中考数学总复习专题突破训练：解直角三角形中最值问题

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(1)求的长．
(2)探究：当为何值时，面积达到最大值？并求出最大值．
(3)过点D作于点F．当为何值时，以D，E，F为顶点的三角形与相似？
2．如图1，在矩形ABCD中，，，把AB绕点B顺时针旋转得到，连接，过B点作于E点，交矩形ABCD边于F点．
(1)求的最小值；
(2)若A点所经过的路径长为，求点到直线AD的距离；
(3)如图2，若，求的值；
(4)当的度数取最大值时，直接写出CF的长．
3．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点逆时针旋转得到，点、旋转后的对应点为、，记旋转角为．
(1)如图①，若，求的长；
(2)如图②，若，求点的坐标；
(3)如图③，为上一点，且，连接、，在绕点逆时针旋转一周的过程中，求面积的最大值和最小值（直接写出结果即可）．
4．如图，在菱形中，，，对角线交于点O，过点D作的垂线，交的延长线于点H，且，点E为的中点，过点E作交于点F．

(1)求证：；
(2)将沿方向以每秒1个单位长度的速度平移到，当点与点D重合后，立即绕点D以每秒3度的速度逆时针方向旋转停止运动．
①线段从平移开始，到绕点D旋转结束，求边扫过的面积；
②求在旋转过程中，的最大值与最小值的差：
③若点M在上，且，直接写出点M在内部（包括边界）时的时长．
5．在中，，，点D为线段上动点，连接，将绕点A顺时针旋转到，连接．
(1)如图1，若，且，求的长；
(2)如图2，垂直交于点G，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，点F为中点，连接，将绕点A旋转，点F的对应点为P，点E的对应点为Q，直线与直线交于点T，若，则当取得最小值时，请直接写出点T到直线距离的最大值．
6．如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，，点P为射线的交点．
(1)求证：；
(2)若，，把绕点A旋转．
①当时，求的长；
②直接写出旋转过程中线段长的最小值与最大值．
7．如图，已知抛物线与x轴交于和两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，，且，如图所示．
(1)求该抛物线的解析式
(2)设P是抛物线对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段于点E，过点E作交抛物线于点F，连接、，求面积的最大值．
②连接，求的最小值
8．如图，在边长为6的等边中，点D在边上，，线段在边上运动，，
(1)求四边形面积的最大值？
(2)求四边形周长的最小值？
9．问题提出
（1）如图①，在等腰中，，在的边上存在一点，使得，则此时面积为_____；
问题探究
（2）如图②，在中，，，点是平面内一点，且，请在图中作出满足条件的所有点，并求出面积的最大值；
问题解决
（3）如图③，是某小区一块空地，为了提高小区居民的生活质量和社区的整体形象，物业计划将这块空地打造成一个宜人舒适的休闲场所，为满足居民的多样化需求，现要在内部规划一个花园和一个休息区，其余部分设计为娱乐区，在点处分别设置一个出水口方便花园浇水，为花园水管管道，根据设计要求，且，根据实际需求，要令休息区的面积尽可能大，而管道的长度尽可能短．已知，，米，求面积的最大值及线段长的最小值．（管道宽忽略不计，结果保留根号）
10．对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角，如图形的点视角，记作．
(1)如图1，为坐标原点，，，则________；
(2)如图2，在菱形中，，，，已知，求；
(3)如图3，，F在第一象限且纵坐标为2，H是线段延长线上一点，且，则的坐标为________，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为________．
11．如图，在中，，，点是外一点，连接交于点，过点作于点，交于点，连接交于点．
(1)如图1，若，，求线段的长度；
(2)如图2，连接，．若，，求证：；
(3)如图3，连接，点是直线上一动点．若，将线段绕着点逆时针旋转得，当的长度取最小值时，将沿直线翻折得，当的长度取最大值时，直接写出的值．
12．在已知中，，动点在的内部，连接，，．
(1)如图1，若，，，求（用表示）：
(2)如图2，若，，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，此时、、三点共线，请猜想线段与之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，若，，当取得最小值时，在直线上取一点，连接，将沿着所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的面积．
13．如图，在中，，，，、分别是、边上的点，连接与相交于点．
(1)证明：是等边三角形；
(2)若，求四边形面积的最大值；
(3)若，求的最小值．
参考答案
1．(1)
(2)当时，面积达到最大值，最大值是
(3)为，，
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股地理，相似三角形的判定与性质，二次函数的应用．
（1）先利用正弦定义求出，再利用勾股定理求解即可；
（2）设，则，过D作于点F，利用正弦定义得出，然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式，再利用二次函数的性质求解；
