2026届黑龙江省大庆第一中学高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析

这是一份2026届黑龙江省大庆第一中学高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了已知集合，，，则集合，已知复数z，则复数z的虚部为，已知等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．函数的定义域为，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．正方体，是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面平行的直线有几条（ ）
A．36B．21C．12D．6
4．已知函数的最小正周期为的图象向左平移个单位长度后关于轴对称，则的单调递增区间为( )
A．B．
C．D．
5．过点的直线与曲线交于两点，若，则直线的斜率为( )
A．B．
C．或D．或
6．在三棱锥中，，且分别是棱，的中点，下面四个结论：
①；
②平面；
③三棱锥的体积的最大值为；
④与一定不垂直.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①④D．①②④
7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
8．已知集合，，，则集合( )
A．B．C．D．
9．已知复数z，则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．iD．i
10．已知（i为虚数单位，），则ab等于（ ）
A．2B．-2C．D．
11．已知纯虚数满足，其中为虚数单位，则实数等于（ ）
A．B．1C．D．2
12．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为( )
A． B． C．或－D．和－
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设全集，，，则______.
14．已知，，，的夹角为30°，，则_________.
15．近年来，新能源汽车技术不断推陈出新，新产品不断涌现，在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术，它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上，车载动力蓄电池充放电循环次数达到2000次的概率为85%，充放电循环次数达到2500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电，那么他的车能够充电2500次的概率为______.
16．已知函数，若，则的取值范围是__
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某企业原有甲、乙两条生产线，为了分析两条生产线的效果，先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值．该项指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品．
乙生产线样本的频数分布表
（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率，估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率；
（2）现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线，根据上述图表所提供的数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关？若有90%把握，请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好？
附：，．
18．（12分）平面直角坐标系中，曲线：.直线经过点，且倾斜角为，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；
（2）若直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值．
19．（12分）已知数列，其前项和为，满足，，其中，，，.
⑴若，，（），求证：数列是等比数列；
⑵若数列是等比数列，求，的值；
⑶若，且，求证：数列是等差数列.
20．（12分）设函数，，其中，为正实数.
（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；
（2）设，证明：对任意，都有.
21．（12分）第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表．
已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由；
（2）已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
下面的临界值表仅供参考
22．（10分）如图，三棱台中， 侧面与侧面是全等的梯形，若，且.
（Ⅰ）若，，证明：∥平面；
（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
求出集合，计算出和，即可得出结论.
【详解】
，，，.
故选：C.
【点睛】
本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2、A
【解析】
根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.
【详解】
解：由函数得，解得，即；
又，解得，即，
则.
故选：A.
【点睛】
本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.
3、B
【解析】
先找到与平面平行的平面，利用面面平行的定义即可得到.
【详解】
考虑与平面平行的平面，平面，平面，
共有，
故选：B.
【点睛】
本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义，涉及到了简单的组合问题，是一中档题.
4、D
【解析】
先由函数的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数的解析式，从而得出的解析式，再根据正弦函数的单调递增区间得出函数的单调递增区间，可得选项.
【详解】
因为函数的最小正周期是，所以，即，所以，
的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为，
由于其图象关于轴对称，所以，又，所以，所以，
所以，
因为的递增区间是：，，
由，，得：，，
所以函数的单调递增区间为（）.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于中档题.
5、A
【解析】
利用切割线定理求得，利用勾股定理求得圆心到弦的距离，从而求得，结合，求得直线的倾斜角为，进而求得的斜率.
【详解】
曲线为圆的上半部分，圆心为，半径为.
设与曲线相切于点，
则
所以
到弦的距离为，，所以，由于，所以直线的倾斜角为，斜率为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
6、D
【解析】
①通过证明平面，证得；②通过证明，证得平面；③求得三棱锥体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得与一定不垂直.
【详解】
设的中点为，连接，则，，又，所以平面，所以，故①正确；因为，所以平面，故②正确；当平面与平面垂直时，最大，最大值为，故③错误；若与垂直，又因为，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因为，所以显然与不可能垂直，故④正确.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
7、D
【解析】
设，，根据和抛物线性质得出，再根据双曲线性质得出，，最后根据余弦定理列方程得出、间的关系，从而可得出离心率．
【详解】
过分别向轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为、，不妨设，，
则，
为双曲线上的点，则，即，得，，
又，在中，由余弦定理可得，
整理得，即，，解得或.
故选：D.
【点睛】
本题考查了双曲线离心率的求解，涉及双曲线和抛物线的简单性质，考查运算求解能力，属于中档题．
8、D
【解析】
根据集合的混合运算，即可容易求得结果.
【详解】
，故可得.
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的混合运算，属基础题.
9、B
【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出
【详解】
，
则复数z的虚部为.
故选：B.
【点睛】
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
10、A
【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．
【详解】
，
，得，．
．
故选：．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．
11、B
【解析】
先根据复数的除法表示出，然后根据是纯虚数求解出对应的的值即可.
【详解】
因为，所以，
又因为是纯虚数，所以，所以.
故选：B.
