中考数学二轮复习：四边形练习题（含答案）

这是一份中考数学二轮复习：四边形练习题（含答案），共7页。

A．4sinαcm2B．4sinαcm2C．4tanαcm2D．4tanαcm2
2．如图，在正方形ABCD中，点E是BC中点，点G是CD上一点，连接EG、AG，满足∠EAG＝45°．点F是EG中点，点H是AG中点，连接EH、AF，EH与AF相交于点I．则EIAI+HI的值为（ ）
A．145−512B．2145−1124
C．145−612D．2145−924
3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，连接CP．若正方形的边长为1，则线段CP的最小值为（ ）
A．52−1B．22C．5−12D．54
4．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F是BC上一点，连接CE、AE、FE、AF，取AF中点G，连接EG，当∠ECF＝∠EFC时，若EG=210，BF＝4，则正方形的边长为（ ）
A．12B．8C．83D．65
5．如图，在正方形ABCD中，△CDE是等边三角形，CG⊥DE于点F，交BE延长线于G．若CD＝1，则△EGC的面积为（ ）
A．38+14B．38+18C．36D．3+28
6．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，点P在BC上，则DP+AP的最小值为（ ）
A．4455B．35C．43D．21
7．如图，Rt△BCE中，∠BCE＝90°，设BC＝a，CE＝b，分别以BC、CE为边向外作正方形，面积分别是S1和S2，若S1+S2＝40，BG＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．24
8．如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并延长，交BC于点F，若CF＝3，则AB的长为（ ）
A．8B．9C．12D．63
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（ ）
A．512B．2.5C．125D．154
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠ABC的平分线交AD于点F，E为BF的中点，若BC＝a，CD＝b，a＞b，则EO的长可以表示为（ ）
A．a﹣bB．12a−12bC．b−12aD．a−12b
二．填空题（共5小题）
11．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，F是直线BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30度角的直角三角形，连接AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值 ．
12．如图，矩形纸片ABCD中，点E在线段AD的延长线上，连接BE，交线段CD于点M，点F是线段BE的中点，过点F作GH⊥BE，分别交AD、BC于点G和点H．给出以下结论：①连接BG、HE，则四边形BGEH是菱形；②若AE＝3DE，则CM＝2DM；③连接HE，交CD于点Q，则S△DEM＝S△EMQ；④当AD＝2AB，点H与点C重合时，∠AEB＝15°．上述结论中正确的有 ．（填序号）
13．长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，E是CD边的中点，P从A出发沿A→B→C→E运动，速度为2cm/秒，设点P的运动时间为t秒，当三角形APE的面积＝18时，时间t的值＝ ．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）．且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
有如下几个结论：
①△AED≌△DFB；②∠BGE的大小为定值；③GC平分∠BGD；④S四边形BCDG=32CG2．
以上结论中，正确结论的序号是 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，点D为BC中点，E为直线AC上一动点，以DE为边向下作正方形DEFG，当CF＝2时，则C、E两点间的距离为 ．
三．解答题（共5小题）
16．问题探究
（1）如图1，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠APB最大时，点P的坐标为 ．
问题解决
（2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形ABCD为水鸟园的建设用地，其中AB＝24m，BC＝78m，CD＝100m，∠B＝90°，tanC=43．根据修建要求，四边形ABCD内部为水鸟戏水区，A为游客观测点，在CD边上要修建一段长为48m的水岸MN（M在上，N在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C？如果存在，求出此时CN的长；如果不存在，请说明理由．
17．如图，在长方形ABCD，AB＝8cm，BE＝10cm，点E是边AD上的一点，AE，DE分别长为a厘米和b厘米，且满足（a﹣6）2+|2a﹣b﹣6|＝0．动点P从B点出发，以每秒2cm的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为t秒．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）EP把四边形BCDE的周长平分，求t的值？
（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动. 时，三角形EPQ的面积等于12cm2．
18．综合与探究
问题情境：已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是射线AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转α得到△B'CD'，点B，D的对应点分别为B'，D'．
初步探究：（1）如图1，点D在AB边上，点A恰好在D′B′的延长线上，试判断四边形ABCB'的形状，并说明理由；
深入探究：（2）如图2，点D在AB边上，当点B'落在AC边上时，D'B'的延长线恰好经过点D，求∠B′CD的度数；
拓展延伸：（3）在△BCD绕点C顺时针旋转的过程中，当D，B′，D'三点共线时，若BC＝3，∠DCD'＝60°，请直接写出AD的长．
19．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝60°，∠D＝95°，∠B≠∠D．求∠B的度数．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交BC于点E，证明：四边形ACED是“等对角四边形”．
（3）如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝60°，∠B＝90°，AB＝5，AD＝4，请你直接写出对角线AC的长．