（3）分E在F的左侧和E在F的右侧时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵点C在以为直线的半圆周上，
∴．
∵，．
∴．
∴．
（2）设，则，过D作于点F，
∵，
∴，
∴，
∴当时，面积达到最大值，最大值是．
（3）解：设，
∵，
∴，，
因点D在上运动，故．
第一类情况，E在F的左侧时，．
①当时，如图1．
可得，
∴．
∴．
②当，如图2，可得，
∴，
∴．
第二类情况，E在F的右侧时，，
①当时，如图3，
可得，
∴，
∴（舍去）．
②当时，如图3，可得，
∴．
∴．
综上，为，，时，以D，E，F为顶点的三角形与相似．
2．(1)最小值为4
(2)点A′到直线AD的距离为3
(3)
(4)8或
【分析】（1）连接BD、DA′，先由勾股定理求得BD=10，由旋转可得，BA′=BA=6，因为BA′+DA′≥BD，所以当点A′落在BD上，即B、A′、D三点共线时，DA′最小，最小值为BD-BA′；
（2）先由弧长公式求得，从而得△ABA′是等边三角形，从而求得∠DAA′=30°，过点A′作A′M⊥AD于M点，即可由直角三角形性质得A′M= AA′求解；
（3）先证△ABE∽△BFC，得，即可求出，过E作EH⊥BC于H点，则EHCD，报以△BEH∽△BFC，则，即可求出，，，即可由求解；
（4）分两种情况：当A′在BC的上方时，如图1；当A′在BC的下方时，如图2；分别求邓可．
【详解】（1）解：连接BD、DA′，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AB=6，AD=8，
∴BD=10，
由旋转可得，BA′=BA=6，
∵BA′+DA′≥BD，
∴当点A′落在BD上时，DA′最小，最小值为10-6=4，
∴DA′最小值为4；
（2）解：由题意得，，解得：，
∵AB=A′B，
∴△ABA′是等边三角形，
∴∠BAA′=60°，AB=A′B=AA′=6，
∴∠DAA′=30°，
过点A′作A′M⊥AD于M点，
∴A′M= AA′=3，
∴点A′到直线AD的距离为3
（3）解：∵BC=8，CF=4，
∴，
∵∠BAE+∠ABE=90°，∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCF=90°，
∴△ABE∽△BFC，
∴，
∴，
过E作EH⊥BC于H点，
∴EHCD，
∴△BEH∽△BFC，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（4）解：当A′C与以B为圆心，AB为半径的圆相切时，∠A′CB最大
此时∠BA′C=90°，
分两种情况：当A′在BC的上方时，如图1，
∵AB=A′B，AE⊥AA′于E，
∴∠ABF=∠A′BF，
∵BF=BF，
∴△ABF≌△A′BF，
∴∠BA′F=∠BAF=90°，
∴C、A′、F在一条直线上，
∵，
∴CF=BC=8，
如图2当A′在BC的下方时，
连接AF、A′F，则AF=A′F，
∵A′B=6，BC=8，
∴，
过A′作A′P⊥CD，垂足落在DC的延长线上，
∵∠BCA′+∠A′CP=90°，∠A′CP+∠CA′P=90°
∴∠BCA′=∠CA′P，
∵∠BA′C=∠A′PC，
∴△A′BC∽△PCA′，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
综上，CF的长为8或．
【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，两点之间，线段最短，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角函数定义，弧形长公式等级知识，熟练掌握相关性质是解题的关键，本题综合性较强，难度适中．
3．(1)
(2)
(3)面积的最大值为，最小值为
【分析】本题主要考查了旋转变换，轴对称最短问题，三角形的面积等知识，
（1）利用旋转变换的性质求解即可．
（2）如图②中，过点作于点H．解直角三角形求出，即可；
（3）如图③-1中，当点落在的延长线上时，的面积最大，如图③-2中，当点落在上时，的面积最小，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵，，
∴，
由旋转的性质可知，，，
延长交x轴于点E，则
又
∴四边形是矩形，
又，
∴四边形是正方形，
∴
∴，
，
∴；
（2）如图②中，过点作于点H．
在中，，，
∴，
∴；
（3）存在．
理由：如图③-1中，
当点落在的延长线上时，的面积最大，
由题意，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积的最大值；
如图③-2中，
当点落在上时，的面积最小，最小值为．
4．(1)见解析
(2)①；②；③．
【分析】（1）在和中，根据直角三角形全等证明全等即可．
（2）①在中，根据余弦函数求出即可， ，线段EF在平移过程扫过的面积为平行四边形．过点F作于点N，证明为等边三角形，求出的面积，线段EF旋转扫过的面积是圆心角为120°，半径为1的扇形，求出扇形面积．
②在旋转过程中形成以点D为圆心，长为半径，圆心角为120°的扇形，设交弧于点，连接，求出，再求出，即可解得．
③设当平移到时，与交于，在中，，点M与重合，点M在内部（包括边界）时的时长．
【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴．
在和中，
∵，
∴．
（2）解：①在中，
．
∵，
，
∴，
．
如图①，线段EF在平移过程扫过的面积为平行四边形．过点F作于点N．

∵，
∴，
在中，
∵，
，
∴．
∵，
，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴．
在中，
∵，
，
∴，
∴．
∴．
