四川省内江市第六中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省内江市第六中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（每题 5 分，共 40 分）
1. 复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】对 化简即可.
【详解】 ，复平面内对应的点坐标为 ，因此位于第一象限.
2. 若 ， 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】B
【解析】
【详解】因为向量 ， 是平面内的一组基底，可得向量 ， 为平面内不共线的向量，
对于 A 中，设 ，可得 ，此时方程组无解，
所以向量 和 不共线，可以作为平面的一组基底；
对于 B 中，设 ，可得 ，解得 ，
所以向量 和 为共线向量，不能作为平面的一组基底；
对于 C 中，设 ，可得 ，此时方程组无解，
所以向量 和 不共线，可以作为平面的一组基底；
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对于 D 中，设 ，可得 ，此时方程组无解，
所以向量 和 不共线，可以作为平面的一组基底.
3. 某校高中生共有 3000 人，其中高一年级 900 人，高二年级 600 人，高三年级 1500 人，现采用分层抽样
的方法随机抽取容量为 150 人的样本，那么高一､高二､高三年级被抽取的人数分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义求出抽样比，按此比例求出各个年级的人数即可.
【详解】依题意，高一年级被抽取的人数为 人，
高二年级被抽取的人数为 人，
高三年级被抽取的人数为 人.
故选：A
4. 若向量 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求得 ，再利用向量 在向量 上的投影向量公式求解.
【详解】由 ， ，得 ，所以 .
所以向量 在向量 上的投影向量为 ，故 B 正确.
5. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用和角的正弦公式将 展开，再用商数关系弦化切即可求解.
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【详解】因为 ，
将式子的左右两侧同时除以 ，可得
，
即 .
故选：D
6. 中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而
流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 ，高约为
，在地面上点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部 ，鹳雀楼顶部 的仰角分别为 和
，在 处测得楼顶部 的仰角为 ，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 、 、 ，再利用正弦定理计算即可得解.
【详解】 ， ，
，则 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
则 .
7. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即 中，角 所对的边分
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别 为 ， 则 的 面 积 ． 已 知 面 积 为 ， 且
，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知条件得 ，求得 的值，再结合余弦定理即可求得角 C.
【详解】根据题意得 ，
将 代入得： ，化简可得： ，
由余弦定理可得： ,
因为 ，所以 .
故选：A.
8. 向量 是互相垂直的单位向量，向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设 ， ， ，将问题化为圆 上的点到点 的距离，
即可得.
【详解】已知向量 ， 是互相垂直的单位向量，
设 ， ， ，
由 ，则 ，
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由 ， ，
其几何意义是圆 上的点到点 的距离，
圆心 到 的距离为 ，圆的半径为 2，
所以 的取值范围是 ．
故选：D
二、多选题（每题 6 分，共 18 分）
9. 已知复数 （ 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 复数 的虚部为
C. 若 对应的向量为 ， 对应的向量为 ，则向量 对应的复数为
D. 若复数 是关于 的方程 的一个根，则
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于 A：因为 ，故 A 正确；
对于 B：因为 ，所以 的虚部为 ，故 B 错误；
对于 C：由题意知： 对应的复数为 ， 对应的复数为 ，
则向量 ，对应的复数为 ，故 C 正确；
对于 D：因为实系数一元二次方程的复数根是共轭复数，所以另一个根为 ，
根据韦达定理： ，
即 ，所以 ；
；
所以 ，故 D 正确.
10. 函数 的部分图象如图所示，则（ ）
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A.
