2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(精讲)(原卷版+解析)，共41页。试卷主要包含了函数的奇偶性，函数对称性，函数周期性等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11140" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc11140 \h 1
\l "_Tc4082" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4082 \h 3
\l "_Tc12817" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc12817 \h 3
\l "_Tc24109" 高频考点一：函数奇偶性 PAGEREF _Tc24109 \h 3
\l "_Tc24677" 角度1：判断函数奇偶性 PAGEREF _Tc24677 \h 3
\l "_Tc19528" 角度2：根据函数奇偶性求解析式 PAGEREF _Tc19528 \h 5
\l "_Tc24170" 角度3：函数奇偶性的应用 PAGEREF _Tc24170 \h 5
\l "_Tc24149" 角度4：由函数奇偶性求参数 PAGEREF _Tc24149 \h 6
\l "_Tc21647" 角度5：奇偶性+单调性解不等式 PAGEREF _Tc21647 \h 6
\l "_Tc1311" 高频考点二：函数周期性及其应用 PAGEREF _Tc1311 \h 7
\l "_Tc6694" 角度1：由函数周期性求函数值 PAGEREF _Tc6694 \h 7
\l "_Tc1435" 角度2：由函数周期性求解析式 PAGEREF _Tc1435 \h 8
\l "_Tc10129" 高频考点三：函数的对称性 PAGEREF _Tc10129 \h 9
\l "_Tc10457" 角度1：由函数对称性求解析式 PAGEREF _Tc10457 \h 9
\l "_Tc29428" 角度2：由函数对称性求函数值或参数 PAGEREF _Tc29428 \h 11
\l "_Tc24702" 角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用 PAGEREF _Tc24702 \h 11
第一部分：基础知识
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2026高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)
精练高频考点
1．（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（24-25高三上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 .
精练高频考点
1．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， .
2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是 ．
3．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为 ．
角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2025·四川·一模）函数，若．则（ ）
A．B．C．0D．3
例题2．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数，且，则（ ）
A．B．C．0D．.3
精练高频考点
1．（24-25高二下·贵州黔南·期中）已知函数，a，b，，且，，则（ ）
A．B．1C．D．2
2．（25-26高三上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
3．（24-25高三上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 .
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题
例题1．（24-25高三上·广东·期中）若为偶函数，则（ ）
A．－4B．－2C．0D．2
例题2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．D．2
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
2．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ．
角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，则使成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则实数t的值不可能是（ ）
A．B．1C．2D．0
精练高频考点
1．（24-25高三上·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 .
3．（24-25高三上·广东·期中）已知函数，则不等式的解集是 .
4．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数，且满足，则实数m的取值范围是 .
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
典型例题
例题1．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．5B．C．2D．
例题2．（24-25高三下·浙江绍兴·期中）已知函数对任意，都有，的图象关于原点对称，且，则
精练高频考点
1．（24-25高三下·北京·期中）已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则 .
2．（2025·云南曲靖·二模）已知函数满足，且当时，，则的值为 ．
角度2：由函数周期性求解析式
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足．
(1)求证：是周期函数
(2)若，求的值．
(3)若时，，试求时，函数的解析式．
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
精练高频考点
1．（2024高三·全国·专题练习）设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式．
2．（23-24高三上·吉林白山·阶段练习）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式．
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（23-24高三下·河南平顶山·阶段练习）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数.
(1)当时，，求实数的取值范围;
(2)若函数与的图象关于点对称，求的解析式;
精练高频考点
1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ．
3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数．
(1)判断在上单调性并证明；
(2)当时，，且，，求的解析式．
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（24-25高三上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则
例题2．（24-25高三上·上海·期末）若函数的对称中心是则
精练高频考点
1．（2025·河南郑州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（ ）
A．2B．1C．D．
3．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 .
