中考数学二轮复习：三角形练习题（含答案） (1)

这是一份中考数学二轮复习：三角形练习题（含答案） (1)，共33页。试卷主要包含了下列两个三角形全等的是，下列说法错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．△ABC是等边三角形，△ABF，△BCD，△ACE是三个全等的三角形，△DEF是围成的小等边三角形．已知，AE＝1，ED＝2，则BC的长是（ ）
A．13B．14C．15D．4
2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形ABCD的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ）
A．ADB．BCC．ABD．CD
3．如图，在△ABC中，分别以△ABC的顶点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点E；再分别以△ABC的顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线PQ，交BC边于点F，连接AE，AF．若AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6cm，则△AEF的面积是（ ）
A．3B．2C．3D．23
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，则CD的长为（ ）
A．3B．83C．103D．4
5．如图，已知两个三角形全等，则∠α的度数为（ ）
A．21°B．23°C．24°D．25°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，0°＜∠B＜60°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，若CE＝AD，则（ ）
A．∠B＝∠BDEB．3∠B＝2∠BDE
C．∠B+2∠BDE＝90°D．3∠B+2∠BDE＝180°
7．下列两个三角形全等的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（ ）
A．AB＝ACB．2AB＝ACC．2AB＝BCD．2AC＝BC
9．如图，BM是△ABC的中线，CD⊥BM，过点B作AB的垂线交DC延长线于点E，若AB＝BE，MD＝1，则CE的长是（ ）
A．3B．2.5C．22D．2
10．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分
B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．三角形的三条角平分线一定交于三角形的重心
二．填空题（共5小题）
11．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为40cm．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达顶点B，那么所用细线最短需要 厘米．
12．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 尺．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．若BE＝9，CE＝3，则DE＝ ，则S△AEF＝ ．
14．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“3”，以点B为圆心，以AB为边的正方形的对角线为半径作弧交数轴于点C．点C在刻度尺上对应的数为 ．
15．如图，在一个长方形草坪ABCD上，嵌入一根长方体的木条，已知AD＝6米，AB＝5米，该木条的较长的棱长与AD平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是 米．
三．解答题（共5小题）
16．综合与实践
【阅读材料】
图1是某品牌人字梯收缩后的实物图，图2是五层人字梯完全伸长后的实物图．若同种规格的人字梯每层踏板的厚度CD相等，第二层踏板及下端不可伸长（固定距离AB），从第三层踏板开始都可伸长，完全伸长后，层距（两相邻踏板间距BC）为35cm．请根据表格数据解决实际问题．
（1）求固定距离AB和踏板厚度CD；
（2）图3是五层梯完全伸长后展开的实物图，此时，梯子的高度160cm，两脚展开的宽度EF＝96cm，求顶层宽度GH．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为CA延长线上一点，且DE⊙BC于点E，交AB于点F，G是DF的中点，连结AG．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AB＝10，BE＝3，F是AB中点，求DF的长．
18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC边上一动点，△ADE为等腰直角三角形．
（1）如图1，AH⊥BC，点D为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝8，则：HD的长度是 ；AE的长度是 ；
（2）如图2，点D在线段BC上，DE与AB交于点F，连接BE，求证：AB=BE+2BD；
（3）如图3，点D在线段CB延长线上，连接EB，使得EB∥AC，延长BA至点P，连接CP，使得∠ACP＝∠EAB，请探究AC、AP、DB之间的数量关系，并说明理由．
19．【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，过点D作DE⊥AB．若BC＝8，BD＝5，则BE的长为 ；
