四川省南江中学2025-2026学年高一下学期期中检测数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省南江中学2025-2026学年高一下学期期中检测数学试题（Word版附解析），共2页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回．， 下列代数式的值为 的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．
3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知复数 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简复数 ,再根据虚部定义得结果.
【详解】因为 ,所以复数 的虚部为 ，选 A.
【点睛】本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题.
2. 已知向量 ，则向量 在 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】向量 在 上的投影向量为 .
3. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【详解】由二倍角余弦公式可知 ，
即 .
4. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A. ， ， ，有两解
B. ， ， ，有一解
C. ， ， ，有一解
D. ， ， ，无解
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理和余弦定理依次判断 A，B，C，D 即可.
【详解】A 中，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即只有一解，故 A 错误；
B 中，因为 ，所以 ，
且 ，所以 ，故有两解，故 B 错误；
C 中，因 ，所以 ，
又 ，所以角 B 只有一解，故 C 正确；
D 中，因为 , , ，所以 ，有解，故 D 正确.
故选：C.
5. 在平行四边形 ABCD 中， 为 AB 中点， 为 BC 上一点，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【详解】因为 是 的中点， ，
因为 ，所以 ，又 ，
由题意得 ，故 B 正确.
6. 在 中， ， ， ， 为边 AC 上一点，且 BD 平分 ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】
因为 BD 平分 ，所以 ，
又因为 ，所以 ， ，
在 中， ,
在 中， ，
所以 ．
7. 如图，设 ，线段 DE 与 BC 交于点 ，且 ，则 的
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最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算，结合向量共线定理可得 ，即可利用基本不等式求解最值.
【详解】解：由 ， ，又 ，故 ，所以
.
因为 ，所以 ，又 三点共线，
所以 .
因此，当 ， 时，
，
当且仅当 ，即 时取等号，所以最小值为 .
8. 将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 上没有零点，则 的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数 ，再利用正弦曲线的零点即可求得 的
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取值范围
【详解】将函数 的图象先向右平移 个单位长度，得到
再把所得函数图象的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，
得到函数
由函数 在 上没有零点，则 ，则
由 ，可得
假设函数 在 上有零点，
则 ，则
由 ，可得
又 ，则
则由函数 在 上没有零点，且 ，可得
故选：A
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列代数式的值为 的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代
数式的值，判断是否等于 .
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【详解】选项 A：由二倍角余弦公式 ，
得 ，A 错误.
选项 B：由二倍角正弦公式 ，
得 ，B 正确.
选项 C：由同角三角函数关系 ，
代入得 ，C 正确.
选项 D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：
，D 错误.
10. 函数 的部分图象如图所示， ， 是
相邻的两个零点，则（ ）
A.
B.
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 若函数 在区间 上至少有 10 个零点，则实数 t 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】借助图象结合余弦型函数性质可得该函数解析式，即可得 A；借助零点定义计算可得 B；借助余弦
函数对称轴代入检验可得 C；利用余弦型函数零点计算可得 D.
【详解】由图可得 ，解得 ，
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且有 ，则 ，即 ，
则 ，解得 ，
又 ，则 ，故 ；
对 A：由上知， ，故 A 正确；
对 B：令 ，则 ，
则 或 ，
即 或 ，
则 或 ，故 B 错误；
对 C：当 时， ，
由 不是函数 的对称轴，
故 不是函数 的对称轴，故 C 错误；
对 D：当 时， ，
令 ，
由 B 得， 或 ，
由函数 在区间 上至少有 10 个零点，
则 ，解得 ，
故实数 t 的最小值为 ，故 D 正确.
11. 平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 ， ，
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，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当 时，
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】对于 A， ， ，所以 ，A 正确；
对于 B， ，当 时， ，B
错误；
对于 C， ，
因为 ，
所以 ，
因为向量夹角范围为 ，所以 ，C 正确；
对于 D， ，
所以
，
令 ，则 ，
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所以 ，故 ，D 正确．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 的值域为______
【答案】
【解析】
【详解】 ，由 ，
得 ，令 ，则 ，
，函数 在 上单调递减，
当 时， ；
当 时， ，故函数的值域为 .
13. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探
测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段 ， 和圆的优弧
围成，其中 ， 恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为 2，点 到圆弧所在圆圆心的距离为 4，则
该封闭图形的面积为________．
【答案】 ;
【解析】
【分析】作出辅助线，得到 ， ，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到
答案.
【详解】取优弧 所在圆的圆心 ，连接 ， ，则 ⊥ ， ⊥ ，
则 ，所以 ，则 ，
，
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故优弧 对应的圆心角为 ，对应的扇形面积为 ，
而 ，
所以该封闭图形的面积为 .
故答案为： .
14. 如图，给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，其夹角为 ，点 在以 为圆心的圆弧 上变动，
若 ，则 的最大值是______．
【答案】2
【解析】
【分析】以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，设 ，结合已知条件得出
点坐标，进而得出向量 的坐标，根据 构建方程组得出 与
的关系，进而得出 的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出 的最大值．
【详解】以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系如下：
由已知条件可知， ， ，设 ， ，则 ，
，
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，
，
，
，
，
，
故答案为：2．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 ， 满足， ， ， ， 的夹角为 .