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知函数与的定义域均为，且，若为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．
C．函数的图象关于点对称D．
例题2．（多选）（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．是函数的图象的一条对称轴
D．
精练高频考点
1．（多选）（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数的定义域均为是偶函数，，则（ ）
A．B．是奇函数
C．D．是的对称轴
2．（多选）（2025·河北石家庄·三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为2的函数
C．
D．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc11140" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc11140 \h 1
\l "_Tc4082" 第二部分：高考真题回顾 PAGEREF _Tc4082 \h 3
\l "_Tc12817" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc12817 \h 4
\l "_Tc24109" 高频考点一：函数奇偶性 PAGEREF _Tc24109 \h 4
\l "_Tc24677" 角度1：判断函数奇偶性 PAGEREF _Tc24677 \h 4
\l "_Tc19528" 角度2：根据函数奇偶性求解析式 PAGEREF _Tc19528 \h 7
\l "_Tc24170" 角度3：函数奇偶性的应用 PAGEREF _Tc24170 \h 9
\l "_Tc24149" 角度4：由函数奇偶性求参数 PAGEREF _Tc24149 \h 11
\l "_Tc21647" 角度5：奇偶性+单调性解不等式 PAGEREF _Tc21647 \h 12
\l "_Tc1311" 高频考点二：函数周期性及其应用 PAGEREF _Tc1311 \h 15
\l "_Tc6694" 角度1：由函数周期性求函数值 PAGEREF _Tc6694 \h 15
\l "_Tc1435" 角度2：由函数周期性求解析式 PAGEREF _Tc1435 \h 17
\l "_Tc10129" 高频考点三：函数的对称性 PAGEREF _Tc10129 \h 20
\l "_Tc10457" 角度1：由函数对称性求解析式 PAGEREF _Tc10457 \h 20
\l "_Tc29428" 角度2：由函数对称性求函数值或参数 PAGEREF _Tc29428 \h 23
\l "_Tc24702" 角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用 PAGEREF _Tc24702 \h 25
第一部分：基础知识
1、函数的奇偶性
（1）函数奇偶性定义
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）常用结论与技巧：
①对数型复合函数判断奇偶性常用或来判断奇偶性.
②，在它们的公共定义域上有下面的结论：
③若是定义在区间上奇函数，且，则（注意：反之不成立）
2、函数对称性（异号对称）
（1）轴对称：若函数关于直线对称，则
①；
②；
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
（2）点对称：若函数关于直线对称，则
①
②
③
3、函数周期性（同号周期）
（1）周期函数定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期，则（）也是这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
（3）函数周期性的常用结论与技巧
设函数，.
①若，则函数的周期；
②若，则函数的周期；
③若，则函数的周期；
④若，则函数的周期；
⑤，则函数的周期
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求余弦（型）函数的奇偶性
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：函数奇偶性
角度1：判断函数奇偶性
典型例题
例题1．（2025·江西·二模）已知函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】指数幂的运算、函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据奇函数性质判断选项
【详解】根据得
可得，故为奇函数
故选：A
例题2．（2026高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)偶函数
(2)既是奇函数又是偶函数
(3)奇函数
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，化简函数解析式，根据其与的关系判断结论；
（2）求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，结合定义判断结论；
（3）方法一：求函数的定义域，确定定义域关于原点对称，结合定义判断结论，
方法二：画出函数图象，结合图象判断结论.
【详解】（1）由，得，
即函数的定义域是，关于原点对称．
因此，所以，
因此函数是偶函数．
（2）的定义域为，关于原点对称．
又，所以既是奇函数又是偶函数．
（3）方法一（定义法） 当时，；
当时，，
所以为奇函数．
方法二（图象法）
如图，

作出函数的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数为奇函数．
精练高频考点
1．（2025·四川雅安·二模）下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由正切（型）函数的奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义，逐一判断即可确定答案.
【详解】对于A，令，，而，
则，，所以是非奇非偶函数，故A错误；
对于B，令，，又，
所以是偶函数，故B错误；
对于C，令，，又，
所以是奇函数，故C正确；
对于D，因为的定义域为，所以是非奇非偶函数，故D错误.
故选：C.
2．（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于轴对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的定义与判断
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合可得答案.
【详解】A选项，由二次函数图像及性质可知，对称轴为，A选项错误；
B选项，由指数函数图像及性质可知，函数没有对称轴，B选项错误；
C选项，因为，所以函数为偶函数，图像关于轴对称，C选项正确；
D选项，函数定义域为，不是偶函数，D选项错误.
故选：C.