（2）如图2，点A（﹣3，0），B（0，4），P（2，0），M，N两点分别在线段AB和y轴上，求PN+MN的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某大型工厂生产区域内，有一个直角三角形场地ABO，在BO，BC处分别设有两条生产流水线．某员工需要从点O出发到达流水线BC上的任意一点F，取一零件当场加工后，放回到流水线BO上任意一点E，其中∠AOB＝90°，OA＝80米，OB＝60米，∠OBC＝∠ABC．为了便于确定点E，F的位置，以O为原点，OB所在的直线为y轴，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点A的坐标为（80，0），点B的坐标为（0，﹣60）．为节约时间，要求员工行走路程（OF+EF）最短，请你根据以上信息，求出符合要求的点E的具体位置（坐标）．
20．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是斜边BC的中点，连接AD．点E在△ABD内，连接BE、DE，过点C作CF∥BE交ED的延长线于点F，连接AF交CD于G．
（1）求证：△EBD≌△FCD；
（2）若∠DAF＝∠EBD．①求证：∠AFC＝90°；②若AF＝12，CF＝5，求线段AD的长．
2026年中考数学二轮复习：三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图是小晨在学习了“赵爽弦图”的相关知识后，构造的“类赵爽弦图”．△ABC是等边三角形，△ABF，△BCD，△ACE是三个全等的三角形，△DEF是围成的小等边三角形．已知，AE＝1，ED＝2，则BC的长是（ ）
A．13B．14C．15D．4
【考点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】过点C作CH⊥BD，交BD的延长线于点H，根据全等三角形的性质得CD＝BF＝AE＝1，DF＝ED＝2，则BD＝3，根据等边三角形性质得∠CDH＝∠EDF＝60°，在Rt△CDH中，根据∠DCH＝30°得DH=12，CH=32√3/2，进而得BH=72，然后在Rt△BCH中，由勾股定理即可求出BC的长．
【解答】解：过点C作CH⊥BD，交BD的延长线于点H，如图所示：
∴∠H＝90°，
∴△CDH和△BCH都是直角三角形，
根据全等三角形的性质得：CD＝BF＝AE＝1，DF＝ED＝2，
∴BD＝BF+DF＝3，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠CDH＝∠EDF＝60°，
在Rt△CDH中，∠DCH＝90°﹣∠CDH＝30°，
∴DH=12CD=12，
由勾股定理得：CH=CD2−DH2=12−(12)2=32，
∴BH＝BD+DH=3+12=72，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：BC=BH2+CH2=(72)2+(32)2=13．
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解全等三角形的性质，等边三角形的性质，灵活利用含有30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键．
2．如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形ABCD的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ）
A．ADB．BCC．ABD．CD
【考点】勾股定理；无理数．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理得出AB，CD，进而利用无理数判断即可．
【解答】解：由图可知，AD＝3，BC＝7，由勾股定理可得：AB=32+42=5，CD=12+42=17，
∴长度为无理数的边是CD，
故选：D．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出AB，CD解答．
3．如图，在△ABC中，分别以△ABC的顶点A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点E；再分别以△ABC的顶点A，C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线PQ，交BC边于点F，连接AE，AF．若AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝6cm，则△AEF的面积是（ ）
A．3B．2C．3D．23
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出三角形AEF是等边三角形，再结合BC的长度进行计算即可．
【解答】解：由题知，
∵MN和PQ分别垂直平分AB和AC，
∴BE＝AE，FA＝FC，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠CAF，
∴∠AEF＝2∠B，∠AFE＝2∠C．
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴三角形AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF．
∵BC＝6cm，
∴EF＝2cm，
∴△AEF的面积是：12×2×3=3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本图形及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，则CD的长为（ ）
A．3B．83C．103D．4
【考点】勾股定理；角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥BC于E，利用角平分线的性质得出AD＝DE，AB＝BE，进而利用勾股定理得出方程解答即可．
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝DE，AB＝BE＝8，
∴CE＝BC﹣BE＝10﹣8＝2，