20．定义：有一组对边平行，并且有两条邻边相等的四边形叫作平等四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝90°，对角线DB平分∠ADC，∠C＝2∠ABD，求证：四边形ABCD是平等四边形；
（2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个正方形的顶点叫格点，点E、F均在格点上，若点G、H都在格点上，且四边形EFGH为平等四边形，请直接写出所有满足要求的线段FG的长．
2026年中考数学二轮复习：四边形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，两条宽度均为2cm的矩形长纸条，相交成角α，则重叠部分的面积为（ ）
A．4sinαcm2B．4sinαcm2C．4tanαcm2D．4tanαcm2
【考点】矩形的性质；解直角三角形；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由题意易得四边形ABCD是平行四边形，AE＝2cm，∠ABC＝α＝∠ADC，然后根据三角函数可得DC=AD=2sinαcm，进而问题可求解．
【解答】解：如图，过点A作AE⊥CD于点E，
由题意得：AD∥BC，AB∥CD，
∴AE＝2cm，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝α，
∴AD=AEsin∠ADE=2sinα(cm)，
同理可得CD=2sinαcm，
∴S重叠=S▱ABCD=CD⋅AE=4sinαcm2．
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
2．如图，在正方形ABCD中，点E是BC中点，点G是CD上一点，连接EG、AG，满足∠EAG＝45°．点F是EG中点，点H是AG中点，连接EH、AF，EH与AF相交于点I．则EIAI+HI的值为（ ）
A．145−512B．2145−1124
C．145−612D．2145−924
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】A
【分析】连接FH，延长CD，截取DM＝BE，连接AM，取GM的中点N，连接AN，取AD的中点K，连接KH，EK，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，则DM＝BE＝EC＝a，证明△ABE≌△ADM，得出AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，证明△EAG≌△MAG，得出EG＝GM，设DG＝x，则EG＝GM＝GD+DM＝x+a，CG＝2a﹣x，根据勾股定理得出a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，求出x=23a，根据勾股定理求出AF=AN=1456a，根据中位线的性质得出KH=12DG=13a，证明E、H、K三点在同一直线上，求出EH=53a，证明△IFH∽△IAE，得出FIAI=HIEI=FHAE=12，求出AI=1459a，EI=109a，HI=59a，最后求出结果即可．
【解答】解：连接FH，延长CD，截取DM＝BE，连接AM，取GM的中点N，连接AN，取AD的中点K，连接KH，EK，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠BAD，BC∥AD，
∵E为BC的中点，
∴BE=EC=12BC，
设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，则DM＝BE＝EC＝a，
∵∠ADM＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴∠ADM＝∠ABE，
在△ABE和△ADM中，
AB=AD∠ADM=∠ABEBE=DM，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，
∴∠EAD+∠DAM＝∠EAD+∠BAE＝90°，
∵∠EAG＝45°，
∴∠GAM＝90°﹣∠EAG＝45°，
∴∠GAM＝∠EAG，
在△EAG和△MAG中，
AG=AG∠GAM=∠EAGAE=AM，
∴△EAG≌△MAG（SAS），
∴EG＝GM，
设DG＝x，则EG＝GM＝GD+DM＝x+a，CG＝2a﹣x，
在Rt△CEG中，根据勾股定理得：CE2+CG2＝EG2，
∴a2+（2a﹣x）2＝（x+a）2，
解得：x=23a，
∴EG=GM=a+23=53a，
∵F为EG的中点，N为GM的中点，△EAG≌△MAG，
∴MN=GN=56a，AF＝AN，
∴DN=GN−DG=16a，
在Rt△ADN中，根据勾股定理得：AF=AN=AD2+DN2=1456a，
∵K为AD的中点，
∴KD=12AD=a，
∴KD＝EC＝a，
∵KD∥EC，
∴四边形EKDC为平行四边形，
∴EK＝CD＝2a，EK∥CD，
∵H为AG的中点，K为AD的中点，
∴KH=12DG=13a，EK∥CD，
∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
∴E、H、K三点在同一直线上，
∴EH=EK−HK=2a−13=53a，
∵F为EG的中点，H为AG的中点，
∴FH∥AE，FH=12AE，
∴△IFH∽△IAE，
∴FIAI=HIEI=FHAE=12，
∴AI=23AF=23×1456a=1459a，
EI=23EH=23×53a=109a，HI=13EH=13×53a=59a，
∴EIAI+HI=109a1459a+59a=10145+5=145−512．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，关键是相关定理的熟练掌握．
3．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是DC、AD边上的动点，且AE⊥BF，垂足为P，连接CP．若正方形的边长为1，则线段CP的最小值为（ ）
A．52−1B．22C．5−12D．54
【考点】正方形的性质；圆周角定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】首先根据∠APB得到点P的轨迹，从而得到CP最小时点P的位置，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，正方形ABCD的边长为1，AE⊥BF，垂足为P，则点P的轨迹为以AB为直径的半圆上，连接AC、BD，交于点P′，此时，CP的值最小，
∴BC＝AB＝1，∠ABC＝90°，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=2，
∴CP′=12AC=22，
当C、P、A三点共线时，CP最小，
∴CP的最小值为：CP′=22，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
4．如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，点F是BC上一点，连接CE、AE、FE、AF，取AF中点G，连接EG，当∠ECF＝∠EFC时，若EG=210，BF＝4，则正方形的边长为（ ）
