中考数学二轮复习二次函数综合压轴题解答题专题训练

这是一份中考数学二轮复习二次函数综合压轴题解答题专题训练，共7页。试卷主要包含了综合与探究，已知二次函数，已知抛物线，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。

(1)求抛物线的解析式及点P的坐标；
(2)用含m的式子表示点Q的坐标，并说明无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上；
(3)淇淇说：“当点Q落在抛物线上时，点P也在抛物线上．”请判断她的说法是否正确，并说明理由；
(4)点B，C的横坐标分别为，2，且两点均在抛物线上，若线段与抛物线有两个交点，直接写出m的取值范围．
2．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由；
(3)如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)如图（1），D为第一象限内抛物线上一点，过点D作y轴的平行线交x轴于点E，连接交于点P，连接，若，求点D的坐标；
(3)如图（2），点M，N分别是第一象限和第三象限内抛物线上的点，直线分别交x轴，y轴于点F，T，直线交x轴于点G，若，且，求直线的解析式．
4．综合与探究
如图，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点，间的一个动点（含端点），过点作于点，点、的坐标分别为，，连接、、．
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)小明探究点的位置发现：当点与点或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由；
(3)小明进一步探究发现：若将“使的面积为整数”的点记作“好点”，则存在多个“好点”．请你继续探究：
①使的周长最小的点是不是一个“好点”，如果是，请求出这个“好点”坐标，如果不是，请说明理由；
②请求出所有“好点”的个数．
5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．直线经过点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，为直线与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接，，，若是锐角三角形，求的取值范围；
(3)如图2，若，点是抛物线第四象限图象上一点，连接并延长，交直线与点，连接，，求面积的最大值．
6．已知二次函数．
(1)该二次函数图象的对称轴是直线_________；
(2)当且时，函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点R的坐标；
(3)已知线段的两个端点坐标分别为，，当此二次函数图象与线段只有一个交点时，求的取值范围；
(4)如图，当时，二次函数的图象交轴负半轴于点，交轴于点，已知，两点的纵坐标相等．直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线，与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，请直接写出的最大值．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点、，与轴交于点，连接、，直线与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴，交于点，过点作交抛物线对称轴于点，点为抛物线对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点P的坐标以及的最小值；
(3)在轴上有一点，将抛物线沿射线方向平移，平移后的新抛物线恰好过点，交轴于点，连接．点在线段上运动（不与点重合），连接，且，现将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线交新抛物线于点，若直线与直线所成锐角等于，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程．
8．已知抛物线（m是常数，且）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、B两点的坐标．
(2)如图，直线与抛物线的图象交于D、E两点，其中E点的横坐标为．
①当时，根据图象求出x的取值范围．
②连接，G为线段上一动点（不与A、B重合）将沿翻折至，使A与重合，点落在x轴的下方，其中交线段于点H，求的最小值．
(3)将抛物线沿x轴向上翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点（点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”），求m的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)点在第一象限的抛物线上，请连接．
