九年级中考数学锐角三角函数部分解答题专项练习

这是一份九年级中考数学锐角三角函数部分解答题专项练习，共7页。试卷主要包含了参考数据，问题发现，已知等内容，欢迎下载使用。

(1)求和的长(结果取整数)；
(2)养殖户计划在的边上选取一点，修建垂钓栈道，测得，求栈道的长(结果取整数)．参考数据：，，，．
2．独轮车（图1）最早出现于西汉晚年，大致结构由车把、车盘、车腿、车耳、车轮、车轴及车耳立柱等核心部件构成．因行驶时“叽咯叽咯”响个不停，俗称“鸡公车”，早年曾为农村主要的交通运输工具．如图2为抽象出的独轮车模型，为车轮的直径，C为车轮与地面的切点，过点A向地面作垂线，垂足为D．
(1)求证：；
(2)若，，求车轮的半径和的长．
3．如下图，两条互相垂直的道路m，n交于点M，道路m上有相距的A，B两个观察点，同时观察到道路n上有一辆汽车C．此时汽车C位于观察点B的北偏东方向上，位于观察点A的北偏东方向上．
(1)求C到M的距离；
(2)汽车C突然加速，后到达点D，位于观察点B的北偏东方向上．问汽车C是否超速？（限速，）
4．我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆的长．
(1)如图所示，将一个测角仪放置在距离灯杆底部米的点处，测角仪高为米，从点测得点的仰角为直接写出灯杆的高度________米（用含、、的代数式表示）
(2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图2所示，现将一高度为米的木杆放在灯杆前，测得其影长为米，沿方向直行，测得2米的木杆，其影长，求灯杆的高为多少米？
5．为传承红色精神，某校同学开展了“测量红二十五军血战独树镇战斗纪念碑”的综合实践活动．如图，在D处用测角仪测得纪念碑顶端A的仰角为，沿方向前进到达F处，又测得纪念碑顶端A的仰角为．已知测角仪的高度为，测量点D，F与纪念碑的底部B在同一水平线上．
(1)求纪念碑的高度；（结果精确到，参考数据：）
(2)查阅资料可知，该纪念碑的实际高度为（“25”代表红二十五军，“34”代表红军长征的关键年份1934年），请你计算本次测量结果的误差．
6．如图，与是具有公共顶点的两个三角形，且，，且点在的外角的平分线上，连接．
(1)【问题发现】如图1，在和中，．
填空：①线段与的数量关系是________；②的度数是________．
(2)【类比探究】
如图2，在和中，，请问（1）中的结论还成立吗？并说明理由．
(3)【拓展延伸】
在（2）的条件下，若，连接AE，请直接写出当是直角三角形时的长．
7．问题发现：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，．
(1)探究发现：分别取，的中点，，作．如图2所示，将绕点逆时针旋转，连接，．旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明；
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点时，求的长；
(3)拓展探究：如图4，，是直线上一点，以为斜边在左侧作等腰，直接写出线段的最小值．
8．已知：在中，，于点F，四边形中，，．连接交于点M，连接交于点N，D为的中点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的值
9．如图1，在 中， D，E分别是边，的中点．将 绕点A 顺时针旋转角（ 连接，．
(1)猜想 与 的数量关系，并结合图2给予证明；
(2)探究：
①当旋转角的度数为 时，则 ，
②在旋转过程中，当点B，D，E在一条直线上，且 时，直接写出的长．
10．如图，在等腰中，，点是延长线上一点，连接、．
(1)如图1，点是延长线上一点，若，，求的面积．
(2)如图2，点是上一点，取中点，取中点，连接、．若，请猜想和的数量关系并证明；
(3)如图3，在（1）的条件下，点为边上的动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．当取得最小值时，点为直线上动点，连接．将点关于直线对称得到点，连接，点为的中点．当取得最大值时，点为直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取得最小值时，直接写出的面积．
11．如图1，在等边中，点D，E分别是，边上一点（不与端点重合），且，连接，交于点P．将绕点B逆时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；
(2)的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由；
(3)如图2，连接交于点Q，已知，随着的长度发生变化，当的长度取得最小值时，则的值为_______．
12．在平行四边形中，，点为直线上一点，将沿直线翻折得到．
(1)如图1，当时，点恰好落在四边形的对角线上，连接，求证：；
(2)如图2，当，时，点恰好落在边上，连接，与交于点，求的值；
(3)如图3，当，，时，在翻折过程中，请探究，，三点能否构成直角三角形，若能，请直接写出的值，若不能，请说明理由．
13．在中，，．D为的延长线上一点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，，点E在直线上，求证：；
(2)如图2，用等式表示线段，和的数量关系，并证明．
参考答案
1．(1)，
(2)
【分析】（1）过点作于点，根据含度角、度角的直角三角形的性质即可求出答案．
（2）由（1）可知：，因为，所以，解即可求出答案．
【详解】（1）解：过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴
答：栈道的长约为．
2．(1)见解析
(2)的半径为5；
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而得到，再由等腰三角形的性质，可得，即可求证；