3．（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求对数函数的定义域
【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，的定义域为，，为奇函数，A不是；
对于B，的定义域为，，为偶函数，B是；
对于C，的定义域为，该函数为非奇非偶函数，C不是；
对于D，的定义域为R，，该函数为偶函数，D是.
故选：BD
角度2：根据函数奇偶性求解析式
典型例题
例题1．（24-25高三上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】利用偶函数的性质求函数解析式即得.
【详解】当时，，则，
∵函数是定义域为的偶函数，∴，
∴.
故选：A.
例题2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 .
【答案】.
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求对数函数的解析式
【分析】利用奇函数的定义，将求时的解析式转化为时的情况，直接代入已知解析式即可.
【详解】解析：因为是奇函数，当时，，
所以当时，.
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， .
【答案】
【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数函数解析式
【分析】首先设，，根据偶函数的性质，结合的函数的解析式，即可求解.
【详解】当时，可得，
又因为当时，，所以，
因为是偶函数，所以，
所以当时，.
故答案为：.
2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是 ．
【答案】
【知识点】由奇偶性求函数解析式
【分析】依题意可得，解方程组即可得解.
【详解】因为，
又因为是奇函数，是偶函数，所以．
由、解得．
故答案为：
3．（24-25高三上·陕西汉中·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的最大值为 ．
【答案】4
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由奇偶性求函数解析式
【分析】根据奇函数的定义求出时函数的解析式，从而判断函数在区间上的单调性，即可求最值.
【详解】由题意，设，则，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以；
故时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的最大值为；
故答案为：.
角度3：函数奇偶性的应用
典型例题
例题1．（2025·四川·一模）函数，若．则（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】D
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】应用已知结合奇偶性计算求值.
【详解】函数，
若，则，
则.
故选：D.
例题2．（24-25高三上·河南·开学考试）已知函数，且，则（ ）
A．B．C．0D．.3
【答案】C
【知识点】诱导公式二、三、四、函数奇偶性的应用
【分析】计算得即可得到.
【详解】因为，，
设，
则，解得.
故选：C．
精练高频考点
1．（24-25高二下·贵州黔南·期中）已知函数，a，b，，且，，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用
【分析】设，则，且是奇函数，利用奇函数的性质及题中条件即可求解.
【详解】设，则，且，
∴是奇函数，∴.
又，，
∴，解得.
故选：C.
2．（25-26高三上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
【答案】0
【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【详解】因为奇函数的定义域为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以．
3．（24-25高三上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 .
【答案】2
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得.
【详解】，
.
故答案为：2.
角度4：由函数奇偶性求参数
典型例题
例题1．（24-25高三上·广东·期中）若为偶函数，则（ ）
A．－4B．－2C．0D．2
【答案】D
【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数
【分析】列出的表达式并化简，根据为偶函数的定义即可求出的值.
【详解】，
则，
由于函数是偶函数，有，
故，
所以，从而得到，解得.
故选：D.
例题2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．0B．1C．D．2
【答案】A
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】根据奇函数的定义及对数运算即可求解．
【详解】函数的定义域为，
因为是奇函数，
所以恒成立，
所以，
故选：A．
精练高频考点
1．（25-26高三上·全国·课后作业）若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【知识点】由奇偶性求参数、指数幂的化简、求值
【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，所以，所以．
2．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ．
【答案】4
【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出，再检验即可求解．
【详解】由题意知，得，
令，解得或，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以，解得，即，
令，其定义域为，
，满足题意，
故答案为：4．
角度5：奇偶性+单调性解不等式
典型例题
例题1．（24-25高二下·湖南·期中）已知函数，则使成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式
【分析】先判断函数是偶函数，再利用指数函数的单调性，以及奇偶性可得，解不等式即可得出结论.
【详解】函数，定义域为，关于原点对称，
又因为，易知是偶函数，
当时，，则在上单调递增．
由，得，解得．
故选：B
例题2．（多选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数，若，则实数t的值不可能是（ ）
A．B．1C．2D．0
【答案】AD
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数奇偶性解不等式
【分析】首先根据题意得到为奇函数且在为增函数，再解不等式即可.
【详解】函数，定义域为，
，所以为奇函数，
，
当且仅当，即取等号.
所以在为增函数.
，
即，解得.