①若，且的最小面积为3，请求出t的取值范围；
②若，请求出点的坐标；
(3)若、分别为抛物线上在对称轴两侧的点，且，请求出n的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，直线经过点交抛物线于点，点是线段上一点，作轴交抛物线于点，若，求点的坐标；
(3)点为抛物线上的一个动点，且横坐标为，点的横坐标为，且线段轴，当线段与抛物线有两个公共点时，请直接写出的取值范围．
11．已知一次函数的图象分别交轴，轴于点，过两点的二次函数的图象与轴交于另一点．
(1)求的值及点的坐标；
(2)如图1，，为上方抛物线上两动点，分别过点作轴的垂线，与线段交于点．若，探究线段与能否互相垂直且平分？若能互相垂直且平分，求出符合条件的点的坐标；若不能，请说明理由；
(3)如图2，点在轴正半轴上，连接，当时，在二次函数图象上存在点使得，求点到轴的距离．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，点C在y轴的负半轴上，且，D是线段上的动点（点D不与点B，C重合）．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将沿x轴翻折得到，当点E恰在抛物线上时，求点D的坐标；
(3)如图2，G是线段上的动点，连接，当时，求的最小值．
13．如图，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接．为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)过点作，垂足为点，设点的坐标为，
①请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，有最大值，最大值是多少？
②当时，线段长的取值范围为；
③在①的条件下，直线上有一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转度，使点的对应点恰好落在该抛物线上，求点的坐标．
参考答案
1．(1)，点P的坐标为
(2)点Q的坐标为，点Q始终在直线上
(3)淇淇的说法正确，见解析
(4)
【分析】（1）由对称轴为直线 ，可求出 ，将代入解析式可求得，进而即可求得解析式，将解析式化为顶点式即可得到点坐标；
（2）由可得点 的坐标为 ，由点坐标规律即可得解；
（3）把 ， 代入 求出值，分别讨论值的两种情况即可得解；
（4）先求出直线与抛物线有两个交点时的值，再由抛物线的性质得出的值小于等于经过点C时的值且大于时，线段与抛物线有两个交点，然后求出过点C时的值，结合抛物线即可得出的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为直线 ，
，解得 ，
把 ， 代入，得 ，
抛物线 的解析式为 ，
，
点 的坐标为 ；
（2）解：，
点 的坐标为 ，
点 的横坐标 ，纵坐标 ，
随 的变化始终有 ，
点 始终在直线 上；
（3）解：淇淇的说法正确．
由（2）可得，点 的坐标为 ，当点 落在抛物线 上时，
把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，，
当 时，抛物线 的解析式为 ，
当 时，，
此时点 在抛物线 上，
当 时，抛物线 的解析式为 ，
当 时，，
此时点 在抛物线 上，
综上，当点 落在抛物线 上时，点 也在抛物线 上，
淇淇的说法正确；
（4）解：∵点B，C的横坐标分别为，2，且两点均在抛物线上，
∴，，
设线段的解析式为，代入得，
，解得，
∴线段的解析式为，
∴，
整理得，，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴，
∴，
如图，
，
抛物线的对称轴为直线，
时，直线与抛物线有两个交点，
点到对称轴的水平距离大于点到对称轴的水平距离，
抛物线对称轴右侧部分经过点时与线段有两个交点，
的值小于等于经过点时的值且大于时，线段与抛物线有两个交点，
将代入得，
∴，，
∴当时，抛物线如图所示，不符合题意，舍去，
当时，抛物线如图所示，符合题意，
，
的取值范围为．
2．(1)
(2)存在，最大值为
(3)存在，最小值为
【分析】（1）根据题意得到，根据等边三角形的性质得到，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到，设点，根据点的C的位置，分类讨论：当时；当时；当时；结合图形，表示出的面积，根据二次函数图象的性质即可求解；
（3）根据题意得到直线的解析式为，，结合（2）得到，过点P作，使得，连接，得到当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，证明，得到，由两点之间的距离公式即可求解．
【详解】（1）解：是边长为4的等边三角形，二次函数的图象经过点A，B，O，
∴，，，，
如图所示，过点作于点E，
∴，，
∴，
∴，
把点的坐标，代入二次函数解析式得，，
解得，，
∴二次函数解析式为；
（2）解：存在，最大值为，理由如下，
，，，
∴，，
∴点是线段的中点，则，即，
设点，
如图所示，过点作轴于点F，过点作轴于点G，
∴，，，，，
∴
，
当时，
①式