（1） ；
（2）若 与 的夹角为钝角，求实数 k 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） 且 .
【解析】
【分析】（1）利用数量积的定义及运算律求解.
（2）利用向量的夹角公式及向量共线列式求解.
【小问 1 详解】
由 ， ， ， 的夹角为 ，得 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由 与 的夹角为钝角，得 ，且 与 不共线，
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由 ，得 ，
即 ，解得 ；
由 与 共线， 不共线，得 ，解得 ，
因此由 与 不共线，得 ，则 且 ，
所以 的取值范围为 且 .
16. 在△ 中， .
（1）求 ；
（2）若 ，且△ 的面积为 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
2
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角求解.
（2）利用三角形面积公式求解.
【小问 1 详解】
在△ 中，由 及正弦定理，得 ，
而 ，则 ，又 ，所以 .
【小问 2 详解】
由 及 的面积为 ，得 ，解得 ，
因此 ，即 为正三角形，所以 .
17. 已知函数 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ．
（1）求 的值和 在区间 上的单调递减区间；
（2）当 时，关于 的方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
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（2）
【解析】
【小问 1 详解】
由相邻对称轴间距为 ，得周期 .
由 ，且 得 ，即 .
令 ， 解得 .
结合定义域 ，对整数 分类讨论：
取 时，得区间 ，该区间完全包含在 内，符合要求；
取 时，得区间 ，与 无交集，舍去；
取 时，得区间 ，与 无交集，舍去。
同理易得 取非零整数时， 单调区间均与 无交集.
综上所述， 在 上的单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
方程 可化为 ， 即函数 与直线 的图象有 个不同交点， 时，
.
令 ， 在 有最大值 ，最小值 .
故 .
如图所示：
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当 时，一个函数值对应 个不同 ；
当 或 时，一个函数值对应 个 .
要使 有 个不等实根，需满足 ， 解得 .
18. 已知锐角三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的取值范围；
（3）若 ，求三角形 面积的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明 .
（2）根据锐角三角形限制确定角 的取值范围，通过正弦定理将 转化为关于 的三角函数，推导三倍角
公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得 的取值范围.
（3）将三角形面积转化为关于角 的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围.
【小问 1 详解】
∵ ，由正弦定理 （ 为 外接圆半径），
得 ， ，
代入得 ，即 .
∵ 在 中， ，∴ ，
∴ 代入上式得 ，
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整理得 ，即 .
∵ 为锐角三角形，∴ ， ，∴ ，
∴ 若 ，
则 或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去），
∴ ，得证.
【小问 2 详解】
为锐角三角形，
∴ ，解得 .
由正弦定理 ， ，得 .
∵ ，∴ ， ， ， .
∴ ， ，且 ，
∴ .
∵ ，代入得 .
令 ，∵ ，∴ ，则 .
任取 ，
则 .
∵ ，∴ ，又 ，∴ ，
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∴ ，即 ，∴ 在 上单调递增.
∴ 当 时， ；
当 时， ，
∴ .
【小问 3 详解】
三角形面积 ，由正弦定理 ， ， ，
∴ ，又 ， ，
∴ .
代入 ， ，
∴ .
令 ，由 得 ，则 ，
∴ ， ，
则 .
令 ， ，则 ，
该二次函数开口向上，对称轴为 ，故在 上单调递增，
当 ；
当
∴ ，又 ，故 ，
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即三角形 ABC 面积的取值范围为 .
19. 人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就
可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量 之间的相似度的一种定义为
．
（1）菱形 ABCD 中， ，动点 在直线 CD 上．
（ⅰ）当 时，求 ；
（ⅱ）求 的取值范围．
（2）在信息处理的过程中，有时为了增加 的相似度，会选取合适的正实数 ，将 调整为
后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量 ，及任意正实数 ，总有
．
【答案】（1）（ⅰ） ；（ⅱ）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）建立直角坐标系，用坐标法表示有关向量.
（ⅰ）利用 的定义求值；
（ⅱ）先利用定义表示 ，再利用函数的奇偶性结合基本不等式求 的取值范围.
（2）先表示出 ，通过换元法结合基本不等式进行证明.
【小问 1 详解】
如图：以 为原点，建立平面直角坐标系，不妨设 （ ）.
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则 ， ，所以
（ⅰ）因为点 在直线 CD 上，当 时， ，所以 .
所以 ， ， ，
所以 .
（ⅱ）因为点 在直线 CD 上，可设 ，则 .
所以 ， ， .
所以 .
设 ，由 ，所以函数 为奇函数.
当 时， （当且仅当 时取等号）.
所以 .
所以 .
【小问 2 详解】
因为 ，
， .
所以 .
设 ， ， ， .
则 ， .
问题转化为证明 ，即 .
只需证 .
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因为 不共线，所以 ，
所以 ，即 成立.
所以 成立.
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