∵线段EF旋转扫过的面积是圆心角为120°，半径为1的扇形，
∴．
∴线段EF扫过的面积为．
②在旋转过程中形成以点D为圆心，长为半径，圆心角为120°的扇形，如图②所示

设交弧于点，连接，
∵，
，
∴
∵，
，
∴．
∴．
③点M在内部（包括边界）时的时长．
设当平移到时，与交于，
在中，，
∴，
∴点M与重合，
此时的旋转角，
∴点M在内部（包括边界）时的时长．

【点睛】此题考查了三角形全等，旋转的性质，特殊三角函数值，解题的关键是熟悉旋转的性质和作辅助线构造图形．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点作于点，于点，易求，，，根据题意，绕点A顺时针旋转到，即，，推出，在中，，通过即可求解；
（2）延长到点使得，连接、，则，延长交于点，从而构造出，，，由，得，，进而通过，，证明，得出，得以证明；
（3）由题意得，当取得最小值时，取最小值，即当时，取最小值，此时，易知点在线段上．由，得，，，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，证明，从而证明，得，得出、、、四点共圆，根据特殊点，确定点的运动轨迹是在以为直径的圆的劣弧上，设的中点为点，过点作交的延长线于点，延长交劣弧于点，当点运动到点时，点到直线的距离最大，通过证明，得出，即可求出，从而求出点到直线距离的最大值．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，于点，
则，
在中，，，
，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，
，
根据题意，绕点A顺时针旋转到，
，，
，
在中，，
，
，，
；
（2），证明如下：
如图所示，延长到点使得，连接、，则，延长交于点，
根据题意，绕点A顺时针旋转到，
，，
，，
在中，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
；
（3）绕点A顺时针旋转到，
，，
，，
，
当取得最小值时，取最小值，如图所示，当时，取最小值，连接，
此时，
点在线段上，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
在中，，
在中，，
如图所示，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，
绕点A旋转，点F的对应点为P，点E的对应点为Q，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
如图所示，点在以为直径的圆上，
当与重合时，直线与直线交于点，如图所示，
当与重合时，直线与直线交于点，如图所示，
点的运动轨迹为劣弧，
如图所示，设的中点为点，过点作交的延长线于点，连接，
延长交劣弧于点，当点运动到点时，点到直线的距离最大，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
则当取得最小值时，点T到直线距离的最大值为．
【点睛】本题是一道几何综合压轴题，考查了锐角三角函数的定义、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换、定弦定角问题、勾股定理等，灵活运用以上知识点、添加适当的辅助线是解题的关键．
6．(1)证明见解析
(2)①或；②的最小值为，的最大值为
【分析】（1）直接利用证明，即可证明；
（2）①分当点在上时，当点E在延长线上时，两种情况讨论求解即可；②先证明，则，故当最小时，最小，当最大时，最大；再证明点E在以A为圆心，半径为1的圆心上运动，则如图3-2所示，当与相切于点E时，最小，即此时最小，如图3-3所示，当与相切于点E时，最大，即此时最大，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵和是有公共顶点的等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①如图所示，当点在上时，
同理可证明，
∴，
又∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，，
∴，
在中，，
∴ ，
∴；
如图所示，当点E在延长线上时，同理可证明，
在中，，
∴；
综上所述，的长为或；
②如图3-1所示，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，当最大时，最大；
∵不管怎么旋转，的长度始终为1，
∴点E在以A为圆心，半径为1的圆心上运动，
∴如图3-2所示，当与相切于点E时，最小，即此时最小，
∴，
在中，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理；
如图3-3所示，当与相切于点E时，最大，即此时最大，
同理可得，，
∴，
在中，由勾股定理；
综上所述，的最小值为，的最大值为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，切线的性质，矩形的性质与判定等等，解（2）①的关键在于分点E在上和点E在延长线上两种情况，解（2）②的关键在于确定与相切时，有最值．
7．(1)
(2)①面积的最大值为；②的最小值为
【分析】（1）设抛物线的解析式为：，可得对称轴为直线，由锐角三角函数可求点坐标，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直线解析式，设，可得点，点，可求的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
②根据图形的对称性可知，，过点作于，可得，可得，过点作于点，则，即是的最小值，由三角形面积公式可求解．