∵Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，BC＝10，
∴AC=BC2−AB2=102−82=6，
设CD为x，则AD＝6﹣x，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得，CD2＝DE2+CE2，
即 x2＝（6﹣x）2+22，
解得：x=83，
即CD=83，
故选：B．
【点评】此题考查勾股定理，关键是利用勾股定理得出方程解答．
5．如图，已知两个三角形全等，则∠α的度数为（ ）
A．21°B．23°C．24°D．25°
【考点】全等三角形的性质．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的性质并结合图形解答即可．
【解答】解：如图：
∵图中的两个三角形全等，
∴两个三角形的对应角相等，
∴∠ABC＝∠DCE，
∵∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠BCA＝73°，
∴∠DCE＝73°，
∴∠α＝180°﹣∠ACB﹣∠DCE﹣27°＝21°．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解此题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，0°＜∠B＜60°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，若CE＝AD，则（ ）
A．∠B＝∠BDEB．3∠B＝2∠BDE
C．∠B+2∠BDE＝90°D．3∠B+2∠BDE＝180°
【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】如图，连接CD，首先直角三角形斜边中线定理，得CD＝AD＝BD，进而得到CE＝CD，△CDE是等腰三角形，∠CDE＝∠CED．设∠B＝x，则∠A＝90°﹣x，进而推导出∠ACD＝∠A＝90°﹣x，∠BCD＝90°﹣（90°﹣x）＝x．在△CDE中，∠CDE=180°−∠BCD2=180°−x2，得到∠CDB＝180°﹣2x°，∠BDE＝∠CDB﹣∠CDE＝（180°﹣2x）−180°−x2，整理即可得解．
【解答】解：如图，连接CD，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB中点，
根据直角三角形斜边中线定理，得：CD＝AD＝BD，
∵CE＝AD，
∴CE＝CD，即△CDE是等腰三角形，∠CDE＝∠CED．
设∠B＝x，则∠A＝90°﹣x．
∵CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝90°﹣x，∠BCD＝90°﹣（90°﹣x）＝x．
在△CDE中，∠CDE=180°−∠BCD2=180°−x2，
又∵CD＝BD，
∴∠CDB＝180°﹣2x，
∴∠BDE＝∠CDB﹣∠CDE＝（180°﹣2x）−180°−x2，
化简得：∠BDE=90°−3x2，
整理得：3x＝2（90°﹣∠BDE），
∴3∠B+2∠BDE＝180°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线定理，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．
7．下列两个三角形全等的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；几何直观．
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法进行解答．
【解答】解：通过观察，50°角的两条夹边对应相等的只有①和②，其他的不符合全等条件，
z在△ABC和△FGE中，
∵AB=FG∠A=∠FAC=EF，
∴△ABC≌△FGE（SAS），
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的判定方法，判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL，掌握几种判定方法是关键．
8．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足4（S1+S2）＝S3，则下列说法正确的是（ ）
A．AB＝ACB．2AB＝ACC．2AB＝BCD．2AC＝BC
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，再求出S1+S2＝S△ABC=12AB•AC，然后证明（AB﹣AC）2＝0，得出AB＝AC即可得出结论．
【解答】解：由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，
∴S1+S2=12π（12AB）2+12π（12AC）2−12π（12BC）2+S△ABC=18π（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC=12AB•AC，
∵4（S1+S2）＝S3，
∴4×12AB•AC＝BC2＝AB2+AC2，
即2AB•AC＝AB2+AC2，
∴（AB﹣AC）2＝0，
∴AB＝AC，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，求出S1+S2＝S△ABC是解题的关键．
9．如图，BM是△ABC的中线，CD⊥BM，过点B作AB的垂线交DC延长线于点E，若AB＝BE，MD＝1，则CE的长是（ ）
A．3B．2.5C．22D．2
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】过点A作AH⊥BM，交BM的延长线于点H，证明∠ABH＝∠E，进而依据“AAS”判定△ABH和△EBD全等得BH＝ED，AH＝BD，再证明△AMH和△AMD全等得MH＝MD＝1，AH＝CD，则DH＝2，AH＝CD＝BD，进而得BH＝CD+2，然后根据ED＝CE+CD，BH＝ED即可得出CE的长．
