2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习高频考点讲义练习(全国通用)第01讲任意角和弧度制及三角函数的概念(精讲)(原卷版+解析)，共47页。试卷主要包含了角的概念的推广，弧度制的定义和公式，任意角的三角函数，扇形的弧长及面积公式，三角函数线，常用结论等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14987" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc14987 \h 1
\l "_Tc32421" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc32421 \h 4
\l "_Tc6944" 高频考点一：确定已知角所在象限 PAGEREF _Tc6944 \h 4
\l "_Tc27145" 高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围 PAGEREF _Tc27145 \h 5
\l "_Tc13365" 高频考点三：确定倍角（分角）所在象限 PAGEREF _Tc13365 \h 5
\l "_Tc1323" 高频考点四：区域角 PAGEREF _Tc1323 \h 6
\l "_Tc18250" 高频考点五：终边相同的角 PAGEREF _Tc18250 \h 8
\l "_Tc22423" 高频考点六：角度制与弧制度的相互转化 PAGEREF _Tc22423 \h 8
\l "_Tc415" 高频考点七：弧长公式有关的计算 PAGEREF _Tc415 \h 9
\l "_Tc5610" 高频考点八：扇形面积有关计算 PAGEREF _Tc5610 \h 10
\l "_Tc30802" 高频考点九：单位圆法与三角函数 PAGEREF _Tc30802 \h 11
\l "_Tc12275" 高频考点十：终边上任意点法与三角函数 PAGEREF _Tc12275 \h 12
\l "_Tc30322" 高频考点十一：三角函数线 PAGEREF _Tc30322 \h 12
\l "_Tc31998" 高频考点十二：解三角不等式 PAGEREF _Tc31998 \h 13
\l "_Tc13489" 第三部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc13489 \h 14
第一部分：基础知识
1、角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：
终边与角相同的角可写成．
2、弧度制的定义和公式
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：；．
若一个角的弧度数为，角度数为，则，．
3、任意角的三角函数
3.1.单位圆定义法：
任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么
（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；
（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；
（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
3.2.终边上任意点法：
设是角终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为（）那么：
；；（）
4、扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5、三角函数线
6、常用结论
（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.
（3）象限角：
（4）轴线角
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：确定已知角所在象限
典型例题
例题1．若角顶点在原点，始边在的正半轴上，终边上一点的坐标为，则角为（ ）角
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象眼
例题2．的终边在第 象限．
精练高频考点
1．角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（多选）若，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围
典型例题
例题1．已知为第二象限角，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
例题2．已知角为第一象限角，则角所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
精练高频考点
1．若是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
2．若是第四象限角，则是第（ ）象限角
A．一B．二C．三D．四
3．已知为第四象限角，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
高频考点三：确定倍角（分角）所在象限
典型例题
例题1．（24-25高一上·宁夏固原·期末）若是第三象限角，则是（ ）
A．第一或第二象限角B．第一或第三象限角
C．第二或第四象限角D．第三或第四象限角
例题2．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
精练高频考点
1．（2025高二下·湖南郴州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角B．若是钝角，则是第一象限角
C．大于的角一定是钝角D．若是锐角，则是第二象限角
2．（多选）（24-25高三下·全国·单元测试）已知是第三象限角，则不可能是第几象限角（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．（2025高三下·全国·专题练习）如果是第三象限的角，角终边所在的位置是 ．
高频考点四：区域角
典型例题
例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．
D．
例题2．（24-25高三下·全国·阶段练习）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合．
(1)终边落在射线上；
(2)终边落在直线上；
(3)终边落在阴影区域内（含边界）．
精练高频考点
1．（25-26高一上·全国·课后作业）如图所示，终边在阴影部分（含边界）的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
2．（25-26高三上·全国·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
高频考点五：终边相同的角
典型例题
例题1．（24-25高一下·广西钦州·期末）下列与角终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（多选）（24-25高三下·全国·周测）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
精练高频考点
1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·海南海口·期中）下列各角中，与2025°角终边相同的是（ ）
A．225°B．C．45°D．
3．（多选）（24-25高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（ ）．
A．B．
C．D．
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化
典型例题
例题1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
例题2．（2025高三·全国·专题练习）将下列各弧度化成角度．
(1)；
(2)；
(3)．
精练高频考点
1．（25-26高一上·全国·课后作业）把化成角度是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是B．化成弧度是
C．化成角度是D．化成角度是
3．（24-25高三下·全国·周测）若角的终边在直线上，则角用弧度制可表示为 ．
高频考点七：弧长公式有关的计算
典型例题
例题1．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为（ ）
A．B．C．60D．120
例题2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知圆心角为的扇形面积等于 ，则该扇形的弧长为 .
