中考数学二轮复习：三角形练习题（含答案）

这是一份中考数学二轮复习：三角形练习题（含答案），共7页。

A．∠EDBB．∠BEDC．12∠AFBD．2∠ABF
2．如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9B．6C．4D．3
9．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．1：4
10．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝（ ）
A．25B．31C．32D．40
二．填空题（共5小题）
11．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．
12．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 ．
13．如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是 ．
14．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝ 度．
15．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
①∠BOC=90°+12∠A；②∠D=12∠A；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．
三．解答题（共5小题）
16．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD=3AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
19．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
20．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
2026年中考数学二轮复习：三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EDBB．∠BEDC．12∠AFBD．2∠ABF
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DEB中，
AC=BDAB=EDBC=BE，
∴△ABC≌△DEB （SSS），
∴∠ACB＝∠DBE．
∵∠AFB是△BFC的外角，
∴∠ACB+∠DBE＝∠AFB，
∠ACB=12∠AFB，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
2．如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．
【答案】C
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF=12BC=12×8＝4．
故选：C．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
3．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【考点】勾股定理；因式分解的应用．
【答案】D
【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．
【解答】解：由a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，得
a4+b2c2﹣a2c2﹣b4
＝（a4﹣b4）+（b2c2﹣a2c2）
＝（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）
＝（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）
＝（a+b）（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∵a+b＞0，
∴a﹣b＝0或a2+b2﹣c2＝0，
即a＝b或a2+b2＝c2，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
4．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）
A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2
C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【答案】B
【分析】根据四边形的内角和为360°及翻折的性质，就可求出2∠A＝∠1+∠2这一始终保持不变的性质．
【解答】解：2∠A＝∠1+∠2，
理由：∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′＝360°，
则2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1＝360°，
∴可得2∠A＝∠1+∠2．
故选：B．
【点评】本题主要考查四边形的内角和及翻折的性质特点，解决本题的关键是熟记翻折的性质．
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF，其中正确的结论共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质三线合一得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△BDF，得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠CBF，
∴∠C＝∠ABC，
∴AB＝AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确，
在△CDE和△BDF中，
∠C=∠CBFCD=BD∠EDC=∠BDF，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确；
∵AE＝2BF，
∴AC＝3BF，故④正确．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．
6．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形．
【答案】C
【分析】根据已知条件证得△ABP≌△EBP，根据全等三角形的性质得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC=12S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPPB=PB∠APB=∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC=12S△ABC=12×9cm2＝4.5cm2，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
7．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】分类讨论．
【答案】C
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．
8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）
A．9B．6C．4D．3
【考点】勾股定理的证明．
【答案】D
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，
∴4×12ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
9．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）
A．1：2B．1：3C．2：3D．1：4
【考点】全等三角形的性质．
【答案】D
【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果．
【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10
设∠A＝3x°，则∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x°
3x+5x+10x＝180
解得x＝10
则∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°
∴∠BCN＝180°﹣100°＝80°
又△MNC≌△ABC
∴∠ACB＝∠MCN＝100°
∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20°
∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握．
10．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝（ ）
A．25B．31C．32D．40
【考点】勾股定理．
【答案】B
【分析】如图，分别求出AB2、AC2，进而得到BC2，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得：
AB2＝S1+S2＝13，
AC2＝S3+S4＝18，
∴BC2＝AB2+AC2＝31，
∴S＝BC2＝31，
故选：B．
【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握勾股定理等几何知识点．
二．填空题（共5小题）
11．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 （3，4）或（2，4）或（8，4） ．
【考点】勾股定理；坐标与图形性质；等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论．
【答案】（3，4）或（2，4）或（8，4）
【分析】题中没有指明△ODP的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P的坐标．
【解答】解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP＝PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP=OP2−OC2=52−42=3，则P的坐标是（3，4）．
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM=PD2−DM2=3，
当P在M的左边时，CP＝5﹣3＝2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP＝5+3＝8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．
12．在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝8，AC＝10，点D、E在AB、AC边上，且AD＝CE，则CD+BE的最小值 261 ．
【考点】勾股定理；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】三角形．
【答案】261
【分析】如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．首先证明EK＝CD，可得CD+BE＝EK+EB≥BK，推出CD+BE的最小值为BK的长；
【解答】解：如图作CK∥AB，使得CK＝CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G．
∵CK∥AB，
∴∠KCE＝∠A，
∵CK＝CA，CE＝AD，
∴△CKE≌△CAD，
∴CD＝KE，
∵CD+BE＝EK+EB≥BK，
∴CD+BE的最小值为BK的长，
在Rt△BCG中，∵∠G＝90°，BC＝8，
∴CG=12BC＝4，BG＝43，
在Rt△KBG中，BK=GK2+BG2=142+(43)2=261．
故答案为261．
【点评】本题考查两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
13．如图，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分别平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，则∠C的度数是 70° ．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】70°
【分析】设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，构建方程组解决问题即可．
【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，
∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，
∴∠B＝∠CAO，设∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y，∠P＝z，则∠B＝2y，
则有2x+2y=180°x+y=z+12xx+z+2y=165°，
解得x=70°y=20°z=55°，
∴∠C＝70°，
故答案为70°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
14．如图所示的方格中，∠1+∠2+∠3＝ 135 度．
【考点】全等图形．
【专题】图表型．
【答案】135
【分析】标注字母，然后根据网格结构可得∠1与∠3所在的三角形全等，然后根据全等三角形对应角相等可以推出∠1+∠3＝90°，再根据∠2所在的三角形是等腰直角三角形可得∠2＝45°，然后进行计算即可得解．
【解答】解：如图，根据网格结构可知，
在△ABC与△ADE中，AB=DEBC=ADAC=AE，
∴△ABC≌△EDA（SSS），
∴∠1＝∠DAE，
∴∠1+∠3＝∠DAE+∠3＝90°，
又∵AD＝DF，AD⊥DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案为：135．
【点评】本题主要考查了全等图形，根据网格结构的特点找出全等三角形以及等腰直角三角形是解题的关键．
15．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
①∠BOC=90°+12∠A；②∠D=12∠A；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和定理可求解∠BOC＝90°+12∠A，即可判定①；由角平分线的定义可得∠DCF=12∠ACF，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠BCN＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判定④．
【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，
∴∠ABD＝∠OBC=12∠ABC，∠OCB＝∠ACO=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°−12×（180°﹣∠A）＝90°+12∠A，故①正确，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF=12∠ACF，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，
∴∠D=12∠A，故②正确；
∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°，
∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，
∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE，
∴∠EBC+∠BCE＝90°+12∠A，
∵∠E+∠EBC++BCE＝180°，
∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°−12∠A，故③错误；
∵∠DCF＝∠DBC+∠D，
∴∠E+∠DCF＝90°−12∠A+∠DBC+12∠A＝90°+∠DBC，
∵∠ABD＝∠DBC，
∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确，
综上正确的有：①②④．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB＝60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=3AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“∠B＝∠D”，如图2，可证AB+AD=3AC；（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】证明题；压轴题；开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）如果：“∠B＝∠D”，根据∠B与∠D互补，那么∠B＝∠D＝90°，又因为∠DAC＝∠BAC＝30°，因此我们可在直角三角形ADC和ABC中得出AD＝AB=32AC，那么AD+AB=3AC．
（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件．根据AAS可证两三角形全等，DF＝BE．然后按照（1）的解法进行计算即可．