A．12B．8C．83D．65
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】A
【分析】过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过F作FH⊥BD于H，根据正方形的性质可得∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD＝AD，根据矩形的判定和性质可得EM＝CN，EN＝MC，根据等角对等边可得EC＝EF，设MC＝x，AG＝y，则CF＝2x，BM＝x+4，AB＝BC＝2x+4，根据全等三角形的判定和性质可得AE＝EC＝EF，根据等腰三角形的判定可得△EAF为等腰三角形，△BEM为等腰直角三角形，根据勾股定理推得y2＝x2+4x+8①，y2＝2x2+8x﹣24②，联立方程求得x＝4，求得AB＝12．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过F作FH⊥BD于H，如图：
则∠EMC＝∠ENC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD＝45°，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EMCN为矩形，
∴EM＝CN，EN＝MC，
∵∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF，
又EM⊥BC，
∴MC＝MF，
设MC＝x，AG＝y，
∴MF＝MC＝x，
∴CF＝MC+MF＝2x，BM＝BF+MF＝x+4，AB＝BC＝BF+CF＝2x+4，
在△ADE和△CDE中，
AD=CD∠ADE=∠CDE=45°DE=DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC＝EF，
即△EAF为等腰三角形，
又EG⊥AF，
∴AG＝GF＝y，则AF＝AG+GF＝2y，
在Rt△ABF中，AF＝2y，AB＝2x+4，BF＝4，
则AF2＝AB2+BF2，
即：（2y）2＝（2x+4）2+42，
整理得：y2＝x2+4x+8①，
∵∠CBD＝45°，EM⊥BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴EM＝BM＝4+x，
在Rt△EMF中，EM＝4+x，MF＝x，
由勾股定理得：EF2＝EM2+MF2＝（4+x）2+x2＝2x2+8x+16，
在Rt△EGF中，EG=210，GF＝y，
由勾股定理得：EF2＝EG2+GF2＝40+y2，
∴40+y2＝2x2+8x+16，
整理得：y2＝2x2+8x﹣24②，
由①②得：2x2+8x﹣24＝x2+4x+8，
整理得：x2+4x﹣32＝0，
解得：x＝4，或x＝﹣8（不合题意，舍去），
∴AB＝2x+4＝12．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法，理解正方形的性质和矩形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程进行计算是解答此题的关键．
5．如图，在正方形ABCD中，△CDE是等边三角形，CG⊥DE于点F，交BE延长线于G．若CD＝1，则△EGC的面积为（ ）
A．38+14B．38+18C．36D．3+28
【考点】正方形的性质；三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】连接GD，根据正方形和等边三角形性质得CE＝CD＝DE＝1，∠ECD＝∠CED＝60°，根据CG⊥DE得DF＝EF=12，CB＝CE＝CD＝1，进而得CF=32，CG是线段DE的垂直平分线，则GE＝GD，再证明∠GDE＝∠GED＝45°得△GED是等腰直角三角形，继而得GF＝EF＝DF=12，由此得CG=12+32，然后根据三角形的面积公式即可得出△EGC的面积．
【解答】解：连接GD，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，且CD＝1
∴∠BCD＝90°，CB＝CD＝1，
∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD＝DE＝1，∠ECD＝∠CED＝60°，
∵CG⊥DE于点F，
∴DF＝EF=12DE=12，CB＝CE＝CD＝1，
在Rt△CDF中，由勾股定理得：CF=CD2−DF2=12−(12)2=32，
∵CG⊥DE于点F，DF＝EF=12，
∴CG是线段DE的垂直平分线，
∴GE＝GD，
在△CBE中，CB＝CE＝1，∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝30°，
∴∠CEB＝∠CBE=12（180°﹣∠BCE）＝75°，
∴∠GED＝180°﹣（∠CEB+∠CED）＝180°﹣（75°+60°）＝45°，
在△GED中，GE＝GD，
∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠EGD＝180°﹣（∠GDE+∠GED）＝90°，
∴△GED是等腰直角三角形，
∵CG⊥DE于点F，
∴GF＝EF＝DF=12DE=12，
∴CG＝GF+CF=12+32，
∴S△EGC=12×CG×EF=12×(12+32)×12=38+18．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
6．如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，点P在BC上，则DP+AP的最小值为（ ）
A．4455B．35C．43D．21
【考点】菱形的性质；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】作点D关于直线BC的对称点D'，连接AD'交CB的延长线于点Q，连接D'P，连接DD'交CB于点E，当点P与点Q重合时，DP+AP的值最小．
【解答】解：作点D关于直线BC的对称点D'，连接AD'交CB的延长线于点Q，连接D'P，连接DD'交CB于点E，
则DP＝D'P，DD′⊥CB，DE＝D'E，
∴DP+AP＝D'P+AP≥AD'，
∴当点P与点Q重合时，DP+AP的值最小，
∵四边形ABCD为菱形，A（2，0），B（0，1），
∴C（﹣2，0），D（0，﹣1），
∴AC＝4，BD＝2，
∴CB=AD=5，
∵S菱形ABCD=12AC⋅BD=CB⋅DE，
∴12×4×2=5DE，
解得DE=455，
∴DD′=855，
∴AD′=AD2+DD′2=4455，
故选：A．
【点评】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、轴对称—最短路线问题等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
7．如图，Rt△BCE中，∠BCE＝90°，设BC＝a，CE＝b，分别以BC、CE为边向外作正方形，面积分别是S1和S2，若S1+S2＝40，BG＝8，则阴影部分的面积为（ ）
A．6B．8C．12D．24