精练高频考点
1．（24-25高三下·四川雅安·阶段练习）已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 .
3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度是 弧度；若大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，则小轮圆周上一点第转过的弧长是 ．
高频考点八：扇形面积有关计算
典型例题
例题1．（2026高三·全国·专题练习）一扇形周长为，则当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
例题2．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
精练高频考点
1．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为
(1)若，，求扇形的弧长
(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
3．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8．
(1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小；
(2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．）
高频考点九：单位圆法与三角函数
典型例题
例题1．（23-24高三·全国·阶段练习）设，角的终边与圆的交点为，那么（ ）
A．B．C．D．
例题2．（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边与单位圆的交点为，则 ．
精练高频考点
1．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·安徽·期中）已知是角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
高频考点十：终边上任意点法与三角函数
典型例题
例题1．（多选）（24-25高二下·江苏常州·期末）已知点在角的终边上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2025·甘肃白银·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 .
精练高频考点
1．（24-25高二上·云南保山·期末）已知角的终边落在射线上，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高二·全国·专题练习）已知角的终边经过点，则的值为 ．
3．（2025·河北保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ．
高频考点十一：三角函数线
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）设，，，比较，，的大小．
例题2．（24-25高三下·全国·课堂例题）利用三角函数线比较：，，的大小．
精练高频考点
1．（24-25高一上·江苏·期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025高三·全国·专题练习）利用单位圆中的三角函数线写出符合下列条件的角的取值集合．
(1)；
(2)．
3．（24-25高三下·全国·课堂例题）作出的正弦线、余弦线和正切线．
高频考点十二：解三角不等式
典型例题
例题1．（24-25高三下·陕西榆林·阶段练习）在内，则满足不等式的取值集合是 .
例题2．（23-24高三·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合．
(1)；
(2)．
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）求函数的定义域．
2．（24-25高三·全国·阶段练习）解不等式.
3．（23-24高三上·全国·阶段练习）求的角的取值范围.
第三部分：典型易错题型
易错点一：忽略了角的旋转方向导致角的正负出错
1．（24-25高一下·天津·期中）将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 .
2．（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是 .
3．（24-25高三下·上海·阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 .