【解答】证明：（1）∵∠B与∠D互补，∠B＝∠D，
∴∠B＝∠D＝90°，
∠CAD＝∠CAB=12∠DAB＝30°，
∵在△ADC中，cs30°=ADAC，
在△ABC中，cs30°=ABAC，
∴AB=32AC，AD=32AC．
∴AB+AD=3AC．
（2）由（1）知，AE+AF=3AC，
∵AC为角平分线，CF⊥AD，CE⊥AB，
∴CE＝CF．
而∠ABC与∠D互补，
∠ABC与∠CBE也互补，
∴∠D＝∠CBE．
∵在Rt△CDF与Rt△CBE中，
∠CEB=∠CFD∠D=∠CBECE=CF
∴Rt△CDF≌Rt△CBE．
∴DF＝BE．
∴AB+AD＝AB+（AF+FD）＝（AB+BE）+AF＝AE+AF=3AC．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；
（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．
【解答】解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB＝DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝40°，
∴∠ABD＝∠A＝40°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝6，
∴AB＝2AE＝12，
∵△CBD的周长为20，
∴AC+BC＝20，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝12+20＝32．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，相对比较简单，属于基础题．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值；
（3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，△BCP为等腰三角形．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（3）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC＝4cm，根据题意得：AP＝2t，当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，得到PC＝BC，即4﹣2t＝3，求得t=12，当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，若CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，如图2，过P作PE⊥BC于E，求得t=194，若PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，解得t＝5，③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2＝BF•AB，列方程32=2t−3−42×5，即可得到结论．
【解答】解：（1）设存在点P，使得PA＝PB，
此时PA＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，
即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，
解得：t=2516，
∴当t=2516时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，
即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，
解得：t=83，
当t＝6时，点P与A重合，也符合条件，
∴当t=83或6时，P在△ABC的角平分线上；
（3）在Rt△ABC中，∵AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4cm，
根据题意得：AP＝2t，
当P在AC上时，△BCP为等腰三角形，
∴PC＝BC，即4﹣2t＝3，
∴t=12，
当P在AB上时，△BCP为等腰三角形，
①CP＝PB，点P在BC的垂直平分线上，
如图2，过P作PE⊥BC于E，
∴BE=12BC=32，
∴PB=12AB，即2t﹣3﹣4=52，解得：t=194，
②PB＝BC，即2t﹣3﹣4＝3，
解得：t＝5，
③PC＝BC，如图3，过C作CF⊥AB于F，
∴BF=12BP，
∵∠ACB＝90°，
由射影定理得；BC2＝BF•AB，
即32=2t−3−42×5，
解得：t=5310，
∴当t=12，5，5310或194时，△BCP为等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．
19．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．
（1）求证：AE＝BD；
（2）求证：MN∥AB．
【考点】等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，故可得出∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，根据SAS定理可知△ACE≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）中△ACE≌△DCB，可知∠CAM＝∠CDN，再根据∠ACD＝∠ECB＝60°，A、C、B三点共线可得出∠DCN＝60°，由全等三角形的判定定理可知，△ACM≌△DCN，故MC＝NC，再根据∠MCN＝60°可知△MCN为等边三角形，故∠NMC＝∠DCN＝60°故可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，
∵∠DCA＝∠ECB＝60°，
∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，
在△ACE与△DCB中，
∵AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE＝BD；
（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，
∴∠CAM＝∠CDN，
∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，
∴∠DCN＝60°，
在△ACM与△DCN中，
∵∠MAC=∠NDCAC=DC∠ACM=∠DCN=60°，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴MC＝NC，
∵∠MCN＝60°，
∴△MCN为等边三角形，
∴∠NMC＝∠DCN＝60°，
∴∠NMC＝∠DCA，
∴MN∥AB．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据题意判断出△ACE≌△DCB，△ACM≌△DCN是解答此题的关键．
20．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】几何综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB＝90°，可得出∠ACD＝∠BCD＝45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE＝CG，
（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，再根据AC＝BC，∠ACM＝∠CBE＝45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE＝CM．
【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，
∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°，
又∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∠CAE=∠BCGAC=BC∠ACE=∠CBG
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE＝CG，
（2）解：BE＝CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，
∴∠CMA＝∠BEC，
又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中，∠BEC=∠CMA∠ACM=∠CBEBC=AC，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE＝CM．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．