中考数学二轮复习《二次函数综合压轴题》常考热点题型分类考前冲刺专题训练

这是一份中考数学二轮复习《二次函数综合压轴题》常考热点题型分类考前冲刺专题训练，共7页。试卷主要包含了二次函数与周长问题综合，二次函数与面积问题综合，二次函数与角度问题综合，二次函数与特殊三角形综合，二次函数与平行四边形综合等内容，欢迎下载使用。

一、二次函数与周长问题综合
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0、B3,0两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是线段BC上的一个动点(不与B、C重合)，过点P作PD∥y轴，交抛物线于点D，求线段PD长度的最大值；
(3)点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△MAC的周长最小时，求点M的坐标．
2．如图1，抛物线y=ax2+2x+c经过点A(−1,0)，C(0,3)，并交x轴于另一点B，点P在第一象限的拋物线上，连接AP，交直线BC于点D，连接AC，CP．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求PDAD的最大值；
(3)当∠PCB=∠ACB时，P点坐标为____________；
(4)如图2，M为直线BC上的一点，且DM=2，当△ODM的周长最小时，P点坐标为_________．
3．如图，抛物线 y=ax2+bx+3 与 x轴交于 A(−1,0)、B(3,0)两点，与 y轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 M是抛物线对称轴上的一个动点，当 △MAC的周长最小时，求点 M的坐标；
(3)在（2）的条件下，点 N是抛物线上一点，且△NAB的面积是 △MAC 面积的 2 倍，求点 N的坐标．
4．如图，抛物线y1=−x2+1与x轴的负半轴交于点A，将抛物线y1=−x2+1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线y2=ax2+bx+c．
(1)求抛物线y2的解析式；
(2)判断点A是否在抛物线y2=ax2+bx+c上，并直接写出x取何值时，y1>y2；
(3)设抛物线y2=ax2+bx+c分别交y轴、x轴正半轴于点B、C，点D为直线BC上方抛物线y2=ax2+bx+c上一点，DE∥y轴交BC于E点，DG∥x轴交y轴于G，以DE，DG为邻边作矩形DEFG，求矩形DEFG周长的最大值．
二、二次函数与面积问题综合
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=14x2+bx+c经过点O0,0，对称轴过点B2,0，直线l过点C2,−2，且垂直于y轴．过点B的直线l1交抛物线于点M、N，交直线l于点Q，其中点M、Q在抛物线对称轴的左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当BM:MQ=3:5时，求点N的坐标；
(3)如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直线l1下方的抛物线上一动点，连接PQ、PO，其中PO交l1于点E，设△OQE的面积为S1，△PQE的面积为S2，求S1S2的最小值．
6．如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过1,−2和2,−3两点，直线l:y=−12x+2交x轴于点A，交y轴于点B．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点D是抛物线上的一动点，且在直线l的下方和y轴右侧，过点D作CD∥y轴交直线l于点C，以CD为直径作⊙E，当⊙E与y轴相切时，求点D的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E′，过点H−2,0作HF⊥x轴，交直线l于点F，连接OF，问在⊙E′上是否存在一点P，使△OFP的面积最大？若存在，求出△OFP面积的最大值，若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x−3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)直接写出A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；
(2)如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使∠AMC=90°？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由：
(3)如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q，△APQ和△OCQ的面积差为S，当S的值最大时求点P的坐标和直线PO的解析式．
8．如图（1），已知抛物线y=x2+bx−3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于C点，且OB=OC．
(1)请直接写出：抛物线的解析式为 ；
(2)点P在第四象限内的抛物线上，连接AP交y轴于点D，在B点右侧的x轴上取点E，且PE=PA，过点B作BF⊥x轴交PE于点F，连接DF，若四边形ODFB的面积为92，求P点的坐标；