【考点】正方形的性质；三角形的面积．
【专题】三角形；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】由正方形的性质得S1＝a2，S2＝b2，CE＝CG＝b，则a+b＝BG＝8，a2+b2＝40，再求出ab＝12，即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，BC＝a，CE＝b，
∴S1＝a2，S2＝b2，CE＝CG＝b，
∵BG＝8，
∴a+b＝BG＝8，
∵S1+S2＝40，
∴a2+b2＝40，
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，
∴2ab＝64﹣40＝24，
∴ab＝12，
∵∠BCE＝90°，
∴阴影部分的面积=12ab=12×12＝6，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
8．如图，四边形ABCD是正方形，以点A为圆心，AB为半径画弧，交以CD为直径的半圆于点E，连接AE并延长，交BC于点F，若CF＝3，则AB的长为（ ）
A．8B．9C．12D．63
【考点】正方形的性质；切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】取CD的中点O，连接AO、EO，由三角形全等易得∠OEA＝90°，即AE是半圆O的切线，则EF＝CF＝3；设AB＝a，在Rt△ABF中利用勾股定理建立方程即可求解．
【解答】解：如图，取CD的中点O，连接AO、EO，
则OD＝OE＝OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC，∠ADO＝∠BCD＝90°，
在△ADO和△AEO中，
AO=AODO=EOAD=AE=AB，
∴△ADO≌△AEO（SSS），
∴∠OEA＝∠ADO＝90°，
即AE是半圆O的切线，
∵∠BCD＝90°，
∴CF是半圆O的切线，
∴EF＝CF＝3；
设AB＝a，则BF＝BC﹣CF＝a﹣3，
∵AE＝AB＝a，
∴AF＝AE+EF＝a+3，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：a2+（a﹣3）2＝（a+3）2，
解得：a1＝12，a2＝0（不合题意，舍去），
即AB的长为12，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值为（ ）
A．512B．2.5C．125D．154
【考点】矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OP，勾股定理求出BD的长，等积法求出PE+PF的值即可．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
∴BD=32+42=5，S△AOD=14S矩形ABCD=14×3×4=3，
∴OA=OD=12BD=52，
连接OP，
∵过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，
∴S△AOD=12OA⋅PE+12OD⋅PF=12×52(PE+PF)=3，
∴PE+PF=125；
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积．熟练掌握矩形的性质，利用等积法求线段的长，是解题的关键．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∠ABC的平分线交AD于点F，E为BF的中点，若BC＝a，CD＝b，a＞b，则EO的长可以表示为（ ）
A．a﹣bB．12a−12bC．b−12aD．a−12b
【考点】平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定；三角形中位线定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行四边形性质得AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，AD∥BC，OB＝OD，由此得∠AFB＝∠CBF，再根据∠ABC的平分线交AD于点F得∠CBF＝∠ABF，进而得∠AFB＝∠ABF，则AF＝AB＝b，继而得DF＝a﹣b，证明EO是△BDF的中位线得EO=12DF，据此即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，且BC＝a，CD＝b，
∴AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，AD∥BC，OB＝OD，
∴∠AFB＝∠CBF，
∵∠ABC的平分线交AD于点F，
∴∠CBF＝∠ABF，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AF＝AB＝b，
∴DF＝AD﹣AF＝a﹣b，
∵E为BF的中点，OB＝OD，
∴EO是△BDF的中位线，
∴EO=12DF=12a−12b，
∴EO的长可以表示为12a−12b．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理，理解平行四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理是解决问题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，F是直线BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30度角的直角三角形，连接AG．当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值 23 ．
【考点】菱形的性质；解直角三角形；四点共圆；垂线段最短．
【专题】矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】23．
【分析】如图，过点E作EM⊥BC于点M，过点M作MH⊥AB于点M．解直角三角形求出HM，再证明MG∥AB，根据垂线段最短求出最小值即可．
【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于点M，过点M作MH⊥AB于点H．
在Rt△EBM中，∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°，
∴BM=12BE＝4，
在Rt△BMH中，MH＝BM•sin60°＝23，
∵∠EMF＝∠EGF＝90°，
∴∠EMF+∠EGF＝180°，
∴E，M，F，G四点共圆，
∴∠EMG＝∠EFG＝30°．
∴∠BEM＝∠EMG＝30°，
∴GM∥AB，
∴当EG⊥GM时，EG的值最小，此时EG的最小值＝HM＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查菱形的性质，解直角三角形，四点共圆，垂线段最短，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