故选：AD
精练高频考点
1．（24-25高三上·广西·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式
【分析】当时，利用函数的单调性解不等式，再利用是偶函数解不等式即可.
【详解】由对数函数和一次函数的单调可得是增函数，且，
所以当时，的解集为，
因为是奇函数，易知是偶函数，当时，可得，
根据偶函数知：当时，可得，
故选：A.
2．（2025·江西·二模）已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】判断一般幂函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】根据解析式判断函数的单调性和奇偶性，再应用单调性和奇偶性解不等式即可.
【详解】由，在R上都单调递减，且都是奇函数，
所以是单调递减的奇函数，
故，则，即，
所以不等式的解集为.
故答案为：
3．（24-25高三上·广东·期中）已知函数，则不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】先判断为奇函数，再分析其单调性，发现为增函数，故可利用单调性得到自变量的大小，由此可得到解集.
【详解】因为，且函数的定义域为，所以为奇函数，
又因为和在上均为增函数，所以为增函数，
由，得，
故，解得，所以不等式的解集为.
故答案为：.
4．（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数，且满足，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】根据奇偶函数的定义证明的奇偶性，根据指数型复合函数的单调性判断的单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解.
【详解】因为，所以为奇函数，
，
又在R上单调递增，所以在R上单调递增，
所以为R上的增函数.
因为，为奇函数，
所以，
又为R上的增函数，所以，即，
解得或，即实数m的取值范围为.
故答案为：
高频考点二：函数周期性及其应用
角度1：由函数周期性求函数值
典型例题
例题1．（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（ ）
A．5B．C．2D．
【答案】D
【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由函数的周期性求函数值
【分析】利用赋值法，整理等式可得函数周期性，利用周期性，可得答案.
【详解】由题意得，用代替x，得.
两式相加，得，所以，所以函数是以6为周期的周期函数.
因为，所以，又因为，所以.
又因为，即，解得，
所以.
故选：D.
例题2．（24-25高三下·浙江绍兴·期中）已知函数对任意，都有，的图象关于原点对称，且，则
【答案】2
【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】由已知可得，可得周期为6，又可得，从而可求/
【详解】函数对任意，都有，所以，
所以，所以是心6为周期的周期函数，
又的图象关于原点对称，所以是奇函数，即，
所以.
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高三下·北京·期中）已知是定义在上的偶函数，并且，当时，，则 .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值、由函数的周期性求函数值
【分析】结合已知条件求出的一个周期为6，进而得，代入已知函数求值即可求解.
【详解】由得，又，故，
故的一个周期为6，又当时，，
所以.
故答案为：
2．（2025·云南曲靖·二模）已知函数满足，且当时，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】求函数值、对数的运算、由函数的周期性求函数值
【分析】根据已知得出函数的周期为4，进而得出，然后根据解析式求出即可得出答案.
【详解】由已知可知，函数为周期函数，且周期为4.
所以，.
又当时，，
所以，，.
故答案为：.
角度2：由函数周期性求解析式
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数满足．
(1)求证：是周期函数
(2)若，求的值．
(3)若时，，试求时，函数的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】由函数的周期性求函数值、判断证明抽象函数的周期性、由周期性求函数的解析式
【分析】（1）由题意条件推出，得到函数的周期；
（2）由（1）中的函数周期得到；
（3）根据函数的周期和时的函数解析式，求出时的函数解析式，再由函数周期及，求出时的函数解析式，得到答案.
【详解】（1）证明：由题意知，则．用代替x得，故是周期为4的周期函数．
（2）若，则．
（3）当时，，则，又周期为4，
所以．
当时，，则，
根据周期为4，则．
又，所以．
所以解析式为.
例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数（）是奇函数．又已知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值．
(1)证明：；
(2)求的解析式；
(3)求在[4，9]上的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【知识点】由函数的周期性求函数值、由周期性求函数的解析式、函数奇偶性的应用、已知函数类型求解析式
【分析】（1）根据函数周期性，可得，再结合函数奇偶性即可求得结果；
（2）设出二次函数解析式，结合（1）中结论，求得未知参数，则问题得解；
（3）先求出在的解析式，再结合函数周期性，即可求得结果.