【点睛】
本题考查复数的除法运算以及根据复数是纯虚数求解参数值，难度较易.若复数为纯虚数，则有.
12、C
【解析】
直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．
【详解】
如图，直线过定点（0，1），
∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，
∴由对称性可知k=±．
故选C．
【点睛】
本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【详解】
解：，或；
∴；
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
14、1
【解析】
由求出，代入，进行数量积的运算即得.
【详解】
，存在实数，使得.
不共线，.
，，，的夹角为30°，
.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.
15、
【解析】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，即求条件概率：，由条件概率公式即得解.
【详解】
记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2000次充电”为事件A，“他的车能够充电2500次”为事件B，
即求条件概率：
故答案为：
【点睛】
本题考查了条件概率的应用，考查了学生概念理解，数学应用，数学运算的能力，属于基础题.
16、
【解析】
根据分段函数的性质，即可求出的取值范围.
【详解】
当时， ，
，
当时，，
所以，
故的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查分段函数的性质，已知分段函数解析式求参数范围，还涉及对数和指数的运算，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）0.0081（2）见解析，保留乙生产线较好．
【解析】
(1)先求出任取一件产品为合格品的频率，“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出的观测值即可判断.
【详解】
（1）根据甲生产线样本的频率分布直方图，样本中任取一件产品为合格品的频率为：
．
设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件，事件发生的概率为，则由样本可估计．
那么“从甲生产线生产的产品中任取5件，恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验，事件恰好发生2次，其概率为：．
（2）列联表：
的观测值，
∵，，
∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关．
由（1）知甲生产线的合格率为0.9，
乙生产线的合格率为，
∵，
∴保留乙生产线较好．
【点睛】
此题考查独立重复性检验二项分布概率，独立性检验等知识点，认准特征代入公式即可，属于较易题目.
18、（Ⅰ）（t为参数）；（Ⅱ）或或.
【解析】
试题分析: 本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，用，化简表达式，得到曲线的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出的值.
试题解析：（1）即,
.
（2）
,
符合题意
考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系.
19、（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：（1）(), 所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.
试题解析：
（1）证明：若，则当(),
所以，
即，
所以，
又由，，
得，，即，
所以，
故数列是等比数列．
（2）若是等比数列，设其公比为（ ），
当时，，即，得
， ①
当时，，即，得
， ②
当时，，即，得
， ③
②①，得 ，
③②，得 ，
解得．
代入①式，得．
此时()，
所以，是公比为１的等比数列，
故．
（3）证明：若，由，得，
又，解得．
由，， ，，代入得，
所以，，成等差数列，
由，得，
两式相减得：
即
所以
相减得：
所以
所以
，
因为，所以，
即数列是等差数列.
20、（1） （2）证明见解析
【解析】
(1)据题意可得在区间上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的的取值范围；(2)不等式整理为，由(1)可知当时，，利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立，从而证明对任意，都有.
【详解】
（1）解：因为函数的图象恒在的图象的下方，
所以在区间上恒成立.
设，其中，
所以，其中，.
①当，即时，，
所以函数在上单调递增，，
故成立，满足题意.
②当，即时，设，
则图象的对称轴，，，
所以在上存在唯一实根，设为，则，，，
所以在上单调递减，此时，不合题意.
综上可得，实数的取值范围是.
（2）证明：由题意得，
因为当时，，，
所以.
令，则，
所以在上单调递增，，即，
所以，从而.
由（1）知当时，在上恒成立，整理得.
令，则要证，只需证.
因为，所以在上单调递增，
所以，即在上恒成立.
综上可得，对任意，都有成立.
【点睛】
本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.
21、（1）有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．见解析（2）分布列见解析，期望为1．
【解析】
（1）由在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为可得列联表，然后计算后可得结论；
（2）由已知的取值分别为，分别计算概率得分布列，由公式计算出期望．
【详解】
解：（1）根据在抽取的户居民中随机抽取户，到分类意识强的概率为，可得分类意识强的有户，故可得列联表如下：
因为的观测值，
所以有的把握认为居民分类意识强与政府宣传普及工作有很大关系．
（2）现在从试点前分类意识强的户居民中，选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，则0，1，2，3，
故，，
，，
则的分布列为
．
【点睛】
本题考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和数学期望．考查学生的数据处理能力和运算求解能力．
22、 (Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 连接，由比例可得∥，进而得线面平行；
（Ⅱ）过点作的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设，则求得平面的法向量为，设平面的法向量为，由求二面角余弦即可.
试题解析：
（Ⅰ）证明：连接，梯形，,
易知：；
又，则∥；
平面，平面，
可得：∥平面；
（Ⅱ）侧面是梯形，，
,,
则为二面角的平面角， ；
均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则
,故点，
；
设平面的法向量为，则有：；
设平面的法向量为，则有：；
，
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
质量指标
合计
频数
2
18
48
14
16
2
100
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
不合格品
合计
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
分类意识强
分类意识弱
合计
试点后
试点前
合计
甲生产线
乙生产线
合计
合格品
90
96
186
不合格品
10
4
14
合计
100
100
200
分类意识强
分类意识弱
合计
试点后
试点前
合计