【解答】解：过点A作AH⊥BM，交BM的延长线于点H，如图所示：
∴∠H＝90°，
∵CD⊥BM，EB⊥AB，
∴∠CDM＝∠EDB＝90°，∠ABE＝90°，
∴∠H＝∠EDB＝∠CDM＝90°，
在Rt△EBD中，∠E+∠EBD＝90°，
又∵∠ABE＝∠ABH+∠EBD＝90°，
∴∠ABH＝∠E，
在△ABH和△EBD中，
∠H=∠EDB=90°∠ABH=∠EAB=BE，
∴△ABH≌△EBD（AAS），
∴BH＝ED，AH＝BD，
∵BM是△ABC的中线，
∴AM＝CM，
在△AMH和△AMD中，
∠H=∠CDM=90°∠AMH=∠CMDAM=CM，
∴△AMH≌△AMD（AAS），
∴MH＝MD，AH＝CD，
∴DH＝MH+MD＝2MD，AH＝CD＝BD，
∵MD＝1，
∴DH＝2MD＝2，
∴BH＝BD+DH＝CD+2，
又∵ED＝CE+CD，BH＝ED，
∴CD+2＝CE+CD，
∴CE＝2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的中线，全等三角形的判定和性质，理解三角形的中线，正确地添加辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分
B．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
C．三个角都相等的三角形是等边三角形
D．三角形的三条角平分线一定交于三角形的重心
【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形的中线、等腰三角形、等边三角形的判定以及三角形的重心的概念．需要判断每个选项的正确性．
【解答】解：根据三角形的中线、等腰三角形、等边三角形的判定以及三角形的重心的概念逐项分析判断如下：
A、三角形的一条中线将三角形分成两个等底同高的三角形，
∴两个三角形的面积相等，故A选项正确，不符合题意；
B、等腰三角形有一个角为60°，则其余两个角也均为60°，
∴三角形的三边相等，是等边三角形，故B选项正确，不符合题意；
C、三个角都相等的三角形，每个角为60°，根据等角对等边可知三边相等，
∴这个三角形是等边三角形，故C选项正确，不符合题意；
D、∵重心是三条中线的交点，
∴三角形的角平分线不一定交于重心，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形的基本性质，包括中线、等腰三角形、等边三角形的判定以及三角形的重心的概念．熟练掌握以上知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为40cm．如果用一根细线从顶点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达顶点B，那么所用细线最短需要 50 厘米．
【考点】平面展开﹣最短路径问题；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】50．
【分析】沿AB展开，则最短距离为AB，然后由勾股定理可得答案．
【解答】解：根据题意可得，
若从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长3×（3+2+3+2）＝30（cm），
最短长度=302+402=50（cm），
故答案为：50．
【点评】本题侧重考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
12．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是 4 尺．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】设水池的深度为h尺，利用勾股定理，列出关于h的方程求解．
【解答】解：设水池的深度为h尺，
则h2+32＝（h+1）2，
h2+9＝h2+1+2h，
解得：h＝4，
度答案为：4．
【点评】本题考查了解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E是BC边上两点，且∠DAE＝45°，过点A作AF⊥AD，垂足是A，过点C作CF⊥BC，垂足是C，CF交AF于点F，连接EF．若BE＝9，CE＝3，则DE＝ 5 ，则S△AEF＝ 15 ．
【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】5，15．
【分析】由题意可得BC＝12，由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，证明△BAD≌△CAF（ASA），得出AD＝AF，BD＝CF，证明△DAE≌△FAE（SAS），得出DE＝EF，S△AEF＝S△ADE，设DE＝x，则EF＝x，CF＝BD＝BE﹣DE＝9﹣x，由勾股定理可计算得出DE＝5，作AG⊥BC交BC于G，则AG=12BC=6，再由三角形面积公式计算即可得出结果．
【解答】解：∵BE＝9，CE＝3，
∴BC＝BE+CE＝9+3＝12，
∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵CF⊥BC，
∴∠BCF＝90°，
∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝45°，
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，
∵AF⊥AD，
∴∠DAF＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAF，
∴△BAD≌△CAF（ASA），
∴AD＝AF，BD＝CF，
∵∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠DAF﹣∠DAE＝45°，
∴∠EAF＝∠DAE，
在△DAE和△FAE中，
DA=FA∠DAE=∠FAEAE=AE，
∴△DAE≌△FAE（SAS），