【详解】（1）证明：∵f (x)是以为周期的周期函数，∴，
又∵是奇函数，∴，∴
（2）当时，由题意可设，
由，得，∴，
∴.
（3）根据（2）中所求，可知；又在上是奇函数，故，
故当时，设，则，解得.
故当时，.
又在上是奇函数，故当时，.
综上，则时，.
因为时，.
所以当时，，所以；
当时，，所以，
综上所述，.
精练高频考点
1．（2024高三·全国·专题练习）设是定义在上以为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，.求时，的解析式．
【答案】，.
【知识点】由周期性求函数的解析式、由奇偶性求函数解析式
【分析】首先由奇偶性求出函数在上的解析式，再根据周期性可得当时，即可得解.
【详解】当，即，所以，
又为偶函数，所以，所以，
又是以为周期的周期函数，
于是当，即时，有，
所以，，
，.
2．（23-24高三上·吉林白山·阶段练习）设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由周期性求函数的解析式、由奇偶性求函数解析式
【分析】（1）由题意，分析即得解；
（2）由，，，结合时，，即得解.
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∴是周期为4的周期函数．
（2）∵，∴，∴，
∴．
∵，
即．
高频考点三：函数的对称性
角度1：由函数对称性求解析式
典型例题
例题1．（23-24高三下·河南平顶山·阶段练习）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【知识点】由对称性求函数的解析式、对数的运算性质的应用
【分析】设所求函数的图象上任意一点，求得关于对称的点为，代入已知函数，即可求解.
【详解】设所求函数的图象上任意一点，则点关于对称的点为，
由题意知点Q在的图象上，可得，
即函数关于对称的函数解析式为．
故选：D．
例题2．（24-25高三上·宁夏吴忠·阶段练习）已知函数.
(1)当时，，求实数的取值范围;
(2)若函数与的图象关于点对称，求的解析式;
【答案】(1)
(2)
(3)零点个数为1，理由见解析
【知识点】由对称性求函数的解析式、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、求函数零点或方程根的个数
【分析】（1）利用导数求的最大值即可求解；
（2）结合函数的对称中心求出函数解析式；
（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.
【详解】（1）

由题意得，，令，解得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以的最大值为，
由于时，，所以，
所以实数的取值范围为.
（2）由题意得，．
精练高频考点
1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数与的图象关于点对称，则 ．
【答案】
【知识点】由对称性求函数的解析式
【分析】设是上一点，关于点的对称点为，得到，将其代入函数的解析式，即可求得的解析式.
【详解】设是图象上任意一点，且点关于点的对称点为，
可得，解得，
将其代入函数，可得，所以，
即.
故答案为：.
2．（2024高三·全国·专题练习）若函数y＝g（x）的图象与y＝ln x的图象关于直线x＝2对称，则g（x）＝ ．
【答案】ln （4－x）
【知识点】由对称性求函数的解析式、函数对称性的应用
【分析】利用对称的定义求解即可.
【详解】在函数y＝g（x）的图象上任取一点（x，y），则点（x，y）关于直线x＝2对称的点为（4－x，y），且点（4－x，y）在函数y＝ln x的图象上，所以y＝ln （4－x）,
即,
故答案为：
3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数．
(1)判断在上单调性并证明；
(2)当时，，且，，求的解析式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由对称性求函数的解析式
【分析】（1）根据单调性的定义证明，设，且，；
（2）由转化为，设时，则，代入解析式，即可求解.
【详解】（1）设，且，，
，，则，
即，所以在上单调递增.
（2）当时，，
由，，即，
当时，则，则，
则当时，，
故函数的解析式为.
角度2：由函数对称性求函数值或参数
典型例题
例题1．（24-25高三上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则
【答案】120
【知识点】由函数对称性求函数值或参数
【分析】利用图像的对称性列方程组求解即可.
【详解】由题意得函数的图像关于直线对称，
则，
，
解得：，.
故答案为：120.
例题2．（24-25高三上·上海·期末）若函数的对称中心是则
【答案】1
【知识点】由函数对称性求函数值或参数
【分析】根据函数图象关于点对称，可得，整理可求出的值.
【详解】因为函数的对称中心是，
所以.
即.
整理得：，
所以，所以.
