2026届黑龙江省大庆市大庆中学高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

这是一份2026届黑龙江省大庆市大庆中学高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了已知圆，定义在R上的偶函数f，已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种.
A．360B．240C．150D．120
3．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是( )
A．2B．3C．3.5D．4
4．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．若集合，则=（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
7．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）＝﹣x﹣2，则（ ）
A．B．f（sin3）＜f（cs3）
C．D．f（2020）＞f（2019）
8．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）
A．B．1C．D．2
10．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，虚轴的两个端点分别为，，若四边形的内切圆面积为，则双曲线焦距的最小值为（ ）
A．8B．16C．D．
11．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为( )
A．B．C．D．
12．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设（其中为自然对数的底数），，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为________.
14．从编号为，，，的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.
15．已知平面向量，，且，则向量与的夹角的大小为________．
16．复数为虚数单位）的虚部为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用
（1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望；
（2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据：
①用最小二乘法求与的回归直线方程；
②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值
参考数据和公式：，
18．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，证明：对；
（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。
19．（12分）设数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
20．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，，为的中点，为棱上的一点.
（1）证明：面面；
（2）当为中点时，求二面角余弦值.
21．（12分）在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
22．（10分）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.
（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可．
【详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A．
【点睛】
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等．
2、C
【解析】
可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可．
【详解】
分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教师，有．
∴共有结对方式60＋90＝150种．
故选：C．
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为．
3、C
【解析】
根据表中数据，即可容易求得中位数.
【详解】
由图表可知，种子发芽天数的中位数为，
故选：C.
【点睛】
本题考查中位数的计算，属基础题.
4、A
【解析】
构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.
由得，所以，故不等式的解集为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
5、C
【解析】
求出集合，然后与集合取交集即可．
【详解】
由题意，，，则，故答案为C.
【点睛】
本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．
6、B
【解析】
试题分析：圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是．要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，，故的最大值为，故选B．
考点：圆与圆的位置关系及其判定．
【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求式子的最大值．
7、B
【解析】
根据函数的周期性以及x∈[﹣3，﹣2]的解析式，可作出函数f（x）在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.
【详解】
由f（x+2）＝f（x），得f（x）是周期函数且周期为2，
先作出f（x）在x∈[﹣3，﹣2]时的图象，然后根据周期为2依次平移，
并结合f（x）是偶函数作出f（x）在R上的图象如下，
选项A，，
所以，选项A错误；
选项B，因为，所以，
所以f（sin3）＜f（﹣cs3），即f（sin3）＜f（cs3），选项B正确；
选项C，，
所以，即，
选项C错误；
选项D，，选项D错误.
故选：B.
【点睛】
本题考查函数性质的综合运用，考查函数值的大小比较，考查数形结合思想，属于中档题.
8、A
【解析】
由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得，结合的范围即可求解
【详解】
如图，其中，所以
.
故选：A
【点睛】
本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题
9、B
【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.
【详解】
解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根
∴
又是正项等比数列，所以
∴.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
10、D
【解析】
根据题意画出几何关系，由四边形的内切圆面积求得半径，结合四边形面积关系求得与等量关系，再根据基本不等式求得的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.
【详解】
根据题意，画出几何关系如下图所示：
设四边形的内切圆半径为，双曲线半焦距为，
则
所以，
四边形的内切圆面积为，
则，解得，
则，
即
故由基本不等式可得，即，
当且仅当时等号成立.
故焦距的最小值为.
故选：D
【点睛】
本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.
11、B
【解析】
由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项.
【详解】
由题可知.
所以
令，
得
令，得
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.
12、B
【解析】
由平面向量垂直的数量积关系化简，即可由平面向量数量积定义求得与的夹角.
【详解】
根据平面向量数量积的垂直关系可得，
，
所以，即，
由平面向量数量积定义可得，
所以，而，
即与的夹角为.
故选：B
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的运算，平面向量夹角的求法，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
求函数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，利用一元二次函数根的分布进行求解即可．
【详解】
当时，，
由得：，解得，
由得：，解得，
即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），
当，，
当，，
作出函数的图象如图，
设，
由图象知，当或，方程有一个根，
当或时，方程有2个根，
当时，方程有3个根，
则，等价为，
当时，，
若函数恰有4个零点，
则等价为函数有两个零点，满足或，
则，
即（1）
解得：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及．求的导数，研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题．
14、
【解析】
基本事件总数，第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，由此能求出概率.