∴DE＝EF，S△AEF＝S△ADE，
设DE＝x，则EF＝x，CF＝BD＝BE﹣DE＝9﹣x，
由勾股定理可得CE2+CF2＝EF2，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE＝5，
如图，作AG⊥BC交BC于G，
则AG=12BC=6，
∵S△ADE=12DE⋅AG=12×5×6=15，
∴S△AEF＝15，
故答案为：5，15．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
14．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点A对应刻度尺上的“2”，数轴上的点B对应刻度尺上“3”，以点B为圆心，以AB为边的正方形的对角线为半径作弧交数轴于点C．点C在刻度尺上对应的数为 3+2 ．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】3+2．
【分析】先求出正方形的边长AB＝1cm，再由勾股定理得出正方形的对角线长为2cm，即可得出答案．
【解答】解：正方形的边长AB＝3﹣2＝1（cm），
由勾股定理得：正方形的对角线长为12+12=2（cm），
∴点C在刻度尺上对应的数为：3+2，
故答案为：3+2．
【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键，
15．如图，在一个长方形草坪ABCD上，嵌入一根长方体的木条，已知AD＝6米，AB＝5米，该木条的较长的棱长与AD平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是 85 米．
【考点】平面展开﹣最短路径问题；列代数式．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】85．
【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【解答】解：由题意可知，将木条展开，相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为5+2×1＝7米；宽为6米，
于是最短路径为：72+62=85（米），
故答案为：85．
【点评】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短，掌握其相关知识点是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．综合与实践
【阅读材料】
图1是某品牌人字梯收缩后的实物图，图2是五层人字梯完全伸长后的实物图．若同种规格的人字梯每层踏板的厚度CD相等，第二层踏板及下端不可伸长（固定距离AB），从第三层踏板开始都可伸长，完全伸长后，层距（两相邻踏板间距BC）为35cm．请根据表格数据解决实际问题．
（1）求固定距离AB和踏板厚度CD；
（2）图3是五层梯完全伸长后展开的实物图，此时，梯子的高度160cm，两脚展开的宽度EF＝96cm，求顶层宽度GH．
【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；图形的全等；运算能力．
【答案】（1）固定距离AB为44cm，踏板厚度CD为5cm；
（2）顶层宽度GH为24cm．
【分析】（1）设固定距离AB＝x，踏板的厚度CD＝y，根据表格得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出x、y的值，即可得答案；
（2）根据题意得出GE＝HF，GH∥EF，过点G作GN⊥EF于N，过点H作HM⊥EF于M，利用HL证明△GEN≌△HFM，得出EN＝FM，设GH＝MN＝mcm，利用勾股定理列方程，根据平方根的定义求出x的值即可得答案．
【解答】解：（1）设固定距离AB＝x，踏板的厚度CD＝y，
由表格可列二元一次方程组得：x+4y=64x+5y=69，
解得：x=44y=5，
答：固定距离AB为44cm，踏板厚度CD为5cm．
（2）如图所示，由题意可知GE＝HF，GH∥EF，过点G作GN⊥EF于N，过点H作HM⊥EF于M，
∴GN＝HM，GH＝MN，
在△GEN和△HFM中，
GE=HFGN=HM，
∴△GEN≌△HFM（HL），
∴EN＝FM（全等三角形对应边相等），
设GH＝MN＝mcm，
∵五层梯伸长后展开的梯子的高度HM＝160cm，两脚展开的宽度EF＝96cm，
∴MF=96−m2，HF＝44+3×（35+5）＝164cm，
∵HF2＝HM2+MF2，
∴根据题意列方程得，1642=1602+(96−m2)2，
解得：m＝24或m＝168（不符合题意，舍去），
∴顶层宽度GH为24cm．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、全等三角形的应用，熟练掌握相关知识点是解题关键．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为CA延长线上一点，且DE⊙BC于点E，交AB于点F，G是DF的中点，连结AG．
（1）求证：△ADF是等腰三角形；
（2）若AB＝10，BE＝3，F是AB中点，求DF的长．
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠FEB＝90°，
∴△DEC和△FEB都是直角三角形，
在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在Rt△DEC中，∠D+∠C＝90°，
在Rt△FEB中，∠BEF+∠B＝90°，
∴∠D＝∠BEF，
又∵∠BEF＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）8．
【分析】（1）根据DE⊥BC得∠DEC＝∠FEB＝90°，根据AB＝AC得∠B＝∠C，再根据∠D+∠C＝90°，∠BEF+∠B＝90°，∠BEF＝∠AFD得∠D＝∠AFD，进而得AD＝AF，由此可得出结论；