，
∴当时，的面积最大，最大值为；
当时，如图所示，过点作轴于点F，交于点，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，，，，
∴
，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为；
当时，如图所示，
∴，，，，，
∴
，
∵，
∴该情况不符合题意；
∵，
∴面积的最大值是；
（3）解：存在，最小值为，理由如下，
∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵点D是的中点，
∴，
设，则，则，
∴，
如图所示，
∵轴于点，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点P作，使得，连接，
∴，
∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，
如图所示，过点P作y轴的平行线，过点作于点，过点作于点T，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴的最小值是．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象与几何图形面积的计算方法，二次函数与线段最值得计算方法，相似三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键．
3．(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）分别令即可求解；
（2） )设，由和相似三角形的判定和性质可得，再求出直线解析式，将代入解析式可得，进而即可得解；
（3）设，，分别求出直线、直线的解析式，可得点坐标，根据，可得，根据可得，进而求出值，将代入，求出值，即可得解．
【详解】（1）解：令，解得，，
，，
令，得，
．
（2）解：如图，过点C作轴交于点Q，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，解得，
直线的解析式为，
将代入，
，
整理可得，解得或，
点D在第一象限，
，
将代入，可得，
；
（3）解：设，，直线的解析式为，
得，解得，
直线的解析式为，
令，可得，
，
令，可得，
．
，
．
，，
，
，
又，
，
整理得．
设直线的解析式为，
得，解得，
直线的解析式为，
令，可得，
．
，
，
，
即，
，
又，
，
，解得，
将代入，解得（舍去）或，
将，，代入，
可得直线的解析式为．
4．(1)；
(2)正确，理由见解析；
(3)①；②“好点”有个．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）首先表示出、点坐标，再利用两点之间距离公式得出，的长，进而求出即可；
（3）根据题意当、、三点共线时，最小，进而得出点坐标以及利用的面积可以等于到的所有整数，在面积为时，的值有两个，进而得出答案．
【详解】（1）解：边长为的正方形的两边在坐标轴上，
，，
抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入，得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：正确，理由如下：
设，则,
，
，
，
，
故猜想正确；
（3）①当点运动时，的大小不变，
与的和最小时，的周长最小，
，
，
，
当、、三点共线时，最小，此时点、的横坐标都为，
将代入，得，
点坐标为，此时的周长最小，且的面积为，点恰为“好点”，
的周长最小时，“好点”坐标为；
②如图：连接,由（2）得,
,
，
的面积可以等于到的所有整数，在面积为时,的值有两个，分别为和 (此处要注意的值有两个) ．
面积为整数时 “好点”有个．
5．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式。将已知点和B的坐标代入抛物线方程中，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求得和的值，从而确定抛物线的解析式；
（2）通过勾股定理的逆定理判定三角形形状。首先根据直线过点确定与的关系，结合抛物线对称轴方程求出交点的坐标；然后计算线段、、的平方值；最后利用“锐角三角形中任意两边的平方和大于第三边的平方”这一性质，通过分类讨论排除直角情况，建立关于的不等式组求解取值范围；
（3）用参数法求解三角形面积最值，设出第四象限内点的坐标参数，利用平行线性质或解析式求出相关辅助点（如与的交点）的坐标；将的面积表示为关于该参数的二次函数；最后通过配方或顶点公式求出二次函数的最大值，即为三角形面积的最大值．
【详解】（1）过，；
，解得；
∴抛物线的表达式．
（2）∵直线过点，
，
，
抛物线的对称轴为直线
，
∵点和，
，，，
若是直角三角形，则只能或
若，则，解得
若，则，解得
是锐角三角形，∴综合得．
（3）连接，由点和，则直线的解析式为，
过点作轴，交于点，
设点的坐标为，
∴点的坐标为，
，
，
∴当时，的面积最大，最大值为，
，
∴直线的解析式为，
，
到的距离到的距离（或到的距离）
，为定值，
