四川省南部中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省南部中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
满分：150分 时间：120分钟
注意事项；
1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，在平行四边形中，点是对角线上靠近的三等分点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，，
在平行四边形中，.
点是上靠近的三等分点，故.
而，因此.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】已知，由.
分子分母同除以，得 .
代入， 原式.
3. 已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解.
【详解】角的终边经过点，
点到原点距离，
，，
所以.​
4. 已知单位向量满足则=（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据，即可求解.
【详解】由题意，单位向量，即，
又由，解得.
故选：C.
5. 函数的单调减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】余弦函数的单调减区间为.
令，代入得不等式：.
，化简得.
综上，函数的单调减区间为.
6. 已知，若，则＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】因为，，所以，，
又因为，所以，，
所以.
7. 函数的最小值为（ ）
A. -1B. C. -3D. -5
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
，其中，
所以的最小值为.
8. 已知锐角满足，则（ ）
A. B. 3C. 2D. 5
【答案】C
【解析】
【详解】由题意，，
解得或，由为锐角，得，
则，所以.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. 函数为偶函数D. ，
【答案】ABD
【解析】
【详解】由图象可知，最大值为2，最小值为，且，则，
相邻最高点与最低点的水平距离为，即，解得，
，故，
代入高点，则，故，
，取，得，
，故A正确；
，故B正确；
取，，，
则，不满足偶函数定义，故C错误；
，
对任意恒成立，故D正确．
11. 已知，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 若，则的取值范围为
C. 若且，则最大值为
D. 若，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用向量线性运算可得A；利用可得，结合向量线性运算可得B；借助模长公式与三角换元计算可得C；借助向量数量积公式计算可得D.
【详解】当、、能围成三角形，且、、时，有，
则，当、、共线且同向时，有，故，
故的取值范围为，故A正确；
若，则，则当与反向时，取最大值，
，当与同向时，取最小值，，故取值范围为，故B正确；
，即，则可设，，
则，其中，故最大值为，故C错误；
，由，则，
则，故，
故的最小值为.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则___________．
【答案】
【解析】
【详解】因为，所以，
因为，所以，，
所以.
13. 已知，且与互相垂直，则_______
【答案】##
【解析】
【详解】由与垂直，得.
展开得.
代入，，有，化简得.
由，得，
解得，故.
14. 已知向量是单位向量，向量在上的投影向量为，向量在上的投影向量为，则的最小值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平面向量减法的几何意义，结合投影向量的定义进行求解即可.
【详解】令，过作的垂线，在上任取一点，则，过作的垂线，在上任取一点，则，则．
故答案为：1
三、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）已知都是锐角，，求．
（2）求值：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】（1）因为都是锐角，所以.
已知，由同角三角函数基本关系得：.
已知，同理得：.
由两角差的正弦公式：.
代入数值计算：.
（2）通分合并原式：.
.
.
代入化简得：原式.
16. 已知平面向量，，且
（1）若向量与向量共线，求的值；
（2）求的值；
（3）求向量与夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量共线定理求解即可.
（2）利用向量数量积的运算律及向量的模计算即可.
（3）利用两向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
由向量与向量共线，得，
所以，解得，故向量与向量共线时的值为.
【小问2详解】
由，得，
即，所以.
所以.
【小问3详解】
.
.
设向量与夹角为，则.
17. 已知函数．
（1）求的解析式和对称轴方程；
（2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的单调递增区间．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、降幂公式及辅助角公式，可得的解析式，根据正弦型函数对称轴的求法，代入整理，即可得答案.
（2）根据平移、伸缩变换的原则，可得的解析式，根据正弦型函数单调性的求法，可得其单调区间，代入求解，综合即可得答案.
【小问1详解】
，
令，则，
所以对称轴方程为.
【小问2详解】
依题意得，，
令，解得，
又，所以当时，得一个单调增区间为，
当时，得一个单调增区间为，
所以的单调递增区间为．
18. 已知函数的周期是
（1）求函数的解析式；
（2）解不等式；
（3）若时，方程恰好有两个不同的根，求的取值范围及的值．
【答案】（1）
（2）
（3）的取值范围为，
【解析】
【分析】（1）先通过三角恒等变换化简函数，结合周期公式求出，进而得到函数解析式；
（2）将不等式转化为正弦型不等式，利用正弦函数的单调性求解；
（3）通过换元法将的范围转化为的范围，结合正弦函数的图像与性质确定的取值范围和的值.
【小问1详解】
，
又，
.
已知函数周期，且，故，解得.
因此.
【小问2详解】
解不等式，即.
根据正弦函数的图像性质，的解为.
令，代入得： ，解得
故不等式的解集为.
【小问3详解】
令，当时，，方程等价于.
结合在上的图像：
当时，直线与有两个不同的交点，对应两个不同的；
当时，仅有一个交点；当或时，交点数不足2.
因此的取值范围为.
由正弦函数的对称性，若，则，即，整理得，故.
【点睛】方法归纳：本题的核心是将复杂的三角函数式化简为正弦型函数，再结合三角函数的周期性、单调性与图像性质求解问题，常用的技巧有三角恒等变换、换元法与数形结合法.
易错归纳：1. 三角恒等变换中公式记忆错误，如两角和的正弦公式与余弦公式混淆；
2. 解三角不等式时，对正弦函数的区间判断失误；
3. 换元后未准确确定新变量的取值范围，导致的范围求解错误.
19. 已知函数（，，）的部分图像如图所示．
（1）求的解析式；
（2）求方程的解集；
（3）当时，关于x的方程有3个不同实根，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据函数图像，求出周期和，再结合图像上的特殊点求出振幅和，进而求出的解析式；
（2）代入解析式求解三角方程，注意写出完整的通解；
（3）利用数形结合，将方程根的个数问题转化为函数图像交点个数问题求解.
【小问1详解】
解：由图可知：，所以，
又，，所以，可得，
由图像过点，可得，
所以，，即，.
因为，所以，当时，，因此.
又图像过点，所以，所以，
因此.
【小问2详解】
解：当时，可得，即，
所以或，
解得或，
所以方程的解集为：或.
【小问3详解】
解：将方程化为 ，解得或.
作出函数在的图像，如下图所示，
由数形结合可知，方程有个不同实根，即函数与两条水平直线和的图像有个公共点.
又，所以由图像可知：当满足，即时，函数与两条水平直线和的图像共有个公共点，符合题意；当，即时，此时，函数与两条水平直线和共有个公共点，亦符合题意.
所以，当时，关于的方程有个不同实根时，的取值范围为或.