B. 点 为 图象的一个对称中心
C. 时， 的值域为
D. 若 ，则
【答案】AB
【解析】
【分析】对 A，根据图象振幅确定 ，结合周期公式算出 ，再代入最低点坐标求出初相 ，
从而确定函数表达式；对 B，将 代入函数表达式，验证 ，说明该点是函数图象的一个对
称中心；对 C，先确定当 时， 的取值范围，再根据正弦函数的单调性判断值域是否
正确；对 D，先由 求出 ，再利用三角恒等变换公式将 转化为关于
的表达式，进而求出结果．
【详解】对于 A：由图象知 ，
由函数图象的对称性可知 的一个最低点为 ，即 ，
又 的最小正周期为 ， ，
由 可得 ，即 ，
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即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，A 正确；
对于 B：因 ，所以点 为 图象的一个对称中心，B 正确；
对于 C：当 时， ，则 的值域为 ，C 错误；
对于 D： ，所以 ，
则 ，D 错误．
11. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，则下列说法正
确的是（ ）
A. 若 ，则 的外接圆的面积为
B. 若 ，且 有两解，则 的取值范围为
C. 若 ，且 为锐角三角形，则 的取值范围为
D. 若 ，且 ， 为 的内心，则 的面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】借助余弦定理将角化为边计算可得 ；对 A：由 可得 ，再利用正弦定理与
圆的面积公式计算即可得；对 B：由正弦定理结合 有两解，可得 ，解出即可得；对
C：借助正弦定理可得 ，结合锐角三角形性质可求出 的范围，即可得解；对 D：借助三角形内
角关系及三角恒等变换公式计算可得 ，从而可得该三角形各角及边长，再利用等面积法可得 内切
圆的半径，即可得解.
【详解】由 和余弦定理，可得 ，
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化简得 ，解得 ；
对 A：因为 ， ，所以 ，
设 的外接圆的半径为 ，由正弦定理， ，所以 ，
所以 的外接圆的面积为 ，A 不正确；
对 B：由正弦定理可得 ，
有两解等价于 有两个不同值，所以 ，解得 ，B 正确；
对 C：因为 ，所以 ，
整理得 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，
解得 ，所以 ，所以 c 的取值范围为 ，C 正确；
对 D：因为 ， ，所以 ，
则 ，解得 ，
由于 为锐角，所以 ，即 ；
因为 ，则 、 ，
设 内切圆的半径为 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以 ，D 正确.
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三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
12. 已知向量 ，向量 ，若 与 垂直，则实数 的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可.
【详解】若 ， ， ，
则 ，解得 .
故答案为： .
13. 定义向量 的一种新运算： ，其中 是向量 的夹角.已知
，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据定义得到方程，求出 ，再用余弦二倍角公式求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
解得 ，则 .
故答案为： .
14. 已知：①任何一个复数 都可以表示成 的形式．其中 是复数 的模， 是以
轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 OZ）为终边的角，叫做复数 的辐角，
叫做复数 的三角形式．② 被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程 （n 为正整数）有 个不同的复数根．
（1）设 ，则 ___________；
（2）满足方程 的复数 的值所组成的集合为___________．
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【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得.
（2）设 ，利用指数运算，结合定义求得 ，进而求出 得解.
【详解】（1）依题意， ，
所以 .
（2）设 ，则 ，
因此 ， ，解得 ，
由终边相同的角的意义，取 ，则对应的 依次为 ，
因此对应的 依次为 ，
所以所求的集合是 .
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已知条件的理解辨析，以及复数乘法的计算.
四、解答题（共 77 分）
15. 已知向量 ， ．
（1）若 ，求 的坐标；
（2）若 ，求 与 夹角的余弦值．
【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）设 ，代入 求值即可；
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（2）由 ，得 ，利用向量数量积和向量的模，求夹角的余弦.