(3)如图（2），过A点的直线y=x+1交抛物线于另一点D，T为第二象限内的一个定点，过点T任作直线l交抛物线于M、N两个不同点(点N在第四象限内)，若在直线l的变化过程中，射线DA始终平分∠MDN，求定点T的坐标．
三、二次函数与角度问题综合
9．已知在直角坐标平面xOy中，抛物线y=ax2+ca≠0经过点A−2,0、C0,−4两点，抛物线与x轴交于A、B两点．
(1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标；
(2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m．
①当∠PAB=45°时，求P点坐标；
②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且△PAC是以PC为斜边的直角三角形，求m的值．
10．如图1，抛物线y=ax2+bx+3过点A-1,0，点B3,0，与y轴交于点C．M是抛物线上任意一点．
(1)求抛物线的解析式、直接写出直线BC解析式．
(2)如图1，设M的横坐标为m（00，
∵CD∥y轴，
∴Cd,−12d+2，
∴CD=−12d+2−d2−4d+1=−d2+72d+1．
∵⊙E与y轴相切，
∴2d=−d2+72d+1，
解得d1=2，d2=−12（舍去），
∴D2,−3；
（3）解：∵d=2，
∴C2,1，
∵以CD为直径作⊙E，D2,−3，
∴E2,−1，
∵把⊙E向上平移，使圆心落在x轴上，得到⊙E′，
∴E′2,0，
∵过点H−2,0作HF⊥x轴，
∴OH=2，当x=−2时，y=−12×−2+2=3，
∴F−2,3，
∴FH=3，
∴OF=22+32=13．
如图2，过点E′作E'G⊥FO，交直线FO于点G，交⊙E′于点P′，连接FP′,OP′，则此时△OFP′的面积最大．
∵E′2,0，⊙E′与y轴相切，
∴OE′=P′E′=2，
∵∠FHO=∠OGE'=90°,∠FOH=∠E'OG
∴△FOH∽△E'OG，
∴E'GFH=E'OFO，
∴E'G3=213，
∴E'G=61313，
∴GP'=2+61313，
∴S△OFP'=12FO⋅GP'=12×13×2+61313=3+13，
即△OFP面积的最大值为3+13．
7．(1)A−3,0，B1,0，C0,−3，对称轴为直线x=−1；
(2)存在，M的坐标为−1,−3+172或−1,−3−172；
(3)P−1,−4，直线PO的解析式为y=4x
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据函数图象点的坐标特点分别求解即可；
（2）设M−1,m，AC的中点G−32,−32，AC=32，根据MG=322，求出M点坐标即可；
（3）由题意可知△APO和△ACO的面积差为S，设点P的坐标为t,t2+2t−3，则S=−32t+12+32，当t=−1时，S有最大值为32，此时P−1,−4，再求直线PO的解析式即可．
【详解】（1）解：当x=0时，y=−3，
∴C0,−3，
当y=0时，x2+2x−3=0，
解得x=−3或x=1，
∴A−3,0，B1,0；
∴y=x2+2x−3=x+12−4，
∴对称轴为直线x=−1；
（2）解：存在点M，使∠AMC=90°，理由如下：
设M−1,m，
∵A−3,0，C0,−3，
∴AC的中点G−32,−32，AC=32+32=32，
∴MG=12AC=322，
∴14+m+322=322，
解得m=−3±172，
∴点M的坐标为−1,−3+172或−1,−3−172；
（3）解：∵△APQ和△OCQ的面积差为S，
∴△APO和△ACO的面积差为S，
设点P的坐标为t,t2+2t−3，
∴△APO的面积=12×3−t2−2t+3，△ACO的面积=12×3×3=92，
∴S=12×3−t2−2t+3−92=−32t+12+32，
当t=−1时，S有最大值为32，此时P−1,−4，
设直线PO的解析式为y=kx，
∴−k=−4，即k=4，
∴直线PO的解析式为y=4x．
8．(1)y=x2−2x−3
(2)(2,−3)或32,−154
(3)(−2,4)
【分析】（1）先求抛物线与y轴交点C的坐标，结合OB=OC确定B点坐标，代入抛物线解析式求出参数b，即可得到抛物线解析式．
（2）先求出抛物线与x轴的交点A的坐标，设出P点坐标，用待定系数法求出直线AP的解析式，得到D点坐标；利用等腰三角形三线合一的性质求出E点坐标，进而求出直线PE的解析式，得到F点坐标；最后根据直角梯形的面积公式列方程，求解得到P点的横坐标，进而确定P点坐标．
（3）先联立直线AD与抛物线的解析式，求出D点坐标；通过作辅助线构造相似三角形，利用角平分线的性质得到角相等，证明三角形相似，得到M、N横坐标的数量关系；再联立直线l与抛物线的解析式，结合韦达定理得到直线l的解析式，最终确定直线l恒过的定点T的坐标．
【详解】（1）解：令x=0，得y=−3，
∴C(0,−3)，即OC=3，
∵OB=OC，
∴OB=3，
∵点B在x轴正半轴，
∴B(3,0)，
将B(3,0)代入y=x2+bx−3，得32+3b−3=0，
解得b=−2，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
（2）解：由抛物线解析式y=x2−2x−3，令y=0，得x2−2x−3=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
过点P作PH⊥x轴于点H，设P(t,t2−2t−3)，
设直线AP的解析式为y=kx+m，将A(−1,0)、P(t,t2−2t−3)代入，
得−k+m=0kt+m=t2−2t−3，解得k=t−3m=t−3，
∴直线AP的解析式为y=(t−3)x+t−3，