面积的最大值为．
6．(1)；
(2)，；
(3)或；
(4)．
【分析】（1）利用对称轴公式求解即可；
（2）根据二次函数开口向上，可知，取得最小值，取得最大值，分别代入解析式，可求得、的坐标；
（3）通过代入坐标求函数值，从而判断抛物线上点的位置，采用分类讨论思想，当，开口方向讨论函数；
（4）根据二次函数定点性质，以及联立一次函数与二次函数，用一元二次方程根与系数的关系求出、横坐标的关系，以及构造函数，利用顶点求最大值．
【详解】（1）解：对于二次函数，对称轴公式为，
在中，，代入得，
所以对称轴是直线；
（2）解：，
二次函数的图象开口向上．
对称轴是直线，当时，，，，
当时，取得最大值；当时，取得最小值．
函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，
，
将代入：，得，
解得，
二次函数的解析式为．
将代入，得，
，
综上，；
（3），
当或时，，
抛物线经过定点，．
，
顶点坐标为．
当时，抛物线开口向上，
如图（1），当顶点落在上时，满足题意，
此时，解得．
当时，抛物线开口向下，
抛物线经过定点，
抛物线不经过点．
如图（2），当抛物线经过点时，将代入，得，
解得．
或；
（4）当时，抛物线解析式为．
令，解得或，
，
令，得，
抛物线对称轴为，、纵坐标相同，得，
设点，的横坐标分别为，，
联立，
整理，得，
，，
，
代入，得，
整理，得，
，，
直线的解析式为．
当时，，，
点在直线上．
设直线交轴于点，
当时，，解得，
，
．
如图（3），过点作交轴于点，
，
当取得最大值时，有最大值，
当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值，如图（4），
设直线的解析式为，
联立上式和抛物线的解析式并整理，得，
，解得，此时，
的最大值为．
7．(1)
(2)，
(3)或或或，见解析
【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先分析取最大值的情况，于点，使用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则．容易判断是等腰直角三角形，则，因此．分为和两种情况，分别计算最大值并作比较可知，当时，取得最大值，此时点的坐标为．再计算的最小值即可；
（3）根据点和点的坐标可知，沿射线平移等价于向左平移个单位，同时向上平移个单位，由平移规律写出新抛物线的方程，再将点代入，求出，进而求得点．由（2）可知，，若直线与直线所成锐角也等于，则或．当时，容易证明，则，进而证明．先计算出直线的解析式，由平行可得直线的解析式为，联立直线与抛物线，解得；当时，容易证明，从而计算出点，计算出直线的解析式，再与抛物线联立，解得．
【详解】（1）解：将点，，代入，得，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：先计算的最大值，如图，作于点，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，即直线为，
设直线的解析式为，
把点，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵轴，且点在直线上，
∴点的坐标为，
∴，
∵于点，
∴点的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵点是线段下方，
∴，
①当时，
，
∵，
∴当时，取得最大值；
②当时，
，
∵，
∴当时，取得最大值；
∵，
∴当时，取得最大值，此时点的坐标为，最小值为3；
（3）解：由题意可知，，，
∴沿射线平移等价于向左平移个单位，同时向上平移个单位，
∴新抛物线，
将点代入，得，
，
整理，得，
解得或（舍去），
∴新抛物线，
将代入，得，
∴点的坐标为，
由（2）可知，，
∴直线、直线与直线所成锐角均为，
∵直线与直线所成锐角等于，即所成锐角为，
∴或，
①当时，如图，
由旋转的性质可得，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入，得，
，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线，得，
，
解得或，
∴点的横坐标为或；
②当时，如图，延长交轴于点，
由①可知，，，
在中，，
∵，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立直线与抛物线，得，
，
解得或，
∴点的横坐标为或；
综上所述，点的横坐标为或或或．
8．(1)，；
(2)①；②
(3)
【分析】（1）令，解一元二次方程，结合在左侧的条件，确定交点坐标；
（2）①根据点坐标求出的值，确定抛物线解析式，再结合图像位置关系，写出时的取值范围；
②过点D作于K，求出的长，由翻折性质可知，对应角相等，得平分，过点G作于M，于N，利用角平分线的性质及面积转化法求得 ，即最小时，最小；
（3）利用数形结合的思想，画出翻折前后的抛物线，再结合封闭区域内整点个数的条件，分析整点的分布情况，列不等式求解的取值范围．
【详解】（1）解：令，得，
m是常数，且，
即，
解得：，，
，；