（2）先求出AF＝BF＝5，在Rt△FEB中，由勾股定理求出FE＝4，根据等腰三角形性质得AG⊥DF，DF＝2FG，∠FGA＝∠FEB＝90°，由此依据“AAS”判定△FGA和△FEB全等得FG＝FE＝4，据此可得DF的长．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠FEB＝90°，
∴△DEC和△FEB都是直角三角形，
在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在Rt△DEC中，∠D+∠C＝90°，
在Rt△FEB中，∠BEF+∠B＝90°，
∴∠D＝∠BEF，
又∵∠BEF＝∠AFD，
∴∠D＝∠AFD，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵AB＝10，F是AB中点，
∴AF＝BF=12AB＝5，
在Rt△FEB中，BE＝3，
由勾股定理得：FE=BF2−BE2=52−32=4，
∵△ADF是等腰三角形，点G是底边DF的中点，
∴AG⊥DF，DF＝2FG，
∴∠FGA＝∠FEB＝90°，
在△FGA和△FEB中，
∠FGA=∠FEB=90°∠AFG=∠BFEAF=BF，
∴△FGA≌△FEB（AAS），
∴FG＝FE＝4，
∴DF＝2FG＝8．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
18．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC边上一动点，△ADE为等腰直角三角形．
（1）如图1，AH⊥BC，点D为CH中点，AE与BC交于点G，若AB＝8，则：HD的长度是 42 ；AE的长度是 45 ；
（2）如图2，点D在线段BC上，DE与AB交于点F，连接BE，求证：AB=BE+2BD；
（3）如图3，点D在线段CB延长线上，连接EB，使得EB∥AC，延长BA至点P，连接CP，使得∠ACP＝∠EAB，请探究AC、AP、DB之间的数量关系，并说明理由．
【考点】三角形综合题．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）42，45；
（2）证明：过点D作DG⊥BC，如图，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴BG=2BD，BD＝DG，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠GDB＝90°，DE＝DA，
∴∠BDE＝∠GDA，
∴△BED≌△DGA（SAS），
∴BE＝AG，
∵AB＝AG+BG，
∴AB＝BE+2BD；
（3）AP=2BD+AC．理由如下，
过点A，点E分别作AN⊥BC，EM⊥BC交BC于点N，点M，如图，
∴∠DME＝∠AND＝90°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝DA，∠ADE＝90°，
∴∠MDE+∠ADN＝90°＝∠MDE+∠MED，
∴∠ADN＝∠DEM，
∴△AND≌△DME（AAS），
∴EM＝DN，
∵△ABC是等腰直角三角形，AN⊥BC，
∴∠ACB＝45°，BN＝CN=22AC，
∵EB∥AC，
∴∠EBM＝45°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BE=2EM=2DN=2（BD+BN）=2BD+2•22AC=2BD+AC，
∵∠ABE＝∠CAP＝90°，AB＝AC，∠ACP＝∠EAB，
∴△ABE≌△CAP（ASA），
∴AP＝BE=2BD+AC．
【分析】（1）由等腰三角形的性质求出AH，进而求出AD，即可求出AE；
（2）过点D作DG⊥BC，得出△BDG是等腰直角三角形，BG=2BD，再证明△BED≌△DGA即可得证；
（3）过点A，点E分别作AN⊥BC，EM⊥BC交BC于点N，点M，先证明△AND≌△DME，得出EM＝DN＝BD+BN＝BD+2AC，再证明△ABE≌△CAP，得出AP＝BE=2EM即可解答．
【解答】（1）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴BC＝82，
∵AH⊥BC，
∴AH＝BH＝CH=12BC＝42，
∵D是中点，
∴HD＝22，
∴AD=(42)2+(22)2=210，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴AE＝210×2=45，
故答案为：42，45；
（2）证明：过点D作DG⊥BC，如图，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABD＝45°，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴BG=2BD，BD＝DG，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠GDB＝90°，DE＝DA，
∴∠BDE＝∠GDA，
∴△BED≌△DGA（SAS），
∴BE＝AG，
∵AB＝AG+BG，
∴AB＝BE+2BD；
（3）AP=2BD+AC．理由如下，
过点A，点E分别作AN⊥BC，EM⊥BC交BC于点N，点M，如图，
∴∠DME＝∠AND＝90°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝DA，∠ADE＝90°，
∴∠MDE+∠ADN＝90°＝∠MDE+∠MED，
∴∠ADN＝∠DEM，
∴△AND≌△DME（AAS），
∴EM＝DN，
∵△ABC是等腰直角三角形，AN⊥BC，
∴∠ACB＝45°，BN＝CN=22AC，
∵EB∥AC，
∴∠EBM＝45°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BE=2EM=2DN=2（BD+BN）=2BD+2•22AC=2BD+AC，
∵∠ABE＝∠CAP＝90°，AB＝AC，∠ACP＝∠EAB，
∴△ABE≌△CAP（ASA），