角
不存在
三角函数线


正弦线：
余弦线：
正切线：
角度制
弧度制
象限角
集合
区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
角终边所在位置
角度制
弧度制
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴上
角终边在轴上
角终边在坐标轴上
第01讲 任意角和弧度制及三角函数的概念
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc14987" 第一部分：基础知识 PAGEREF _Tc14987 \h 1
\l "_Tc32421" 第二部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc32421 \h 4
\l "_Tc6944" 高频考点一：确定已知角所在象限 PAGEREF _Tc6944 \h 4
\l "_Tc27145" 高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围 PAGEREF _Tc27145 \h 5
\l "_Tc13365" 高频考点三：确定倍角（分角）所在象限 PAGEREF _Tc13365 \h 7
\l "_Tc1323" 高频考点四：区域角 PAGEREF _Tc1323 \h 9
\l "_Tc18250" 高频考点五：终边相同的角 PAGEREF _Tc18250 \h 12
\l "_Tc22423" 高频考点六：角度制与弧制度的相互转化 PAGEREF _Tc22423 \h 14
\l "_Tc415" 高频考点七：弧长公式有关的计算 PAGEREF _Tc415 \h 15
\l "_Tc5610" 高频考点八：扇形面积有关计算 PAGEREF _Tc5610 \h 17
\l "_Tc30802" 高频考点九：单位圆法与三角函数 PAGEREF _Tc30802 \h 20
\l "_Tc12275" 高频考点十：终边上任意点法与三角函数 PAGEREF _Tc12275 \h 22
\l "_Tc30322" 高频考点十一：三角函数线 PAGEREF _Tc30322 \h 24
\l "_Tc31998" 高频考点十二：解三角不等式 PAGEREF _Tc31998 \h 28
\l "_Tc13489" 第三部分：典型易错题型 PAGEREF _Tc13489 \h 32
第一部分：基础知识
1、角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：
终边与角相同的角可写成．
2、弧度制的定义和公式
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：；．
若一个角的弧度数为，角度数为，则，．
3、任意角的三角函数
3.1.单位圆定义法：
任意角的三角函数定义：设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么
（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；
（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；
（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
3.2.终边上任意点法：
设是角终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为（）那么：
；；（）
4、扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5、三角函数线
6、常用结论
（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆.
（3）象限角：
（4）轴线角
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：确定已知角所在象限
典型例题
例题1．若角顶点在原点，始边在的正半轴上，终边上一点的坐标为，则角为（ ）角
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象眼
【答案】C
【分析】通过诱导公式化简即可
【详解】由诱导公式得：
所以在第三象限，所以角为第三象限角.
故选：C.
例题2．的终边在第 象限．
【答案】三
【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可.
【详解】因为，所以与终边相同，
故的终边在第三象限.
故答案为：三
精练高频考点
1．角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】把变成0到360度内的角即可判断.
【详解】因为，所以角的终边在第三象限.
故选：C.
2．的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】确定的范围，进而求出终边所在象限.
【详解】，所以的终边在第四象限.
故选：D
3．（多选）若，则角的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】BD
【分析】对分奇数、偶数两种情况讨论，结合象限角的定义可得结果.
【详解】当为偶数时，设，则，
此时与角终边相同，为第二象限角；
当为奇数时，设，则，
时，与角终边相同，为第四象限角．
故选：BD．
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围
典型例题
例题1．已知为第二象限角，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】C
【解析】根据的范围，求得的范围，即可得答案.
【详解】因为为第二象限角，所以，
所以，
所以为第三象限角．
故选：C
例题2．已知角为第一象限角，则角所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据角的范围，求得的范围，即可求得答案.
【详解】由题意得，
所以，
所以所在的象限为第三象限.
故选：C.
精练高频考点
1．若是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可.
【详解】因为是第二象限角，
所以，
所以
从而，
所以是第四象限角．
故选：D.
2．若是第四象限角，则是第（ ）象限角
A．一B．二C．三D．四
【答案】B
【分析】由题可得，，即得答案.
【详解】是第四象限角，则，，
则，，在第二象限.
故选：B.
3．已知为第四象限角，则为（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】A
【分析】根据任意角的定义，进行逆时针旋转即可得解.
【详解】表示将角α的终边逆时针旋转弧度后所得的角，
因为α为第四象限角，
所以为第一象限角．
故选：A
高频考点三：确定倍角（分角）所在象限
典型例题
例题1．（24-25高一上·宁夏固原·期末）若是第三象限角，则是（ ）
A．第一或第二象限角B．第一或第三象限角
C．第二或第四象限角D．第三或第四象限角
【答案】C
【分析】首先利用不等式写出的范围，即可求解.
【详解】由题意可知，
所以，
所以是第二或第四象限角.
故选：C.
例题2．（多选）（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知角的终边在第四象限，则的终边可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】BCD
【分析】根据角的终边在第四象限，得，即，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断.
