽宁·期中）已知实数分别满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二下·河北石家庄·期中）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
类型三：利用对数型超越放缩证明不等式
典型例题
例题1．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
例题2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数．
(1)证明：；
(2)证明：在其定义域内为减函数；
(3)若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围．
例题3．（24-25高二下·山东·阶段练习）（1）证明：当时，．
（2）证明：．
（3）从编号1到100的100张卡片中随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取n次（），设抽到的n个号码互不相同的概率为，证明：．
精练高频考点
1．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若是两个不相等的正数，证明：.
2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设，讨论函数的零点个数；
(3)证明：，．
3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数．
(1)当时，求的最小值．
(2)求证：．
类型四：利用指数型超越放缩证明不等式
典型例题
例题1．（24-25高二下·河南洛阳·期末）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，，
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：.
例题2．（2025·湖南·模拟预测）已知为奇函数.
(1)求a的值；
(2)解不等式：；
(3)证明：函数有3个零点.
精练高频考点
1．（24-25高二下·山东济宁·期中）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程.
(2)若函数在处有极值，求函数的单调区间
(3)当时，求证.
2．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数．
(1)设，
（i）证明：，并由此求(精确到)．
（ii）比较与的大小并说明理由．
(2)求证：当趋于0时，．
第13讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应用
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29840" 类型一：泰勒展开式 PAGEREF _Tc29840 \h 2
\l "_Tc21341" 类型二：利用超越不等式比较大小 PAGEREF _Tc21341 \h 13
\l "_Tc30" 类型三：利用对数型超越放缩证明不等式 PAGEREF _Tc30 \h 17
\l "_Tc3924" 类型四：利用指数型超越放缩证明不等式 PAGEREF _Tc3924 \h 25
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的次多项式来逼近函数的方法.
若函数在包含的某个闭区间上具有阶导数，且在开区间上具有阶导数，则对闭区间上任意一点，成立下式：
其中：表示在处的阶导数，等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小量.
2、麦克劳林(Maclaurin)公式
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取的特殊结果，由于麦克劳林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.
3、常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
4.1对数型超越放缩：（）
上式（1）中等号右边只取第一项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
对于结论②左右两边同乘“”得，用替换“”得：
（）结论③
4.2指数型超越放缩：（）
上式（2）中等号右边只取前2项得：结论①
用替换上式结论①中的得：结论②
当时，对于上式结论②结论③
当时，对于上式结论②结论④
类型一：泰勒展开式
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数和泰勒展开式而闻名于世．计算器在计算，，，等函数的函数值时，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数在含有的某个开区间内可以多次进行求导数运算，则当，且时，有．其中是的导数，是的导数，是的导数，阶乘，．取，则的“泰勒展开式”中第三个非零项为 ，精确到0.01的近似值为 ．
【答案】 0.84
【分析】根据泰勒展开式，化简得到，求得的“泰勒展开式”中第三个非零项，令，代入上式，进而求得的近似值．
【详解】根据题意，
，
取时，可得，
则
，
所以的“泰勒展开式”中第三个非零项为，
令，代入上式可得．
故答案为：；0.84
例题2．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．
(1)分别求在处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）；
(3)当时，求证：．（参考数据）
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数在处的泰勒展开式的公式即可求解；
（2）把在处的泰勒展开式中的替换为，利用复数的运算法则进行化简整理可得，从而即可证明；
（3）根据在处的泰勒展开式，先证当时，恒成立，再证当时，恒成立，即可证得.
【详解】（1）因为函数在处的泰勒展开式为
（其中表示的n次导数），
所以，，在处的泰勒展开式分别为：
；
；
.
（2）把在处的泰勒展开式中的替换为，可得
，
所以，即.
（3）由在处的泰勒展开式，先证当时，，
令，
，又，则，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，所以，
再令，，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，
所以当时，恒成立，
则 ，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据在处的泰勒展开式，先证当时，恒成立，再证当时，恒成立，即可证得.