12．如图，矩形纸片ABCD中，点E在线段AD的延长线上，连接BE，交线段CD于点M，点F是线段BE的中点，过点F作GH⊥BE，分别交AD、BC于点G和点H．给出以下结论：①连接BG、HE，则四边形BGEH是菱形；②若AE＝3DE，则CM＝2DM；③连接HE，交CD于点Q，则S△DEM＝S△EMQ；④当AD＝2AB，点H与点C重合时，∠AEB＝15°．上述结论中正确的有 ①②④ ．（填序号）
【考点】矩形的性质；三角形的面积；菱形的判定与性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】①②④．
【分析】先说明GH是BE的垂直平分线可得BG＝EG，BH＝EH，再根据矩形的性质说明△EFG≌△BFH，即可得出EG＝BG＝BH＝EH，然后根据“四边相等的四边形是菱形”解答①；先证明△EDM∽△BCM，可得DEBC=DMCM，再根据AE＝3DE，可得AD＝BC＝2DE，即可判断②；接下来根据不确定DM，MQ之间是否相等判断③；先根据菱形的性质得出AB=12BG，再根据特殊角的三角函数得出∠AGB＝30°，然后根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质判断④即可．
【解答】解：如图，
∵点F是BE的中点，且GH⊥BE，
∴BF＝EF，GH是BE的垂直平分线，∠EFG＝∠BFH＝90°，
∴BG＝EG，BH＝EH．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EGF＝∠BHF，
在△EFG和△BFH中，
∠EGF=∠BHF∠EFG=∠BFHEF=BF，
∴△EFG≌△BFH（AAS），
∴EG＝BH（全等三角形的对应边相等），
∴EG＝BG＝BH＝EH，
∴四边形BGEH是菱形，则①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠E＝∠CBM．
∵∠EMD＝∠BMC
∴△EDM∽△BCM，
∴DEBC=DMCM（相似三角形的对应边成比例）．
∵AE＝3DE，
∴AD＝BC＝2DE，即DEBC=DMCM=12，
∴CM＝2DM，则②正确；
∵S△DEM=12DE⋅DM，S△EMQ=12MQ⋅DE，
不确定DM，MQ之间是否相等，
∴S△DEM，S△EMQ不一定相等，则③不正确；
由上述可知BGEH是菱形，
∴BC＝BG＝AD＝EG，
∴AB=12BG．
在Rt△ABG中，sin∠AGB=ABBG=12，
∴∠AGB＝30°．
∵∠AGB是△BEG的外角，且BG＝EG，
∴∠EBG=∠BEG=12∠AGB=15°，
即∠AEB＝15°，则④正确．
∴正确的有①②④．
【点评】本题考查矩形和菱形，掌握矩形和菱形的判定和性质是解题的关键．
13．长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，E是CD边的中点，P从A出发沿A→B→C→E运动，速度为2cm/秒，设点P的运动时间为t秒，当三角形APE的面积＝18时，时间t的值＝ 3或5.5 ．
【考点】矩形的性质；三角形的面积．
【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】3或5.5．
【分析】分情况讨论：当点P在AB上，即0＜t≤4或当点P在BC上，即4＜t≤7或当点P在CE上，即7＜t≤9时，根据三角形的面积，列方程求解即可．
【解答】解：由于AB＝8cm，BC＝6cm，E是CD边的中点，
∴点P运动到B点的时间为：8÷2＝4（秒），
点P运动到C点的时间为：（8+6）÷2＝7（秒），
点P运动到E点的时间为：（8+6+4）÷2＝9（秒），
①当点P在AB上，即0＜t≤4时，AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝6cm，
则S△APE=12×2t×6=18，
解得t＝3；
②当点P在BC上，即4＜t≤7时，
由于E是CD边的中点，
则DE＝CE＝4，BP＝2t﹣8，PC＝6﹣（2t﹣8）＝14﹣2t，
∴S△APE=8×6−12×6×4−12×4×(14−2t)−12×8×(2t−8)=−4t+40，
解得t＝5.5；
③当点P在CE上，即7＜t≤9时，PE＝18﹣2t，
则S△APE=12×(18−2t)×6=18，
解得t＝6＜7（不符合题意，舍去）；
综上，当三角形APE的面积＝18时，时间t的值为3或5.5，
故答案为：3或5.5．
【点评】本题考查长方形的性质、一元一次方程的应用、三角形面积，根据题意列出方程是解题的关键．
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合）．且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．
有如下几个结论：
①△AED≌△DFB；②∠BGE的大小为定值；③GC平分∠BGD；④S四边形BCDG=32CG2．
以上结论中，正确结论的序号是 ①②③ ．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】①②③．
【分析】先证明△ABD是等边三角形，利用SAS可判断；利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断②；过C作CM⊥BG于M，CN⊥ED交ED延长线于N，则∠CNG＝∠CMG＝90°，根据四边形的内角和360°可推导出∠BCD＝∠A＝60°，然后证△DCN≌△BCM（AAS）和Rt△CNG≌Rt△CMG（HL）得到∠CGN＝∠CGM，可判定③；利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求得GN=12CG，CN=CG2−GN2=32CG，利用全等三角形的性质可得S△DCN＝S△BCM，进而得S四边形BCDG＝S四边形MCNG＝2S△CNG，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，AB＝BD，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠BCD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD＝BD，∠A＝∠ADB＝60°，
在△AED和△DFB中，
AD=DB∠A=∠FDBAE=DF，
∴△AED≌△DFB（SAS），
故结论①正确；
∴∠ADE＝∠DBF，
∴∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠ADE＝∠ADB＝60°，
即∠BGE的大小为定值，
故结论②正确；
过C作CM⊥BG于M，CN⊥ED交ED延长线于N，则∠CNG＝∠CMG＝∠CMB＝90°，
∵∠BGN＝180°﹣∠BGE＝120°，
∴∠MCN＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
又∵∠BCD＝∠A＝60°，
∴∠DCN＝∠BCM＝60°﹣∠MCD，
在△DCN和△BCM中，
∠DCN=∠BCM∠CND=∠CMBDC=BC，
∴△DCN≌△BCM（AAS），
∴CN＝CM，
又∵∠CNG＝∠CMG＝90°，CG＝CG，
∴Rt△CNG≌Rt△CMG（HL），
∴∠CGN＝∠CGM，
即GC平分∠BGD，
故结论③正确；