令x=0，得y=t−3，
∴D(0,t−3)，
∵PA=PE，PH⊥x轴，
∴AH=EH=t−(−1)=t+1，
∴E(2t+1,0)，
设直线PE的解析式为y=px+q，将P(t,t2−2t−3)、E(2t+1,0)代入，
得pt+q=t2−2t−3p(2t+1)+q=0，解得p=−t+3q=2t2−5t−3，
∴直线PE的解析式为y=(−t+3)x+2t2−5t−3，
将x=3代入，得y=3(−t+3)+2t2−5t−3=2t2−8t+6，
∴F(3,2t2−8t+6)，
∵四边形ODFB为直角梯形，OD∥BF，OB⊥OD，OB⊥BF，
∴S四边形ODFB=12(OD+BF)⋅OB，
∵OD=3−t，BF=−2t2+8t−6，OB=3，
∴12×(3−t−2t2+8t−6)×3=92，
解得t1=2，t2=32，
当t=2时，t2−2t−3=−3，即P(2,−3)，
当t=32时，t2−2t−3=−154，即P32,−154，
∴P点坐标为(2,−3)或32,−154；
（3）解：联立y=x2−2x−3y=x+1，得x2−3x−4=0，
解得x1=4，x2=−1，
当x=−1时，y=0，与A点重合，舍去，
当x=4时，y=5，
∴D(4,5)，
过点D作DG∥x轴，DH∥y轴，过点M作MG⊥DG于G，过点N作NH⊥DH于H，
∴∠G=∠H=90°，
∵直线AD的解析式为y=x+1，
∴∠DAO=45°，
∵DG∥x轴，DH∥y轴，
∴∠ADG=∠DAO=45°，∠ADH=45°，
∵DA平分∠MDN，
∴∠ADM=∠ADN，
∴∠ADG−∠ADM=∠ADH−∠ADN，即∠GDM=∠HDN，
∴△DMG∽△DNH，
∴DGMG=DHNH，
设M(xM,yM)，N(xN,yN)，则yM=xM2−2xM−3，yN=xN2−2xN−3，
∵D(4,5)，
∴DG=4−xM，MG=5−yM=−xM2+2xM+8，
DH=5−yN=−xN2+2xN+8，NH=4−xN，
∴4−xM−xM2+2xM+8=−xN2+2xN+84−xN，
化简得1xM+2=xN+2，
整理得(xM+2)(xN+2)=1，即xMxN+2(xM+xN)=−3，
设直线l的解析式为y=kx+b，联立y=x2−2x−3y=kx+b，
得x2−(k+2)x−3−b=0，
由韦达定理得xM+xN=k+2，xMxN=−3−b，
∴xMxN+2(xM+xN)=−3，得−3−b+2(k+2)=−3，
整理得b=2k+4，
∴直线l的解析式为y=kx+2k+4=k(x+2)+4，
当x=−2时，y=4，与k的取值无关，
∴直线l必过定点(−2,4)，即定点T的坐标为(−2,4)．
9．(1)y=x2−4
(2)①3,5或P(1,−3)；②m=212
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键．
（1）运用待定系数法直接解答即可；
（2）①过点P作PD⊥x轴于D，利用∠PAB=45°可知△PAD是等腰直角三角形，即PD=AD．设P(m,m2−4)，分P在x轴上方和下方两种情况，分别列方程求解，得到P点坐标；②作PN⊥x轴，垂足为N．由题意可得AN=m+2,PN=m2−4,OA=2,OC=4，证明tan∠PAN=tan∠ACO，再建立方程求解即可；
【详解】（1）解： ∵ y=ax2+ca≠0经过点A−2,0、C0,−4两点，
∴4a+c=0c=−4，
解方程组得：a=1c=−4
∴抛物线的表达式为：y=x2−4
（2）解：① 过点P作PD⊥x轴于点D，则∠PDA=90°．
∵∠PAB=45°，
∴△PAD是等腰直角三角形，PD=AD．
设P(m,m2−4)，则PD=|m2−4|，AD=|m−(−2)|=|m+2|．
当P在x轴上方时，m2−4=m+2，即m2−m−6=0，
解得m=3或m=−2（m=−2与A点重合，舍去）．
此时y=32−4=5，
∴P(3,5)．
当P在x轴下方时，4−m2=m+2，即m2+m−2=0，
解得m=1或m=−2（舍去）．
此时y=12−4=−3，
∴P(1,−3)．
②作PN⊥x轴，垂足为N．
∵点P在抛物线y=x2−4的图象上，横坐标为m(m>0)，
∴P(m,m2−4)，
∵A(−2,0),C(0,−4)，
∴AN=m+2,PN=m2−4,OA=2,OC=4，
∵∠PAN+∠OAC=∠ACO+∠OAC ，
∴∠PAN=∠ACO，
∴tan∠PAN=tan∠ACO ，
∴PNAN=AOCO，
即m2−4m+2=24，
解得m=212，经检验符合题意；
10．(1)抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；直线BC的解析式为：y=−x+3
(2)见解析
(3)M的坐标为5,−12或73,209
【分析】（1）利用两点式求抛物线的表达式，进而得出直线BC的解析式；
（2）先用m表示出S1−S2，再利用配方法求出最值；
（3）分M在直线BC下方，M在直线BC上方两种情况讨论，分别求出M点的坐标即可．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为y=a(x−x1)(x−x2)，
则y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a，
则−3a=3，解得a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，
直线BC的解析式为：y=−x+3；
（2）S1−S2=SΔABM−SΔABC
=12AB⋅ym−12AB⋅CO
=12×4−m2+2m+3−12×4×3
=−2m2+4m
=−2m−12+2
∵−2