【详解】
解：从编号为，，，的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，
基本事件总数，
第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个，分别为：，，，，，，，.
所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为.
故答案为.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，属于基础题.
15、
【解析】
由，解得，进而求出，即可得出结果.
【详解】
解：因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的大小为．
都答案为：.
【点睛】
本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题．
16、1
【解析】
试题分析：，即虚部为1，故填：1.
考点：复数的代数运算
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析，12.5（2）①②20
【解析】
(1) 运用分层抽样，结合总场次为100，可求得的值，再运用古典概型的概率计算公式可求解果;
(2) ①由公式可计算的值，进而可求与的回归直线方程；
②求出，再对函数求导，结合单调性，可估计这四个篮球馆月惠值最大时的值.
【详解】
解：（1）抽样比为，所以分别是，6，7，8，5
所以两数之和所有可能取值是：10，12，13，15
，，，
所以分布列为
期望为
（2）因为
所以，，
；
②，
设，
所以当递增，当递减
所以约惠值最大值时的值为20
【点睛】
本题考查直方图的实际应用，涉及求概率，平均数、拟合直线和导数等问题，关键是要读懂题意，属于中档题.
18、 (1)见证明；(2)
【解析】
（1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；
（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值．
【详解】
(1)当时，，于是，.
又因为，当时，且.
故当时，，即.
所以，函数为上的增函数，于是，.
因此，对，；
(2) 方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，
①当时，为上的增函数，
注意到，，
所以，存在唯一实数，使得成立.
于是，当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数；
所以为函数的极小值点；
②当时，在上成立，
所以在上单调递增，所以在上没有极值；
③当时，在上成立，
所以在上单调递减，所以在上没有极值，
综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.
方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.
即在上存在零点.
设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.
即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.
下面证明，当时，函数在上存在极值.
事实上，当时，为上的增函数，
注意到，，所以，存在唯一实数，
使得成立.于是，当时，，为上的减函数；
当时，，为上的增函数；
即为函数的极小值点.
综上所述，当时，函数在上存在极值.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题．
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）令可求得的值，令时，由可得出，两式相减可得的表达式，然后对是否满足在时的表达式进行检验，由此可得出数列的通项公式；
（2）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果.
【详解】
（1），
当时，；
当时，由得，
两式相减得，.
满足.
因此，数列的通项公式为；
（2）.
①当为奇数时，；
②当为偶数时，.
综上所述，.
【点睛】
本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）要证明面面，只需证明面即可；
（2）以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系，分别计算出面法向量，面的法向量，再利用公式计算即可.
【详解】
证明：（1）因为底面为正方形，所以
又因为，，满足，
所以
又，面，面，
，
所以面.
又因为面，所以，面面.
（2）由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系如图所示，
则，，,，则，.
所以，，，，
设面法向量为，则由得，
令得，，即；
同理，设面的法向量为，
则由得，
令得，，即，
所以，
设二面角的大小为，则
所以二面角余弦值为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求二面角，考查学生的运算求解能力，此类问题关键是准确写出点的坐标，是一道中档题.
21、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.
【详解】
(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，
底面，底面，故，
且，故平面，
平面，
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，
设平面的一个法向量为,
则：，
据此可得平面的一个法向量为，
而，
设直线与平面所成角为，
则.
(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，
设，，
据此可得：，即：,
从而点F的坐标为，
据此可得：,，
结合题意有：，解得：.
故点F为中点时满足题意.
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22、（1）①，③，④或②，③，④；（2）.
【解析】
（1）由①可求得的值，由②可求出角的值，结合题意得出，推出矛盾，可得出①②不能同时成为的条件，由此可得出结论；
（2）在符合条件的两组三角形中利用余弦定理和正弦定理求出对应的边和角，然后利用三角形的面积公式可求出的面积.
【详解】
（1）由①得，，
所以，
由②得，，
解得或（舍），所以，
因为，且，所以，所以，矛盾.
所以不能同时满足①，②.
故满足①，③，④或②，③，④；
（2）若满足①，③，④，
因为，所以，即.
解得.
所以的面积.
若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，
所以，所以的面积.
【点睛】
本题考查三角形能否成立的判断，同时也考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形面积的计算，要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理或余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.
发芽所需天数
1
2
3
4
5
6
7
种子数
4
3
3
5
2
2
1
0
x
10
15
20
25
30
35
40
y
10000
11761
13010
13980
14771
15440
16020
2.99
3.49
4.05
4.50
4.99
5.49
5.99