∴AP＝BE=2BD+AC．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．
19．【问题提出】
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，过点D作DE⊥AB．若BC＝8，BD＝5，则BE的长为 4 ；
（2）如图2，点A（﹣3，0），B（0，4），P（2，0），M，N两点分别在线段AB和y轴上，求PN+MN的最小值；
【问题解决】
（3）如图3，某大型工厂生产区域内，有一个直角三角形场地ABO，在BO，BC处分别设有两条生产流水线．某员工需要从点O出发到达流水线BC上的任意一点F，取一零件当场加工后，放回到流水线BO上任意一点E，其中∠AOB＝90°，OA＝80米，OB＝60米，∠OBC＝∠ABC．为了便于确定点E，F的位置，以O为原点，OB所在的直线为y轴，OA所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点A的坐标为（80，0），点B的坐标为（0，﹣60）．为节约时间，要求员工行走路程（OF+EF）最短，请你根据以上信息，求出符合要求的点E的具体位置（坐标）．
【考点】三角形综合题．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）4；
（2）4；
（3）点E（0，﹣24）．
【分析】（1）由角平分线的性质可得CD＝ED＝3，再由勾股定理即可求解；
（2）当P，M，N三点共线，且PM⊥AB时，PN+MN由最小值为PM，证明△AOB≌△AMP得出PM＝BO＝4；
（3）过点O作OD⊥AB，此时OF+EF＝OF+FD＝OD最小，过点F作EF⊥OB，利用等面积求出OF，进而求出OE即可解答．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB．
∴DC＝DE＝3，
在Rt△BDE中，BE=52−32=4，
故答案为：4；
（2）当P，M，N三点共线，且PM⊥AB时，PN+MN由最小值，如图，
∵点A（﹣3，0），B（0，4），P（2，0），
∴AB＝5，AP＝5，
∴AB＝AP，
∵∠BAO＝∠PAM，∠AOB＝∠AMP＝90°，
∴△AOB≌△AMP（AAS），
∴PM＝BO＝4，
∴PN+MN的最小值为：4；
（3）过点O作OD⊥AB，此时OF+EF有最小值，过点F作EF⊥OB，如图，
∵∠OBC＝∠ABC．
∴EF＝FD，
∵OA＝80米，OB＝60米，
∴AB=802+602=100米，
∴12×60×80=12×100×OD，
∴OD＝48米，
∴BD=602−482=36米，
∵∠BEF＝∠BDF＝90°，EF＝DF，BF＝BF，
∴Rt△BEF≌Rt△BDF（HL），
∴BE＝BD＝36米，
∴OE＝60﹣36＝24米，
∴点E（0，﹣24）．
【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，将军饮马模型，坐标与图形，确定最小值是解题关键．
20．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是斜边BC的中点，连接AD．点E在△ABD内，连接BE、DE，过点C作CF∥BE交ED的延长线于点F，连接AF交CD于G．
（1）求证：△EBD≌△FCD；
（2）若∠DAF＝∠EBD．①求证：∠AFC＝90°；②若AF＝12，CF＝5，求线段AD的长．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）∵CF∥BE，
∴∠EBD＝∠FCD，
∵点D是斜边BC的中点，
∴BD＝DC，
在△EBD与△FCD中，
∠EBD=∠FCDBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△EBD≌△FCD（ASA）；
（2）①由（1）可知△EBD≌△FCD，
∴∠EBD＝∠FCD，
∵∠DAF＝∠EBD，
∴∠DAF＝∠FCD，
∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAF+∠AGD＝90°，
∵∠AGD＝∠CGF，∠DAF＝∠FCD，
∴∠CGF+∠FCD＝90°，
∴∠AFC＝180°﹣90°＝90°；
②1322．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠EBD＝∠FCD，利用ASA证明△EBD≌△FCD即可；
（2）①根据三角形内角和定理得出∠AFC＝90°即可；
②根据勾股定理得出AC，进而利用等腰直角三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：∵CF∥BE，
∴∠EBD＝∠FCD，
∵点D是斜边BC的中点，
∴BD＝DC，
在△EBD与△FCD中，
∠EBD=∠FCDBD=CD∠BDE=∠CDF，
∴△EBD≌△FCD（ASA）；
（2）解：①由（1）可知△EBD≌△FCD，
∴∠EBD＝∠FCD，
∵∠DAF＝∠EBD，
∴∠DAF＝∠FCD，
∵△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAF+∠AGD＝90°，
∵∠AGD＝∠CGF，∠DAF＝∠FCD，
∴∠CGF+∠FCD＝90°，
∴∠AFC＝180°﹣90°＝90°；
②∵∠AFC＝90°，AF＝12，CF＝5，
∴AC=AF2+CF2=122+52=13，
∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴AD=12BC=12×2AC=1322．
【点评】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，关键是利用ASA证明△EBD≌△FCD解答．名称
总层数
可伸长层数
收缩后的长度
六层梯
6
4
64cm
七层梯
7
5
69cm
名称
总层数
可伸长层数
收缩后的长度
六层梯
6
4
64cm
七层梯
7
5
69cm