【小问 1 详解】
由 ，设 ， ， ，
， 或 ．
【小问 2 详解】
， ，
， ，
， ．
设 与 的夹角为 ，则 ．
与 的夹角 的余弦值为 ．
16. 已知函数 的图象关于直线 对称，其中
（1）求 的值；
（2）求函数 的对称中心；
（3）在 中， ， ， 分别为三个内角 ， ， 的对边，锐角 满足 ，
，求 面积的最大值．
【答案】（1）1 （2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）先利用三角恒等变形得 ，再代入对称轴，结合 即可求
解；
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（2）利用整体法，令 即可得到对称中心；
（3）由题可得 ，再求出 ，然后利用余弦定理结合基本不等式求出 的最大值，进而根
据 即可求解．
【小问 1 详解】
化简可得 ，
函数 的图象关于直线 对称，
， ，
， ，又 ，
解得 ；
【小问 2 详解】
函数 的解析式为 ；
令 ，则 ，
所以函数 的对称中心为 ， ；
【小问 3 详解】
在 中锐角 满足 ，
， ，
又 ， 由余弦定理可得 ，
，当且仅当 时，等号成立，
面积 ，
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面积的最大值为 ．
17. 已知向量 ； ，函数
（1）求 的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数 的图象先向左平移 个单位，再将横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数
，
（ⅰ）求 的解析式；
（ⅱ）当 时，求函数 有两个解．求 m 取值范围；
【答案】（1） ，
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）先利用平面向量数量积的坐标表示以及辅助角公式对函数解析式进行化简，再根据周期的计
算公式以及单调区间的求法即可求解；
（2）（ⅰ）根据三角函数图形伸缩、平移变换的规律得到 ；
（ⅱ）根据题意 有两个解，根据正弦函数图象可得解.
【小问 1 详解】
已知向量 ； ，
则
,
所以最小正周期 ，
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令 ，可得 ，
所以 的单调递减区间是 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）将函数 的图象先向左平移 个单位，
得 ，
再将横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，
得到函数 ；
（ⅱ）当 时， ，
由 有两个解，可得 有两个解，
根据 ，由正弦函数图象可得 ，
得 .
18. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 ；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求 的周长的取值范围；
（3）若 ， ， 的平分线交边 于点 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）由 ，利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式求解；
（2）根据 为锐角三角形， ，由 得到 ，再利用正弦定理结合三角恒等
变换得到 求解；
（3）由 得到 ，再利用余弦定理得到 ，然后根据 为角平分线，由
求解.
【小问 1 详解】
由 ，可得 ，
化简得 ，
，
，又 ，
所以 ，即 ；
【小问 2 详解】
因为 为锐角三角形， ，
所以 ，即 ，解得
由正弦定理可知 ，即 ，
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所以 ，
由 ，可得 ，则 ，
则 ，则 的周长 的取值范围为 ；
【小问 3 详解】
由 得 ，即 ，
由 ，即 ，解得 ，
所以 ，解得 ，
可知 ，即 ，
由 ，可得 ，
所以 ，得 ，
解得 .
19. 如图，设 、 是平面内相交成 的两条射线， 、 分别为 、 同向的单位向
量，定义平面坐标系 为 仿射坐标系，在 仿射坐标系中，若 ，则记
．
（1）在 仿射坐标系中，若 ，求 ；
（2）在 仿射坐标系中，若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 ；
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（3）如图所示，在 仿射坐标系中， 、 分别在 轴、 轴正半轴上， ， ，
、 分别为 、 中点，求 的最大值．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题设 且 、 的夹角为 ，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长；
（2）由题设 ， ，且 ，应用向量数量积的运算律求 的数量积和
模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得；
（3）设 、 （ ， ），且 ， ， ，进而有
、 ，可得 ，在 中应用
正余弦定理及三角恒等变换化简并求出 的最大值.
【小问 1 详解】
由题意可知， 、 的夹角为 ，
由平面向量数量积的定义可得 ，
因为 ，则 ，
则 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由 ， ，得 ， ，
且 ，
所以 ，
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，
则 ，
，
因为 与 的夹角为 ，所以 ，解得 .
又 ， ，所以 ；
【小问 3 详解】
依题意，设 、 （ ， ），且 ， ， ，
因为 为 的中点，则
，
因为 为 中点，同理可得 ，
所以 ，
由题意知 ， ，
则 ，
在 中，依据余弦定理得 ，所以 ，
代入上式得， .
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在 中，由正弦定理得 ，
设 ，则 ，且 ，
所以 ， ，
， 为锐角，且 ，
因为 ，则 ，
故当 时， 取最大值 ，
则 .
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