（2）①∵E点的横坐标为，直线经过点E，
，
把点代入，得：，
解得：，
，
联立方程组，
解得：，，
，
由图象可得：当时，x的取值范围为．
②如图，过点G作于M，于N，过点D作于K，
，，，
，，
，
由翻折得，
，，
，
，
，即，
当时，最小，此时，的值最小，
的最小值．

（3）如图，抛物线经过，，对称轴为直线．
围成的区域关于轴对称，轴上有5个“整点”，则轴的上下部分各有四个“整点”只需考虑轴上方的四个整点，只能是，，，，
当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，
此时，
解得，
根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点，
此时是临界位置，即，解得，
．
【点睛】本题是二次函数的综合压轴题，考查了抛物线与轴的交点、翻折变换与面积转化法的综合应用、抛物线翻折与整点问题等，解题时需熟练掌握二次函数的性质、翻折变换的性质、面积转化法，同时结合整点问题的限制条件，综合分析求解．
9．(1)；
(2)①；②P的坐标为或
(3)
【分析】（1）把A、B的坐标代入，求出b、c的值，进而可求出顶点坐标即可得到答案；
（2）①过点P作轴，交BC于点Q，求出解析式，由，得，得，得，开口向下，对称轴为，当的最小面积为3时，或，所以；②过点P作轴于点D，过点B作，交延长线于点E，可得四边形是矩形，当时，证明，得，解得，得P的坐标为；当时，证明，得，得，解得或（舍去），P的坐标为；当时，不存在．
（3）由，得函数图象开口向下，对称轴为直线，当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时，，解得，结合，得，解得，综合；另解：当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时，得，由对称性关于对称轴的对称点为，结合，得，即得；当点N在对称轴的左侧，点M在对称轴的右侧时，不等式组，无解．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，
，
解得，
抛物线的表达式为，
，
抛物线顶点的坐标为；
（2）解：①过点P作轴，交BC于点Q，
令，则，
，又，
设解析式为，
把代入，得，
解得
解析式为，
即，
，
∴，
面积对应的函数图象开口向下，对称轴为，
∴对称轴在范围内，
∵，
∴，
解得或，
∴；
②过点P作轴于点D，过点B作，交延长线于点E，
则，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，
则，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
化简，得，
解得或（舍去），
∴P的坐标为；
当时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴P的坐标为；
当时，
∵，在的内部，
∴，
∴不存在．
综上，P的坐标为或．
（3）解：，
函数图象开口向下，对称轴为直线，
当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时，
由题意得，
解得，
∵，
∴，
解得，
；
另解：
Ⅰ、当点M在对称轴的左侧，点N在对称轴的右侧时，
由题意得，
解得，
关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
解得，
；
Ⅱ、当点N在对称轴的左侧，点M在对称轴的右侧时，
由题意得，
该不等式组无解；
综上所述，．
10．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）将点与点代入，然后解方程组即可求出解析式；
（2）先将代入求出直线解析式，然后设，表示出，利用点关于轴对称，即的纵坐标互为相反数，建立方程求解即可；
（3）设点的坐标为，表示出点关于的对称点的坐标为，分类讨论：当点在对称轴左侧时，点要在点的右侧，才能满足线段与抛物线有两个公共点；当点在对称轴右侧时，点要在点的左侧，才能满足线段与抛物线有两个公共点；综合两种情况即是的取值范围．
【详解】（1）解：将点与点代入得：
，解得：，
∴．
（2）解：将代入得：，解得：，
∴直线解析式为，
∴设，
∵轴，
∴轴，横坐标为，
在中，令，得：，
∴，
∵，轴，
∴点关于轴对称，即的纵坐标互为相反数，
∴，解得：或，
∵当，此时点重合于点的位置，不符合题意，舍去，
∴，代入，
∴．
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴点的坐标为，
∵关于直线对称，
∴点关于的对称点的坐标为
当点在对称轴左侧时，点要在点的右侧，才能满足线段与抛物线有两个公共点，如图所示：
∴，解得：，
当点在对称轴右侧时，点要在点的左侧，才能满足线段与抛物线有两个公共点，如图所示：
∴，解得：，
而点在对称轴右侧时，，
∴此时满足题意，
综上：或．
11．(1)，，B
(2)不能，理由见解析
(3)或
【分析】本题是考查二次函数、一次函数和几何图形结合的综合题．
（1）根据一次函数和坐标轴的交点得到点，，得到，根据待定系数法得到二次函数的表达式，进而得到点的坐标.