故答案为：1
精练高频考点
1．（2025·河南郑州·三模）已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于对称，若，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【知识点】由函数对称性求函数值或参数、函数奇偶性的应用
【分析】由函数的对称性和奇偶性，通过赋值即可得到答案.
【详解】因为，所以，
因为是奇函数，，所以，
因为函数的图象关于对称，所以，
即.
故选：D.
2．（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】C
【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数、对数的运算
【分析】由题意可知，计算即可得出结果.
【详解】因为关于点中心对称，
所以，
所以，可得，
故选：C．
3．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 .
【答案】
【知识点】函数对称性的应用、由函数对称性求函数值或参数
【分析】法一：设是的图象上一点，则也在的图象上，计算可得，再计算出即可得解；法二：利用对称性结合定义域可得，再借助的图象关于点对称，可得.
【详解】设是的图象上一点，
关于点的对称点为，
由题知点也在的图象上，则 ，
两式相加得，
所以恒成立，故，
且，整理得.
若，则，此时的图象不关于点对称，不符合要求；
若，则，符合要求，所以.
法二：
由的图象关于点对称，得函数的定义域关于对称，
即的解集关于对称，得，所以，
设，
则，
故的图象关于点对称，
故的图象关于点对称，
所以，所以.
故答案为：.
角度3：对称性+奇偶性+周期性的综合应用
典型例题
例题1．（多选）（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知函数与的定义域均为，且，若为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称B．
C．函数的图象关于点对称D．
【答案】BCD
【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、函数周期性的应用
【分析】根据函数的对称性、周期性、函数值等知识确定正确答案.
【详解】A选项，是偶函数，图象关于对称，将的图象的横坐标放大为原来的两倍，得到的图象，则是偶函数，图象关于直线对称；将的图象向左平移1个单位长度，得到的图象，则的图象关于直线对称，A选项错误；
B选项，由，以替换x得，
由得，
令得，
由于的图象关于直线对称，所以，B选项正确；
C选项，由，以替换x得，
由得，
令得，所以的图象关于点对称，C选项正确；
D选项，的图象关于直线对称，，由，，
以替换x得，所以，，
的周期为4，，，
，D选项正确．
故选：BCD．
例题2．（多选）（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．是函数的图象的一条对称轴
D．
【答案】AD
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用
【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质.
【详解】对于A，令，代入等式可得.得到，开方后解得，所以A选项正确.
对于B，令，则原等式变为.
因为前面已求得，所以，即，移项可得.
根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以B选项错误.
对于C，令，原等式变为.
由于，则，即.
令，则，那么.
根据周期函数的定义，所以是函数的一个周期.
当，时，可得，
可得，①；
当时，可得 ②.
由①+②可得，由于，
所以，
代入②式得到，由于，进而解得.
令，原等式变为.
因为，所以，移项可得.
又因为，所以.
根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心.
因为是函数的一个周期，，所以也是函数图象的一个对称中心，所以C选项错误.
对于D，根据前面的分析，有，，，，且是函数的一个周期，所以.
因为，所以，所以D选项正确.
故选：AD.
精练高频考点
1．（多选）（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知函数的定义域均为是偶函数，，则（ ）
A．B．是奇函数
C．D．是的对称轴
【答案】ACD
【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用
【分析】根据函数的基本性质，理解抽象函数的基本性质，通过特殊值和换元法判断选项是否正确.
【详解】对A，，令，，
解得，所以A正确.
对B，是偶函数，，
，
故，
所以是偶函数，B错误.
对C，①，
可得， ①式带入得，
所以，即，
所以C正确.
对D，由C选选项可知，由B选项可知，
所以，可知是的对称轴.
所以D选项正确.
故选：ACD.
2．（多选）（2025·河北石家庄·三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．的图象关于点中心对称
B．是周期为2的函数
C．
D．
【答案】AC
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】利用抽象函数的对称性、奇偶性、周期性一一判定选项即可.
【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称，
又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确；
对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ，
又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误；
对于 C，由，令，得，则，
，故C正确；
对于D，由，则，又，是周期为4的函数，
则，
而的值无法确定，故D错误.
故选：AC.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数
图象关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数
图象关于原点对称
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数