例题3．（24-25高二下·河南信阳·期中）电脑或计算器计算，，，等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的．“泰勒展开式”的内容为：如果函数在含有x0的某个闭区间上具有n阶导数，且在开区间，b）内具有阶导数，则对于闭区间上的任意一点，有，我们称上式为函数在处的泰勒展开式，其中为的高阶无穷小量．特别地，当在处n阶连续可导，则称为函数的麦克劳林公式．如的麦克劳林公式为，
(1)利用麦克劳林公式估算的近似值（精确到0.01）；
(2)当时，比较与的大小并证明；
(3)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）是将特定值代入函数展开式进行近似计算；
（2）通过构造函数，利用导数研究其单调性，进而证明不等式．
（3）通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求解不等式恒成立时参数的取值范围．先对函数求导，然后分和两种情况进行讨论，根据函数单调性判断与的大小关系．
【详解】（1）令，代入上式可得，所以．
由两边同时求导得，（或通过麦克劳林公式计算得到）
所以，所以
（2）
证明：令，
则，设，则，
所以函数在上单调递增，则（或通过麦克劳林公式得到）．
所以函数在上单调递增，则．
所以当时，，即证．
（3）若，即
令，则，
①当时，若，
令，则，则函数在上单调递增，且，即；（或通过麦克劳林公式得到）
令，则，令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
若，则，即（或通过麦克劳林公式得到），
所以，则，
所以函数在上单调递增，则，
即恒成立．
②当时，，
存在实数，使得均有，
则函数在上单调递减，且，不符合题意，
所以当时，不符合题意．
综上，的取值范围为．
精练高频考点
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
【答案】(1), ；
(2)答案见解析；
(3)证明过程见解析.
【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果；
（2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系；
（3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立.
【详解】（1），，，
，，，
，即；
同理可得：；
（2）由（1）知：，，
令，则，
，，
在上单调递增，又，
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
，，
在上单调递增，又，
当时，；当时，；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（3）令，则，
，在上单调递增，
又，在上单调递减，在上单调递增，
，即；
在点处的阶泰勒展开式为：，
，当且仅当时取等号，
①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以；
②当时，设，，
，，
当，由（2）可知，所以，
，即有；
当时，，
所以，时，单调递减，从而，即．
综上所述：.
【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化.
2．（24-25高一上·湖南长沙·期末）十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
，
，
，
其中，读作的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到.
(1)，，，比较的大小;
(2)当时，证明：；
(3)设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，.
【分析】（1）根据题意中常见函数的阶泰勒展开式，即可比较的大小；
（2）构造函数，求导，根据函数单调性，即可得证；
（3）由题知，，当时，显然成立，当真包含于时，结合函数单调性可得，即可判断此时不存在符合条件的区间，然后下结论即可.
【详解】（1）由题知，用泰勒展开式前三项计算，
则，
又，
，
所以.
（2）设，，
则，
所以在上单调递增，
所以，所以；
设，，
则，
令，，则在上单调递增，
令，，则在上单调递减，
又，，
所以，即，
综上，.
（3）易知，，
当时，显然成立；
当真包含于时，若，则函数最小值应大于，故，
则函数最大值小于，于是，因此.
同理，若，也能得到.
所以函数在区间上单调递减，
所以，于是，
变形有，
又函数在区间上为单调递增函数，且为奇函数，
故，所以可以化为，
由（2）可以知道没有两个解，
此时不存在区间满足条件.
综上所述，符合条件的区间只有.
3．（24-25高三上·四川成都·开学考试）麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，的麦克劳林展开式为：，其中表示的n阶导数在0处的取值，我们称为麦克劳林展开式的第项．例如：．
(1)请写出的麦克劳林展开式中的第2项与第4项；
(2)数学竞赛小组发现的麦克劳林展开式为，这意味着：当时，，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？
(3)当时，若，求整数的最大值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)3
【分析】（1）根据泰勒展开式得出第2项及第4项；
（2）构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式；
（3）先根据特殊值法得出的范围，再应用麦克劳林的结论证明成立即可.
【详解】（1）因为
所以第2项.
（2）设，
，
因为所以单调递增，
所以，
所以.
（3）当时，成立，得出，的最大整数不超过3.
当时，因为，所以，
所以，
令
当单调递增，则，
所以，
故当时，，所以整数m的最大值为3.
【点睛】方法点睛：构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式.
类型二：利用超越不等式比较大小
典型例题
例题1．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式，当且仅当时等号成立，可得当时，，所以，，可判断；设，，利用导数分析的单调性可得，即，可判断，继而即可求解.
【详解】令，则，
令，则，令，则，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，即，即，当且仅当时等号成立，
当时，由，得，
所以，，即.
设，，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
因为，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小的四种类型.
1.构造相同函数，比较不同函数值；
2.构造不同函数，比较相同函数值；
3.构造不同函数，比较不同函数值；
常用切线不等式；高次不等式放缩；分式不等式放缩.