（2）根据点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，得到用表示的线段的代数式，根据线段与互相垂直且平分得到四边形为菱形，即，得到此时点，的坐标，因为，得到四边形不是菱形，所以线段与不能互相垂直且平分．
（3）过点作轴于点，根据点在轴左侧和右侧，分两种情况讨论，通过证明，得到对应线段成比例，设点的坐标为，得到关于的一元二次方程，解得的值，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴点的坐标为，
当时，，解得，
∴点的坐标为，
∵二次函数的图象过点，，
∴，
将代入中，得，解得，
∴二次函数的表达式为，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵为二次函数图象与轴的交点，
∴点与点关于直线对称，
∴点的坐标为；
（2）解：与不能互相垂直且平分，
理由如下：由（1）得，二次函数的表达式为，
∵，均与轴垂直，，
∴，，
，
，
∴，，
∵，
∴当线段与互相垂直且平分时，四边形为菱形，
则，即，解得，
此时，点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴，
∴四边形不是菱形，
∴线段与不能互相垂直且平分；
（3）解：如图，过点作轴于点，则，
当时，．
∵，
∴，
∴．
设点的坐标为，
∴，
则，
如解图1，当点在轴右侧时，，
∵，
∴，
∴，解得，
∵点在轴右侧，
∴，
∴点到轴的距离为，
如解图2，当点在轴左侧时，，
∴，解得，
∵点在轴左侧，
∴，
∴点到轴的距离为，
综上所述，当时，点到轴的距离为或．
12．(1)
(2)点D的坐标为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线的表达式，再设点D的坐标为，则点，代入求解得到，据此计算即可求解；
（3）过点C作轴且，得到，推出，当A，D，三点共线时，有最小值为的长度，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得．
解得．
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由得，点B的坐标为，
，
点C的坐标为，
设直线的表达式，
将代入，得，
将代入，得，
，
直线的表达式，
设点D的坐标为，则点E的坐标为，
将点代入，
得，
解得，（舍去），
点D的坐标为；
（3）解：如图，过点C作轴且，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当A，D，三点共线时，
有最小值为的长度，
在中，，，
，
点的坐标为，
又，
．
即的最小值为．
13．(1)
(2)①（或）当时，有最大值；②；③或
【分析】（1）将，代入抛物线，用待定系数法即可求解；
（2）由（1）的抛物线解析式可求出点的坐标，直线的解析式，点的坐标为，，可用含的式子表示，，从而表示出的值，求出的值；
②根据二次函数的性质求得最小值，即可求解；
③如图所示（见详解），过点作轴交于点，过点作交于点，可证，设，则，，则，由此即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：①令，则，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
∵点的坐标为，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴
∴
∴，
∴当时，有最大值．
②∵
∵
∴当时，取得最小值，最小值为
∴当时，
③解：如图所示，过点作轴交于点，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∴，，
∴，
∵点在抛物线上，
∴，解得或，
∴或．