【详解】由为第四象限角，得，
得，
令，时，，，得的终边在第四象限；
令，时，，，得的终边在第二象限，
令，时，，，得的终边在第三象限，
故选：BCD.
精练高频考点
1．（2025高二下·湖南郴州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角B．若是钝角，则是第一象限角
C．大于的角一定是钝角D．若是锐角，则是第二象限角
【答案】B
【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断.
【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误；
对于选项B：若是钝角，则，
可得，所以是第一象限角，故B正确；
对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误；
对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误；
故选：B.
2．（多选）（24-25高三下·全国·单元测试）已知是第三象限角，则不可能是第几象限角（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】CD
【分析】根据给定条件，由的范围，求出的范围作答.
【详解】因为是第三象限角，则，
于是，显然终边在x轴上方，
所以不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.
故选：CD
3．（2025高三下·全国·专题练习）如果是第三象限的角，角终边所在的位置是 ．
【答案】第一、三、四象限
【分析】根据象限角定义结合分类讨论求解即可.
【详解】因为，所以．
当时，；
当时，；
当时，．
综上，的终边在第一、三，四象限．
故答案为：第一、三、四象限
高频考点四：区域角
典型例题
例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】D
【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围是．
例题2．（24-25高三下·全国·阶段练习）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合．
(1)终边落在射线上；
(2)终边落在直线上；
(3)终边落在阴影区域内（含边界）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；
（2）可得出终边落在射线上的一个角为，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线上的角的集合；
（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果.
【详解】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为；
（2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为
，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
.
精练高频考点
1．（25-26高一上·全国·课后作业）如图所示，终边在阴影部分（含边界）的角的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】阴影部分在第一象限的角的集合为；阴影部分在第三象限的角的集合为．所以所求角的集合为．
2．（25-26高三上·全国·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】略
3．（24-25高三上·海南海口·阶段练习）若角的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解.
【详解】依题意，在内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影内部分对应角的范围是，
所以角的取值范围是．
故选：D．
高频考点五：终边相同的角
典型例题
例题1．（24-25高一下·广西钦州·期末）下列与角终边相同的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的集合即可求解.
【详解】与角终边相同的角的集合为,
取，，其他均不符合，
故选：B
例题2．（多选）（24-25高三下·全国·周测）下列各式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】弧度与角度之间的互化是，利用公式分别计算A、B、C、D四个选项可得答案.
【详解】对于A，，正确；
对于B，，正确；
对于C，，错误；
对于D，，正确；
故选：ABD．
精练高频考点
1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】与角终边相同的角的集合为，令．
2．（24-25高一下·海南海口·期中）下列各角中，与2025°角终边相同的是（ ）
A．225°B．C．45°D．
【答案】A
【分析】根据终边相同的角的判断方法逐一判断即得.
【详解】因，即与的终边相同.
对于A，由上分析可得，故A正确；
对于B，因不是的整倍数，故B错误；
对于C，因不是的整倍数，故C错误；
对于D，因不是的整倍数，故D错误.
故选：A.
3．（多选）（24-25高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据终边相同的角定义判断.
【详解】由于，
故与405°终边相同的角应为或．
故选：BC
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化
典型例题
例题1．（多选）（25-26高一上·全国·课后作业）下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
【答案】AB
【详解】，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D错误．
例题2．（2025高三·全国·专题练习）将下列各弧度化成角度．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)；
(2)135°；
(3)210°．
【分析】根据弧度制的定义，可得答案．
【详解】（1）
（2）
（3）
精练高频考点
1．（25-26高一上·全国·课后作业）把化成角度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】．
2．（多选）（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是B．化成弧度是
C．化成角度是D．化成角度是
【答案】ABD
【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案.
【详解】对于A：，所以化成弧度是，故A正确.
对于B，，化成弧度是，故B正确.
对于C，化成角度是，故C错误.
对于C，，化成角度是，故D正确.
故选：ABD.