【详解】（1）解：根据题意，可设抛物线的解析式为：，抛物线的对称轴为直线，
，即，
∴，
又∵，
，
即，
代入抛物线的解析式，得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：①设，其中，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
即直线的解析式为，
令，得：，
∴点，
把代入，得，
即，
∴，
∴的面积，
∴当时，的面积最大，且最大值为；
②如图，根据图形的对称性可知，，，
∴，
过点作于，则在中，，
∴，
过点作于点，则，
∴线段的长就是的最小值，
∵，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，三角形面积公式，锐角三角函数，二次函数的性质等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
8．(1)
(2)
【分析】（1）设，则四边形的面积，当x取最大值5时，可得求得四边形的面积最大值；
（2）作点D关于的对称点，连接，以、为边作平行四边形，过C作，交的延长线于N，依据平行四边形的性质以及线段的性质，即可发现当M，P，C在同一直线上时，的最小值等于的长，即的最小值等于的长，再根据勾股定理求得的长，即可得出四边形周长的最小值．
【详解】（1）解：设，则，
四边形的面积
，
∵x的最大值为，
∴时，四边形的面积最大，最大值；
（2）如图，作点D关于的对称点，连接，以、为边作平行四边形，交于，
则，，，
过C作，交的延长线于N，则，四边形为矩形
，，，
∴
，
，
当M，P，C在同一直线上时，的最小值等于的长，即的最小值等于的长，
此时，中，，
又∵，，
∴四边形周长的最小值为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理以及轴对称最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．（1）4，（2）图见解析，，（3）面积的最大值为平方米，线段长的最小值为米
【分析】（1）由题意得，得到，代入数据求解即可；
（2）以为边作等边，等边，作，的外接圆．则满足条件的点或在，上，当点与或点与重合时，，的面积最大，据此求解即可；
（3）先判断点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，当时，此时点到的距离最大，即边上的高最大．在延长线上截取，连接．可知点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，当，，三点共线时最短，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵等腰，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：4；
（2）如图②，以为边作等边，等边，作，的外接圆．
，
满足条件的点或在，上，
当点与或点与重合时，，的面积最大，
面积的最大值=．
面积的最大值为；
（3），
．
．
，
，
点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，
作的外接圆，连接，，，则，
要使面积最大，则点到的距离最大即可．
当时，此时点到的距离最大，即边上的高最大．
设时与交于点，则．
，，
．
．
．
．
则，
．
在延长线上截取，连接．
，，
．
，
．
．
．
由前述可知点在以为弦，且所对圆心角为的劣弧上运动，
当，，三点共线时最短，
此时，
，
．
，
，
在中，，，
，
当最小时，，
．
综上所述，面积的最大值为平方米，线段长的最小值为米．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
10．(1)1
(2)
(3)；
【分析】（1）根据定义可知，，再求解即可；
（2）当经过点D时，，当与相切时，，利用勾股定理和解直角三角形求解即可；
（3）由题易知，再根据两点距离公式代入即可求出F横坐标，的最大值为的最大值，作点E关于x轴对称点，，进而得解．
【详解】（1）解：如图，连接，

根据题意可知表示以点O为圆心，r为半径作圆，与线段有交点时，r最大值和最小值的差，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：1；
（2）解：如图，连接，过D作轴于点H，过M作于点K，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，延长交y轴于点F，过M作于点M，过C作于点N，连接、，

由前述同理可知，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴F的坐标为；
设，
∵，，
∴，，
∴，
作E关于x轴对称点，则，连接，并延长交x轴于点，
由，可设直线解析式为，
有，解得，
∴直线解析式为，
令，得，
∴此时，
，
∴最大值为，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了圆的定义、坐标图形与性质、勾股定理、解直角三角形、菱形的性质等内容，正确理解题意是解题的关键．
11．(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意设，则，，先证垂直平分，得，，得，再结合三角形内角和定理求得，进而可得，再解直角三角形即可求解；
（2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点，先证垂直平分，得，再证，得，然后证明，可得，进而可得，可知，即可证得，最后证得，可知，，由此可得；