（2）根据锐角三角函数可得，从而得到， 再由勾股定理可得，再由平行线分线段成比例可得，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即车轮的半径为5，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
3．(1)
(2)汽车C没有超速
【分析】（1）设，解得到，解得到，再根据建立方程求解即可；
（2）根据（1）可得的长，解直角三角形求出的长，进而求出的长，再求出汽车的速度即可得到答案．
【详解】（1）解：设，
由题意得，，，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
答：C到M的距离为；
（2）解：由（1）得，
在中，，
∴，
∴，
∴汽车的速度为，
∵，
∴汽车C没有超速．
答：汽车C没有超速．
4．(1)；
(2)灯杆的高为．
【分析】（）由题意得，，，，，由解直角三角形可得，再通过线段的和与差即可求解；
（）由题意，得，由解直角三角形可得，，则，然后求出即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意，得，
在和中，，，
∴在和中，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：灯杆的高为．
5．(1)纪念碑的高度为
(2)本次测量结果的误差为
【分析】（1）延长与交于点M，由题可知：四边形和四边形是矩形，，，则可得到，．设，解直角三角形得到，，据此建立方程求解即可；
（2）用（1）计算的结果减去该纪念碑的实际高度即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，延长与交于点M，
由题可知：四边形和四边形是矩形，，，
，．
设，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得．
经检验，是该分式方程的解．
，
答：纪念碑的高度为．
（2）解：
答：本次测量结果的误差为．
6．(1)①；②
(2)不成立，理由见详解
(3)或
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，特殊角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，特殊角的锐角三角函数等知识点．
（1）①根据等边三角形的判定和性质证明，继而得到．
②根据等边三角形的性质和角平分线的定义得到，继而得到，根据，得到．
（2）通过证明，得到对应边成比例，进而证明，得到对应边成比例、对应角相等，进而得到，．
（3）证明不可能是直角，根据和，分两种情况讨论，根据（2）中的结论，得到的长为或．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴；
②∵平分，，
∴，
∴，
由①可知，，
∴；
（2）解：（1）中的结论不完全成立，理由如下，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（1）中的结论不成立，正确的结论是；
（3）解：由（2）知为直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵是直角三角形，且，
∴不可能是直角，分两种情况讨论，
如图，当时，
在中，，
由（2）知，
∴；
如图，当时，
在中，，
∴，
∴当是直角三角形时，的长为或．
7．(1)，证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，解直角三角形得出，结合，的中点分别为，，得出，为的中位线，从而可得，，求出，得到，证明出，从而可得，由相似三角形的性质计算即可得出结果；
（2）由题意可得，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质得出，，由勾股定理计算出的长，即可得出结果；
（3）连接、，由题意可得，解直角三角形得出，由等腰直角三角形的性质可得，，证明得出，作于点，由垂线段最短可得，当点运动到点时，此时的长最短，由直角三角形的性质求出的长的最小值为，即可得出结果．
【详解】（1）解：，证明如下：
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，的中点分别为，，
∴，为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解： ∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵所在直线首次经过点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接、，
，
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
作于点，
由垂线段最短可得，当点运动到点时，此时的长最短，
∵，
∴的长的最小值为，
∴的长的最小值为．
【点睛】两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；旋转前、后图形的大小、形状没有改变．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先判断，然后根据三线合一的性质并结合已知可得出，则可证明四边形 是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得证；
（2）根据勾股定理求出，取中点G，连接，则， 根据三角形中位线定理得出，，则，然后在中，根据正切的定义求解即可.
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴ 四边形 是平行四边形．
又，
∴ 四边形是矩形；
（2）解：∵ ，，
∴ ，
在中，，
取中点G，连接，
则，
∵ 是中点，
∴，，
∴，
.