3．（24-25高三下·全国·周测）若角的终边在直线上，则角用弧度制可表示为 ．
【答案】
【分析】根据终边相同的角求解.
【详解】角的终边在直线上，
∴角的终边在一、三象限的角平分线上，依题意得，，．
故答案为：，．
高频考点七：弧长公式有关的计算
典型例题
例题1．（24-25高一下·辽宁抚顺·期中）已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为（ ）
A．B．C．60D．120
【答案】B
【分析】先将圆心角转化为弧度制，然后根据扇形的弧长公式计算即可.
【详解】圆心角为20°，即圆心角为，又扇形的半径为6，
由弧长公式得，该扇形的弧长为，
故选：B
例题2．（24-25高一下·上海宝山·期中）已知圆心角为的扇形面积等于 ，则该扇形的弧长为 .
【答案】
【分析】设扇形的半径为,由扇形的面积公式求出，再由弧长公式计算可得.
【详解】设扇形的半径为，因为圆心角，
所以扇形面积，解得（负值已舍去），
所以该扇形的弧长.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高三下·四川雅安·阶段练习）已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12分钟的该手表校准后，该手表的分针尖端所走过的弧长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据扇形的弧长公式求值.
【详解】手表分针转动的弧度数为：，
又分针长2cm，所以分针尖端所走过的弧长为：.
故选：B
2．（24-25高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的弧长为 .
【答案】cm
【分析】利用弧长公式求解．
【详解】，
故答案为：
3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度是 弧度；若大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，则小轮圆周上一点第转过的弧长是 ．
【答案】
【详解】当大轮转动一周时，小轮转动的角度为；由于大齿轮的转速为，所以小齿轮圆周上一点第转过的弧长．
高频考点八：扇形面积有关计算
典型例题
例题1．（2026高三·全国·专题练习）一扇形周长为，则当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】
【分析】设扇形弧长为，扇形半径为，依题意可得，再由扇形面积公式及二次函数的性质计算可得.
【详解】由已知设扇形弧长为，扇形半径为，则，
所以．
所以，
所以当时，取得最大值，
此时，．
例题2．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）；；（2）答案见解析
【分析】（1）先求出半径，再由扇形弧长与面积公式可得；
（2）建立面积函数关系，求二次函数最值即可.
【详解】（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角，所以半径，
所以这个圆心角所对的弧长；
扇形的面积.
故这个圆心角所对的弧长为；扇形的面积为.
（2）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，
则，所以，
所以，
所以当半径时，扇形的面积最大，这时rad.
故当扇形的半径为，圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
精练高频考点
1．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为
(1)若，，求扇形的弧长
(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．
【答案】(1)
(2)当时，扇形的面积最大，最大面积是．
【分析】（1）首先将角度转化为弧度，然后根据扇形的弧长公式即可得到答案；
（2）设扇形的弧长为，则，扇形的面积为，由二次函数性质即可得到面积的最大值．
【详解】（1）设扇形的弧长为．，即，.
（2）由题设条件知，,
因此扇形的面积
当时，有最大值，此时,
当时，扇形的面积最大，最大面积是．
2．（2024高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径是，弧长为.
(1)若，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【答案】(1)
(2)最大值为25；
【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；
（2）由题意可知扇形的面积为，利用二次函数的性质，结合弧度的定义即可求解
【详解】（1）因为，
所以扇形的面积为；
（2）由题意可知：，即，
所以扇形的面积为，
当时，扇形面积的最大值为，
此时，
3．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8．
(1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角的大小；
(2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图形．）
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）设该扇形的半径为，弧长为，可得，利用基本不等式可求扇形的面积的最大值；进而可求圆心角的大小；
（2）由（1）知，．求得三角形的面积，进而可求弓形的面积.