（3）设，则，，过点作交于，交于，先证，得，再证，，得，过点作交于，则，得，过点作交于，证得，可知，进而可知，点在与点距离，且垂直于线段的直线上，当垂直于该直线时的长度取得最小值，此时，则，由翻折可知，，则，当点在上时取等号，可得的最大值为，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴设，则，，
∵，，则垂直平分，
∴，，
∴，
∴．
∵，且，
∴，
在中，，
即：，解得：，
∴，
在中，，
∵，
∴；
（2）证明：过点作交于点，交于点，过点作交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，则垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
又∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，，
∴；
（3）设，则，，
过点作交于，交于，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，则，
∴，，
∴，
过点作交于，则，
∴，
由旋转可知，，，则
∴，
过点作交于，则，
∴，
∴，
∴点在与点距离，且垂直于线段的直线上，当垂直于该直线时的长度取得最小值，此时，则，
由翻折可知，，
则，当点在上时取等号，
即：的最大值为，
∴．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定及性质，图形的翻折与旋转，添加辅助构造全等，得到动点的轨迹是解决问题的关键．
12．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行计算即可；
（2）容易判断是等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，以点为圆心，为半径作圆，由可知，点、、都在圆上，则．利用等边三角形的性质和可推出，从而得到，因此是含的直角三角形，则；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接、，容易得到，当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值．由折叠的性质可知，则点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、共线时，取得最大值，此时点与点重合．作，垂足为，作，垂足为，容易证明，，．利用勾股定理和三角函数计算出．根据折叠的性质和外角的性质可证明，使用三角函数计算出，最后使用三角形面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：猜想：，证明如下：
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
如图，将绕点逆时针旋转得到，以点为圆心，为半径作圆，
由旋转的性质可知，，，，，
∴点、都在圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
在直角中，，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接、，
由旋转的性质可知，，，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值；
如图，作，垂足为，作，垂足为，
∵由沿着所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∴当、、共线时，取得最大值，此时点与点重合，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在直角中，，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
∵与关于对称，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
在直角中，，
．
【点睛】本题考查“费马点”与隐圆，线段最值问题，利用旋转构造等边三角形和全等三角形是解题关键．
13．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据“有一个角是的等腰三角形的是等边三角形”即可得证；
（2）先根据证明，由此可得，，进而可得四边形面积，且．由于是定值，因此是弦所对的圆周角．作的外接圆，过点作于点，交于点，当 与重合时，到的距离最大，此时最大．根据三角函数求出的值，即可求出的值，即可得的最大值，进而可得四边形面积的最大值．
（3）作且，连接，构造相似三角形，且相似比为，则，因此．当B、D、F三点共线时的值最小，即的最小值为的长．过F点作垂直于的延长线于 G点，在中求出和的长．在中根据勾股定理求出的长, 即可得的最小值．
【详解】（1）证明：∵，，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形面积，
∵，，
∴，
∴．
如图所示，作的外接圆，过点作于点，交于点， 则．
当 与重合时，到的距离最大，最大，
，
，，
，
，
，
，
，
∴的最大值为，
即四边形面积的最大值为；
（3）
如图，作且，连接，
则，
∵，
，
．
又，
，
，
，
，
当B、D、F三点共线时，的值最小，
∴的最小值为的长．
过F点作垂直于的延长线于 G点，则，
，
，，
，，
，
．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、定边定角问题，以及根据三点共线求线段和的最小值．正确的作出辅助线，构造出相似三角形是解题的关键．