9．(1)；理由见解析
(2)①或②的长为或
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的求解以及根据三角函数值求角，解题的关键是熟练应用相关基础知识进行求解．
（1）根据题意可得，，，从而得到，即可求证；
（2）①分两种情况，根据旋转的性质以及平行线的性质求解即可；②分两种情况，根据旋转的性质以及勾股定理表示出，，，再根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
∵为的中点，
∴，同理可得，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴，
∴；
（2）解：①如图1，
当 时， ，
又∵，
∴，
由（1）可得，，即，则，即；
如图2，同理可得，此时；
故答案为：或；
②如图3，由（1）可得，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理可得，，，
设，则，
由勾股定理可得，，
解得（负值舍去），即，
∴；
如图4，
同理，，设，则，
由勾股定理可得，，
解得，即，
的长为或．
10．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明，求出，，过点作延长线于点，利用，得出，，利用，得出，利用，求出，即可求解；
（2）连接，延长至点，使，连接，通过证明，证明，再证明是等边三角形，结合点是的中点，得出，过点作，交延长线于点，证明，得出，，再证明，得出，即可证明；
（3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，通过证明，求证，得出点在过的中点，且垂直于的直线上运动，则当时，取得最小值时，此时在的位置，连接，并取的中点，连接，得出，则点在以点为圆心，为半径的圆上，当、、依次共线时，取得最大值，此时将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，通过证明，证明，则点在过点，且垂直于的直线上运动，则当垂直于直线时，取得最小值，此时点与点重合，此时，过点作延长线于点，再进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
过点作延长线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：，理由如下：
连接，延长至点，使，连接，
由（1）得，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
过点作，交延长线于点，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
即，
∴点在过的中点，且垂直于的直线上运动，
∴当时，取得最小值时，
∵，即取得最小值时，在的位置，
∴，
此时，∵将点关于直线对称得到点，
∴，
连接，并取的中点，连接，
∵点为的中点，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∴当、、依次共线时，取得最大值，此时如下图，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，设直线为直线，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴点在过点，且垂直于的直线上运动，
∴当垂直于直线时，取得最小值，
此时点与点重合，
此时如图，过点作延长线于点，
设与交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．(1)见解析
(2)不变，
(3)
【分析】（1）根据等边三角形及旋转的性质可证明，得出，则，即可证明；
（2）证明，得出，证明，得出，即可得；
（3）如图1，将，分别绕点A顺时针旋转得到，，连接，，则，，，得出，是等边三角形，证出，，即可得，如图2，当且仅当N，M，P，C四点共线时取得最小值，连接，证明四边形为菱形，求出．如图3，过点F作交的延长线于点G，证明，求出，即可解答．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
由旋转的性质可得，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：的大小不变．
为等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图1，将，分别绕点A顺时针旋转得到，，连接，，，
，，，
，是等边三角形，
，，
，
．
如图2，当且仅当N，M，P，C四点共线时取得最小值，连接，
则是等边三角形，
．
是等边三角形，
，
，
四边形为菱形，
，，
∵，
，
垂直平分，
，
，
．
由（1）得，，，
∴，，
如图3，过点F作交的延长线于点G，
，
，，
∴．
，，
，
，即，
解得，
．
12．(1)见解析
(2)
(3)能，或或或
【分析】（1）记与的交点为点，根据折叠的性质进而得出点，在的垂直平分线上，证明，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）过点F作交于点M，根据题意设，则，勾股定理求得，证明，进而得出，证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）①当，点在上方时，延长交于点，过点作于点，②当，点在下方时，交于点，过点作延长线于点，③当，点在上方时，延长交的延长线于点，过点作于点，④当，点在下方时，交的延长线于点，过点作直线于点，解，即可求解；⑤不存在的情况．
【详解】（1）证明：记与的交点为点，
翻折得到，
，，，
∴点，在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：过点F作交于点M，
在平行四边形中，，
∴四边形是矩形，
，
，
∴设，则，
由勾股定理得：，
，
由翻折得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当，点在上方时，
如图，延长交于点，过点作于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
②当，点在下方时，
如图，交于点，过点作延长线于点，
，
，
，，
，，
，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
③当，点在上方时，
如图，延长交的延长线于点，过点作于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，，
设，
则，，，
，
解得，
；
④当，点在下方时，
如图，交的延长线于点，过点作直线于点，
，
，
，，，
，，
由翻折，得，
，
，
，，
设，
则，，，
，
解得，
；
⑤不存在的情况；
综上所述，或或或．
13．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）先说明，由旋转的定义可得，易得，进而得到，即；再说明，，利用含30度直角三角形的性质求解即可；
（2）利用三角形外角的性质可得，如图2：将绕点A顺时针旋转得到，则，，进而得到、，再利用勾股定理以及解直角三角形求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，即．
（2）解：，证明如下：
∵在中，，，
∴，
如图2：将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2：连接，过A作于G，
在中， ，，
在中， ，
∴，
∴，即．