∴∠CGN=12∠BGD=60°，则∠GCN＝90°﹣60°＝30°，
∴GN=12CG，CN=CG2−GN2=32CG，
∵△DCN≌△BCM，
∴S△DCN＝S△BCM，
∴S四边形BCDG＝S四边形MCNG＝2S△CNG，
∴S四边形BCDG=2×12GN⋅CN=2×12×12CG×32CG=34CG2，
故结论④错误，
综上所述，正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BC＝4，点D为BC中点，E为直线AC上一动点，以DE为边向下作正方形DEFG，当CF＝2时，则C、E两点间的距离为 0或1+3． ．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】CE＝0或1+3．
【分析】连接FH，作直线HK，过点D作DM⊥AC交于点M，过点F作FN⊥AC交于N，证明△MDE≌△NEF，得到ME＝NF，设ME＝NF＝x，证明NF＝HN，得到△HNF为等腰直角三角形，∠FHN＝45°，推出点F的轨迹，进而分类讨论求解．
【解答】解：由题意知，∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AC=12BC=2，AB=BC2−AC2=42−22=23，
如图，当点E与AC边的中点M重合时，有DM为△ABC的中位线，DM=12AB=3，
∵四边形DMFG为正方形，MF=DM=3，
另记此时点F所在的位置为点H，
则CH=MF−MC=MF−12AC=3−1；
如图，当点E在线段AC上时，连接FH，作直线HK，过点D作DM⊥AC交于点M，过点F作FN⊥AC交于N，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∵∠DEM+∠EDM＝90°，
∴∠FEN＝∠EDM，
在△MDE和△NEF中，
∠DME=∠ENF=90°∠EDM=∠FENDE=EF，
∴△MDE≌△NEF（AAS），
∴ME＝NF，EN=DM=3，
设ME＝NF＝x，则MN=ME+EN=x+3，
∴HN=MN−MC−CH=(x+3)−1−(3−1)=x，
∴HN＝MN﹣MC﹣CH＝（x+3）﹣1﹣（3−1）＝x，
∵NF＝HN，
∴△HNF为等腰直角三角形，∠FHN＝45°，
∴点F在直线HK上运动，其中∠KHA＝45°，
∴当CF＝2时，有以下两种情况：①当点E和点C重合时，CF=CD=12BC=2，此时CE＝0；
②当点E在CA延长线上时，CF＝CD＝2，GF＝GD，则GC垂直平分DF，
∵DF为正方形的对角线，此时D、M、F三点共线，
∴EG＝DF＝2DM＝23，
∴CE＝CM+EM＝CM+12EG＝1+3；
综上所述，当CF＝2时，CE＝0或1+3．
故答案为：CE＝0或1+3．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．问题探究
（1）如图1，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（4，0），在y轴正半轴上有一点P，当∠APB最大时，点P的坐标为 (0，22) ．
问题解决
（2）某动物园要建造一个水鸟园供游客参观，如图2，四边形ABCD为水鸟园的建设用地，其中AB＝24m，BC＝78m，CD＝100m，∠B＝90°，tanC=43．根据修建要求，四边形ABCD内部为水鸟戏水区，A为游客观测点，在CD边上要修建一段长为48m的水岸MN（M在上，N在下），供水鸟上岸休息的同时方便游客观赏．是否存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C？如果存在，求出此时CN的长；如果不存在，请说明理由．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）(0，22)；
（2）存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C；CN＝42m．
【分析】（1）过点A、B作⊙M，且⊙M与y轴相切于点N，连接AN，BN，MN，MA，作MC⊥AB于点C，在y轴上任取一点Q，点Q与点N不重合，连接AQ，BQ，AQ交⊙M于点D，连接BD，先根据同弧所对的圆周角相等得出∠ANB＝∠ADB，根据三角形外角的性质得出∠ADB＞∠AQB，从而得出∠ANB＞∠AQB，说明当点P在点N处时∠APB最大，求出此时点N的坐标，即可得出点P的坐标；
（2）过点A作AE⊥AB，AE交CD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AG⊥CD于点G，证明四边形ABFE为矩形，得出EF＝AB＝24m，AE＝BF，∠AEF＝90°，解直角三角形求出CF=34EF=18m，然后再求出AG＝4×12＝48（m），说明点A到CD的距离为48m，作△AMN的外接圆，圆心为O，过点O作OE′⊥MN于点E′，连接OM，ON，OA，求出OA+OE′＝30+18＝48（m），说明当∠MAN＝∠C时，点E′在点E处，且点O在AE上，延长BA，CD，交于点P，解直角三角形求出BP＝104m，根据勾股定理求出PC=BP2+BC2=130m，再解直角三角形求出PE＝64m，最后求出结果即可．
【解答】解：（1）如图1，过点A、B作⊙M，且⊙M与y轴相切于点N，连接AN，BN，MN，MA，作MC⊥AB于点C，在y轴上任取一点Q，点Q与点N不重合，连接AQ，BQ，AQ交⊙M于点D，连接BD，
∵AB=AB，
∴∠ANB＝∠ADB，
∵∠ADB为△BDQ的外角，
∴∠ADB＞∠AQB，
∴∠ANB＞∠AQB，
∴当点P在点N处时，∠APB最大，
∵A（2，0），B（4，0），
∴AB＝4﹣2＝2，OA＝2，
∵MC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=1，∠MCO＝90°，
∴OC＝OA+AC＝3，
∵⊙M与y轴相切于点N，
∴MN⊥y轴，
∴∠MNO＝90°，
∵∠MCO＝∠MNO＝∠CON＝90°，
∴四边形OCMN为矩形，
∴MN＝OC＝3，ON＝MC，
∴MA＝MN＝3，
在直角三角形ACM中，由勾股定理得：MC=MA2−AC2=22，
∴ON=MC=22，
∴点N的坐标为(0，22)，
即当∠APB最大时，点P的坐标为(0，22)，
故答案为：(0，22)；
（2）存在满足条件的水岸MN，使得∠MAN＝∠C；理由如下：
如图2，∠B＝90°，过点A作AE⊥AB，AE交CD于点E，过点E作EF⊥BC于点F，过点A作AG⊥CD于点G，则∠AGE＝∠BAE＝∠BFE＝90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴EF＝AB＝24m，AE＝BF，∠AEF＝90°，
∵tanC=43，
∴EFCF=43，
∴CF=34EF=18m，
∴BF＝BC﹣CF＝78﹣18＝60（m），
∴AE＝BF＝60m，
∵∠AEG+∠CEF＝∠CEF+∠C＝90°，
∴∠AEG＝∠C，
∴tan∠AEG=tanC=43，
设AG＝4xm，则EG＝3xm，
在直角三角形AEG中，由勾股定理得：AE=AG2+EG2=5x m，
∴5x＝60，
解得：x＝12，
∴AG＝4×12＝48（m）；
∴点A到CD的距离为48m，