【详解】（1）设该扇形的半径为，弧长为，
则，
当且仅当时，等号成立，
此时该扇形的面积，，
其圆心角，
故所求圆心角．
（2）由（1）知，．
又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积，
所以所求弓形的面积，
故所求弓形的面积是．
高频考点九：单位圆法与三角函数
典型例题
例题1．（23-24高三·全国·阶段练习）设，角的终边与圆的交点为，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点在单位圆上求出，再由三角函数的定义求解即可.
【详解】画图，角的终边与圆的交点为，

设，则，，代入得，
解得，
∵，
∴，
∴，
又∵在单位圆中，，，
∴，，
∴，
故选：D
例题2．（24-25高一上·广东广州·期末）已知角的终边与单位圆的交点为，则 ．
【答案】
【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，再利用诱导公式运算求解.
【详解】因为角的终边与单位圆的交点为，则，
所以.
故答案为：.
精练高频考点
1．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）已知角顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由三角函数定义求出，相减即得．
【详解】角终边与单位圆交于点，则，.
.
故选：A.
2．（23-24高三上·安徽·期中）已知是角的终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义可得，进而由商数关系可求.
【详解】因为是角的终边上一点，
所以，
则，
故选：B.
高频考点十：终边上任意点法与三角函数
典型例题
例题1．（多选）（24-25高二下·江苏常州·期末）已知点在角的终边上，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式逐一分析即可.
【详解】对于：，所以，
平方得，解得，故错误；
对于：，故正确；
对于：，故正确；
对于：，故正确.
故选：.
例题2．（2025·甘肃白银·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 .
【答案】
【分析】根据三角函数定义计算角的正切值，再用诱导公式求解即可.
【详解】由正切函数的定义可知，
再利用诱导公式知.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25高二上·云南保山·期末）已知角的终边落在射线上，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法1：根据三角函数的定义求解；方法2：三角函数的定义和弦化切计算.
【详解】方法1：由题角的终边过点，则(为坐标原点)，
从而，．
方法2：由题易知
故选：B．
2．（2025高二·全国·专题练习）已知角的终边经过点，则的值为 ．
【答案】或
【分析】运用三角函数定义计算即可.
【详解】∵，∴．
①当时，，则，
则．
②当时，，，
则．
故答案为：或．
3．（2025·河北保定·一模）设是第二象限角，为其终边上一点，且，则 ．
【答案】
【分析】根据余弦函数的定义列方程解出，再利用正切函数的定义求解即可.
【详解】由题：，
又是第二象限角，所以，
所以，
故答案为：.
高频考点十一：三角函数线
典型例题
例题1．（2025高三·全国·专题练习）设，，，比较，，的大小．
【答案】
【分析】设扇形的面积为，由三角函数线结合得到，即可得解.
【详解】画出的三角函数线，如下：

则，，，
设扇形的面积为，则，，
又，故，
所以，，
因为，根据不等式()，
所以，即．
例题2．（24-25高三下·全国·课堂例题）利用三角函数线比较：，，的大小．
【答案】
【分析】作出三角函数线，根据图形可得.
【详解】如图，在单位圆O中分别作出角的正弦线和的余弦线，正切线．
由知，又，易知，故．
精练高频考点
1．（24-25高一上·江苏·期末）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求证，结合作商法和倍角公式即可求解判断的大小；
【详解】如图，设圆为单位圆，，，
点B在x轴上的射影点为T，过点A作x轴的垂线角射影于点P，
则，
由图知，故，
所以，
所以，即，
，即，
所以.
故选：A.
【点睛】方法点睛：是比较三角函数值大小的一个有力工具.
2．（2025高三·全国·专题练习）利用单位圆中的三角函数线写出符合下列条件的角的取值集合．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案；
（2）分别作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案；
【详解】（1）如下图所示，、为直线与单位圆的两个交点，
可知、．

设的终边落在射线上，的终边落在射线上，、，
根据三角函数的定义可知，，，，
所以，，．
又当的终边落在射线或上时，有，
所以，满足条件的的集合为
.