4.先同构，再构造，再比较.
例题2．（24-25高三下·云南昆明·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性，再构造函数求出导数根据函数单调性即可判断大小.
【详解】，
又∵且
，
∴令则
时，，即时，单调递增．
由得即，
故选:A．
例题3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出．
【详解】构造函数，
当时，，故在上单调递增，
所以，
构造函数，
则，
当在单调递增，
所以，即，
所以.
故选：B．
精练高频考点
1．（24-25高三下·山东青岛·阶段练习）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性并比较大小.
【详解】令，求导得，函数在上单调递增，
则，即，；
令函数，求导得，函数在上单调递减，
则，即，
所以.
故选：A
2．（24-25高二下·辽宁·期中）已知实数分别满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导结合不等式判断即可．
【详解】设，（），则，
则函数在上单调递减，所以，则；
设（），则，
则函数在上单调递减，所以，则.
所以；
设函数（），对其求导，
当时，，所以函数在上单调递增.
所以，
所以，即.
综上可得：．
故选：D
3．（24-25高二下·河北石家庄·期中）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，求导分析单调性，可得与的大小关系，又，结合余弦函数的单调性，可得与的大小关系．
【详解】令，
则，
令，得，
所以在上，单调递增，在上，单调递减，
所以，
所以，即，
所以，即，
因为，
所以，即
所以．
故选：C．
类型三：利用对数型超越放缩证明不等式
典型例题
例题1．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当时，函数，对求导，令即可解得函数的单调递减区间，令即可解得函数的单调递减区间；
（2）利用分离参数法可得恒成立等价于恒成立，设函数，其中，对函数求导，研究函数的单调性，解出的最大值即可求解实数的取值范围；
（3）由（1）可知当时，，即，当且仅当时取等号，取，，则，累加求和即可证明.
【详解】（1）当时，函数，函数的定义域为，求导得.
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）函数的定义域为，
则恒成立，即为恒成立，所以恒成立.
设函数，其中，
则，
由可得，由可得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以，故.
所以实数的取值范围是.
（3）证明：由（1）可知当时，，即，当且仅当时取等号，
取，，则，
因此，
所以.
例题2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数．
(1)证明：；
(2)证明：在其定义域内为减函数；
(3)若在的定义域内，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）令，利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，进可求得的最小值，即可求解；
（2）对求导，得到，利用（1）中结果可得恒成立，即可求解；
（3）根据条件得到，令，利用导数求出的单调区间，进而求出的最大值，即可求解.
【详解】（1）令，则，
当时，，当时，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，故.
（2）因为，易知，则，
令，由（1）知，
则在区间上恒成立，又，
所以恒成立，故在其定义域内为减函数.
（3）易知，由，得到，即，
令，则 ，
由（1）知，当且仅当时取等号，
所以当时，，当时，，
即在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，故，得到，
所以实数的取值范围为.
例题3．（24-25高二下·山东·阶段练习）（1）证明：当时，．
（2）证明：．
（3）从编号1到100的100张卡片中随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取n次（），设抽到的n个号码互不相同的概率为，证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）令，利用导数法研究单调性证得，令，利用导数法研究单调性证得，即可证明；
（2）由（1）可知，结合对数运算法则利用累加法即可证明；
（3）先求出，则，利用二项式定理得，利用（1）得，指对互化令得，即可证明.
【详解】（1）令，
则，所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
令，则，
所以函数在上单调递减，
所以，即，所以．
综上所述，当时，．
（2）由（1）可知，
令，2，3，…，n，可得，
相加可得．
（3）连续抽取m次，n个号码互不相同的概率为，
则，所以，
当时，，得，即，
所以，令，得，
故．
精练高频考点
1．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若是两个不相等的正数，证明：.
【答案】(1)的减区间为，增区间为
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可；
（2）由（1）可知，解不等式即可；
（3）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，进而可证不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，由，
令，可得，令，可得，
故函数的减区间为，增区间为；
（2）由（1）知，若函数有且仅有两个零点，必须，
又由，有，可得，
令，有，
令，可得，令，可得，
可得函数的减区间为，增区间为，
可得，
当时，，有，
当时，，
可得若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为；
（3）不妨设，令，
有，
，
又由，可得函数单调递增，
又由
，
令，
则，当时，，当时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，即，当且仅当时等号成立，
故