如图3，作△AMN的外接圆，圆心为O，过点O作OE′⊥MN于点E′，连接OM，ON，OA，则OM＝ON，
∴ME′=NE′=12MN=24m，∠MOE′=∠NOE′=12∠MON，
∵MN=MN，
∴∠MAN=12∠MON，
∴∠MOE′＝∠MAN，
∵∠MAN＝∠C，
∴∠MOE′＝∠C，
∴tan∠MOE′=tanC=43，
∴ME′OE′=43，
∴OE′=34ME′=18m，
在直角三角形OE′M中，由勾股定理得：OA=OM=OE′2+ME′2=30m，
∴OA+OE′＝30+18＝48（m），
∵点A到CD的距离为48m，
∴当∠MAN＝∠C时，点E′在点E处，且点O在AE上，
如图4，延长BA，CD，交于点P，
∵tanC=BPBC=BP78=43，
∴BP＝104m，
在直角三角形BCP中，由勾股定理得：PC=BP2+BC2=130m，
∵tan∠BPC=BCBP=AEPE，
∴78104=48PE，
解得：PE＝64（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∵OE⊥MN，
∴EN=EM=12MN=24m，
∴CN＝PC﹣PE﹣EN＝42m．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，解题关键是熟练运用勾股定理解决问题．
17．如图，在长方形ABCD，AB＝8cm，BE＝10cm，点E是边AD上的一点，AE，DE分别长为a厘米和b厘米，且满足（a﹣6）2+|2a﹣b﹣6|＝0．动点P从B点出发，以每秒2cm的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为t秒．
（1）a＝ 6 ，b＝ 6 ．
（2）EP把四边形BCDE的周长平分，求t的值？
（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动. 4或223或10 时，三角形EPQ的面积等于12cm2．
【考点】矩形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形的面积．
【专题】分类讨论；应用意识．
【答案】（1）6，6；
（2）t的值为3；
（3）4或223或10．
【分析】（1）根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0解答即可；
（2）把周长平分，则BP＝6，列方程求解即可；
（3）根据P，Q的位置分类探讨三角形EPQ的面积即可．
【解答】解：（1）∵（a﹣6）2+|2a﹣b﹣6|＝0，
∴a−6=02a−b−6=0，
解得：a=6b=6，
故答案为：6，6；
（2）∵a＝6cm，b＝6cm，
∴AD＝6+6＝12cm，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝8cm，
∴CD＝AB＝8cm，BC＝AD＝12cm，
∵EP把四边形BCDE的周长平分，
∴BP＝6，
∴2t＝6，
∴t＝3．
答：t的值为3；
（3）①当点P在BC上，点Q在ED上时，
由题意得：EQ＝tcm，
∵三角形EPQ的面积等于12cm2，
∴12t×8＝12，
解得：t＝4；
②当点P和Q都在CD上两点相遇前时，
由题意得：PQ＝12+8+6﹣2t﹣t＝（26﹣3t）cm，
∴12×6×（26﹣3t）＝12，
解得：t=223；
③当点P和Q都在CD上两点相遇后时，
PQ＝（3t﹣26）cm，
∴12×6×（3t﹣26）＝12，
解得：t＝10．
故答案为：4或223或10．
【点评】本题考查矩形的相关性质．根据P，Q的位置分类探讨三角形EPQ的面积是解决本题的难点．
18．综合与探究
问题情境：已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是射线AB上的一个动点，连接CD，将△BCD绕点C顺时针旋转α得到△B'CD'，点B，D的对应点分别为B'，D'．
初步探究：（1）如图1，点D在AB边上，点A恰好在D′B′的延长线上，试判断四边形ABCB'的形状，并说明理由；
深入探究：（2）如图2，点D在AB边上，当点B'落在AC边上时，D'B'的延长线恰好经过点D，求∠B′CD的度数；
拓展延伸：（3）在△BCD绕点C顺时针旋转的过程中，当D，B′，D'三点共线时，若BC＝3，∠DCD'＝60°，请直接写出AD的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）四边形ABCB'是正方形．理由如下：
由旋转的性质，得B'C＝BC，∠CB'D'＝∠CBD＝90°，
∴∠CB'A＝90°，
∵AB＝BC，
∴AB＝B'C，
在Rt△ABC和Rt△CB′A中，AC＝CA，AB＝CB'，
∴Rt△ABC≌Rt△CB′A（HL）．
∴AB′＝CB．
∴AB＝BC＝CB'＝AB'，
∴四边形ABCB'是菱形．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCB'是正方形；
（2）22.5°；
（3）3−3或3+3．
【分析】（1）证Rt△ABC≌Rt△CB′A（HL），可得AB＝BC＝CB'＝AB'，则四边形ABCB'是菱形，即可得证；
（2）先得α＝45°，进而很容易得解；
（3）分两种情况讨论：当点D在AB边上或AB延长线上，依次画出图形求解即可．
【解答】解：（1）四边形ABCB'是正方形．理由如下：
由旋转的性质，得B'C＝BC，∠CB'D'＝∠CBD＝90°，
∴∠CB'A＝90°，
∵AB＝BC，
∴AB＝B'C，
在Rt△ABC和Rt△CB′A中，AC＝CA，AB＝CB'，
∴Rt△ABC≌Rt△CB′A（HL）．
∴AB′＝CB．
∴AB＝BC＝CB'＝AB'，
∴四边形ABCB'是菱形．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCB'是正方形．
（2）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB＝45°．
∵点B'落在AC边上，
∴α＝45°，
由旋转的性质，得∠DCD'＝45°，∠CB'D'＝∠CBD＝90°，CD'＝CD，
∴∠B′CD=∠B′CD′=12∠DCD′=22.5°．
（3）3−3或3+3．
分为两种情况：①如图1，当点D在AB边上时．
由旋转的性质，得B'C＝BC＝3，CD'＝CD，B'D'＝BD，∠CB'D'＝∠CBD＝90°，
∵∠DCD'＝60°，
∴∠DCB'＝∠D'CB'＝30°，
∴B′D′=33B′C=3．
∴BD=3．
∵AB＝BC＝3，
∴AD=AB−BD=3−3．
②如图2，当点D在AB的延长线上时．
由旋转的性质，得B'C＝BC＝3，CD'＝CD，B'D'＝BD，∠CB'D'＝∠CBD＝90°，
∵∠DCD'＝60°，
∴∠DCB'＝∠D'CB'＝30°，
∴B'D'=33B'C=3，
∴BD=3，
∵AB＝BC＝3，
∴AD＝AB+BD＝3+3．
综上，AD的长为3−3或3+3．
【点评】本题主要考查了正方形的判定和性质、旋转的性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）如图1，已知四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝60°，∠D＝95°，∠B≠∠D．求∠B的度数．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB边上的中线，过点D作DE⊥CD交BC于点E，证明：四边形ACED是“等对角四边形”．