（2）如下图所示，、为直线与单位圆的两个交点，
可知、．

设的终边落在射线上，的终边落在射线上，、，
根据三角函数的定义可知，，，，
所以，．
又当的终边落在射线或上时，有，
所以，满足条件的的集合为
.
3．（24-25高三下·全国·课堂例题）作出的正弦线、余弦线和正切线．
【答案】答案见解析
【分析】借助单位圆，运用三角函数线画法画图即可.
【详解】如图所示，的正弦线为，余弦线为，正切线为．
高频考点十二：解三角不等式
典型例题
例题1．（24-25高三下·陕西榆林·阶段练习）在内，则满足不等式的取值集合是 .
【答案】或
【分析】作出图形，根据三角函数线找出使得对应的角的集合.
【详解】作出单位圆如下图所示：
满足不等式的角的区域如图中的阴影部分所示（位于直线的下方），
故在内，则满足不等式的取值集合是或.
故答案为：或.
例题2．（23-24高三·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α的集合．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案；
（2）作出单位圆与直线，求出交点坐标，根据三角函数的定义结合图象得出内满足的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案.
【详解】（1）

如图1，为直线与单位圆的两个交点，可知，.
设的终边落在射线上，的终边落在射线上，，
根据三角函数的定义可知，，，，
所以，，.
又当的终边落在射线或上时，有，
所以，满足条件的的集合为.
（2）

如图2，为直线与单位圆的两个交点，可知，.
设的终边落在射线上，的终边落在射线上，，
根据三角函数的定义可知，，，，
所以，，.
根据图2可知，当，且时，有.
所以，当时，由可得，.
精练高频考点
1．（2025高三·全国·专题练习）求函数的定义域．
【答案】，
【分析】根据对数函数的定义及三角函数线可得结果.
【详解】易知，，且．
构造三角函数线，如图20，图21．可知满足的的终边在图20中“横线”区域内且不含边界；
满足且的的终边在图21中的“竖线”区域内且不含边界及轴．
故满足条件的，其中．
2．（24-25高三·全国·阶段练习）解不等式.
【答案】
【分析】作单位圆及直线，设，由图可知当时，满足.即解得.
【详解】解：如图所示，作单位圆及直线，圆与直线相交于、两点，作射线、，则为角的终边，为角的终边.

设，当时，满足.
所以，
即，
解得，
即不等式的解集为.
【点睛】本题考查三角函数线的应用，利用三角函数线解三角不等式，属于基础题.
3．（23-24高三上·全国·阶段练习）求的角的取值范围.
【答案】
【分析】利用三角函数线，结合单位圆的图形进行求解即可.
【详解】因为tan和tan都等于，
利用三角函数的正切线（如图）可知，
角的终边在图中阴影部分（不包含y轴），

将终边所在的所有区域合并得，，
即满足的角的取值范围为
第三部分：典型易错题型
易错点一：忽略了角的旋转方向导致角的正负出错
1．（24-25高一下·天津·期中）将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 .
【答案】
【分析】由角的概念即可求解.
【详解】一个周角是，因此分针拨慢20分钟，
也即逆时针旋转．
故答案为：
2．（24-25高一下·上海·期中）当手表的分针转过10分钟时，转过的弧度数是 .
【答案】/
【分析】根据弧度制和角度制的互化求值即可.
【详解】由题意，手表的分针转过10分钟，即顺时针旋转，即顺时针旋转弧度，
因此，分针转过的弧度数是.
故答案为：.
3．（24-25高三下·上海·阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 .
【答案】/
【分析】根据时针旋转一周为小时，转过的角度为计算可得.
【详解】因为时针旋转一周为小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角，
所以经过小时，时针所转过的弧度数为.
故答案为：.
角
不存在
三角函数线


正弦线：
余弦线：
正切线：
角度制
弧度制
象限角
集合
区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
角终边所在位置
角度制
弧度制
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴非负半轴
角终边在轴非正半轴
角终边在轴上
角终边在轴上
角终边在坐标轴上