（3）如图3，已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝60°，∠B＝90°，AB＝5，AD＝4，请你直接写出对角线AC的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）145°；
（2）∵在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠ACD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠DCB+∠A＝90°，
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠BCD＝90°，
∴∠CED＝∠A，
∵∠ACE＝90°，∠ADE＞90°，
∴∠ACE≠ADE，
∴四边形是“等对角四边形”；
（3）对角线AC的长为213．
【分析】（1）利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论；
（2）先判断出∠ACD＝∠A，进而判断出∠CED＝∠A，最后判断出∠ACE≠ADE，即可得出结论；
（3）先构造直角三角形求出AB和BC，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝∠C，∠B≠∠D，
∴∠C＝∠A，
∵∠A＝60°，
∴∠C＝60°，
∵∠D＝95°，
∴∠B＝360°﹣∠A﹣∠C﹣∠D＝145°；
（2）证明：∵在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠ACD＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCB+∠ACD＝90°，
∴∠DCB+∠A＝90°，
∵DE⊥CD，
∴∠CED+∠BCD＝90°，
∴∠CED＝∠A，
∵∠ACE＝90°，∠ADE＞90°，
∴∠ACE≠ADE，
∴四边形是“等对角四边形”；
（3）解：对角线AC的长为213；理由如下：
已知在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝60°，∠B＝90°，AB＝5，AD＝4，如图 3，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，
∴∠ADE＝30°，
∴AE=12AD＝2，
在直角三角形ADE中，由勾股定理得：DE=AD2−AE2=23，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∠B＝90°，
∴∠DFB＝∠DEB＝∠B＝90°，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF＝BE＝3，BF＝DE＝23，
在Rt△DCF中，∠BCD＝60°，
∴∠CDF＝30°，
∴DC＝2CF，
由勾股定理得：CD2﹣CF2＝DF2，
∴（2CF）2﹣CF2＝32，
∴CF=3，
∴BC=CF+BF=33，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=213．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用，矩形的判定和性质，勾股定理，正确添加辅助线是解答本题的关键．
20．定义：有一组对边平行，并且有两条邻边相等的四边形叫作平等四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝90°，对角线DB平分∠ADC，∠C＝2∠ABD，求证：四边形ABCD是平等四边形；
（2）如图2，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个正方形的顶点叫格点，点E、F均在格点上，若点G、H都在格点上，且四边形EFGH为平等四边形，请直接写出所有满足要求的线段FG的长．
【考点】四边形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）设∠ABD＝α，∠ADB＝β，则∠C＝2∠ABD＝2α，
∵DB平分∠ADC，
∴∠CDB＝∠ADB＝β，
∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝180°﹣2α﹣β，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠DBC＝180°﹣α﹣β，
∵∠A＝90°，
∴α+β＝90°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝∠BDC，
∴BC＝DC，
∴四边形ABCD是平等四边形；
（2）2或5或10或25或4．
【分析】（1）设∠ABD＝α，∠ADB＝β，则∠C＝2∠ABD＝2α，∠CDB＝∠ADB＝β，根据三角形内角和定理求出∠DBC＝180°﹣2α﹣β，α+β＝90°，根据角的和差关系求出∠ABC＝180°﹣α﹣β，可得∠A+∠ABC＝180°，证明AD∥BC，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出∠DBC＝∠ADB＝∠BDC，根据等角对等边得出BC＝DC，最后根据平等四边形的定义即可得证；
（2）分GH∥EF，GF∥EH两种情况讨论，根据网格的特征，勾股定理等知识求解即可．
【解答】（1）证明：设∠ABD＝α，∠ADB＝β，则∠C＝2∠ABD＝2α，
∵DB平分∠ADC，
∴∠CDB＝∠ADB＝β，
∴∠DBC＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝180°﹣2α﹣β，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝∠DBC＝180°﹣α﹣β，
∵∠A＝90°，
∴α+β＝90°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠DBC＝∠ADB＝∠BDC，
∴BC＝DC，
∴四边形ABCD是平等四边形；
（2）解：当GH∥EF时，如图，
此时EH=GH=12+22=5，
∴四边形EFGH为平等四边形，
此时FG=12+32=10；
或如图，
此时EH＝GH=5，
∴四边形EFGH为平等四边形，
此时FG＝2；
或如图，
此时FG＝GH=5，
∴四边形EFGH为平等四边形，
此时FG=5；
或如图，
此时FG＝FE＝25，
∴四边形EFGH为平等四边形，
此时FG=25；
当GF∥EH时，如图，
此时FG＝GH＝4，
∴四边形EFGH为平等四边形；
综上，线段FG的长为2或5或10或25或4．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了作图﹣应用与设计作图，新定义平等四边形，角平分线的定义，平行线的性质，分类讨论是解题的关键．