2025高考数学一轮复习-第32讲-基本立体图形及几何体的表面积与体积-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第32讲-基本立体图形及几何体的表面积与体积-专项训练【含解析】，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )
A.8πB.4π
C.8D.4
2.如图,在棱长为2的正方体中,以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体,则该正八面体的体积为( )
A.223B.43
C.423D.83
3.知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为23,高为6,则球O的表面积为( )
A.32πB.48πC.64πD.80π
4.如图1,在高为h的直三棱柱容器ABC-A1B1C1中,AB=AC=2,AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水,水深为2,然后固定容器底面的一边AB于地面上,再将容器倾斜,当倾斜到某一位置时,水面恰好为A1B1C(如图2),则容器的高h为( )
图1
图2
A.3B.4C.42D.6
5.已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为( )
A.212B.312C.24D.34
6.一个圆锥的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为( )
A.2∶3B.3∶2C.1∶2D.3∶4
7.甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙.若S甲S乙=2,则V甲V乙=( )
A.5B.22
C.10D.5104
8.棱长为23的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球,则这些小球的最大半径为( )
A.2B.22
C.24D.26
二、多项选择题
9.某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒,每盒可装7个球形巧克力,每盒只装一层,相邻的球形巧克力相切,与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切,如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面,设包装盒的底面半径为R,球形巧克力的半径为r,每个球形巧克力的体积为V1,包装盒的体积为V2,则( )
A.R=3rB.R=4r
C.V2=9V1D.2V2=27V1
10.已知圆台的轴截面如图所示,其上、下底面半径分别为r上=1,r下=2,母线AB长为2,E为母线AB中点,则下列结论正确的是( )
A.圆台母线AB与底面所成角为60°
B.圆台的侧面积为12π
C.圆台外接球半径为2
D.在圆台的侧面上,从C到E的最短路径的长度为5
11.如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB,记三棱锥E-ACD,F-ABC,E-ACF的体积分别为V1,V2,V3,则( )
A.V3=2V2B.V3=2V1
C.V3=V1+V2D.2V3=3V1
12.在正六棱锥P-ABCDEF中,已知底面边长为1,侧棱长为2,则( )
A.AB⊥PD
B.共有4条棱所在的直线与AB是异面直线
C.该正六棱锥的内切球的半径为15-34
D.该正六棱锥的外接球的表面积为16π3
三、填空题
13.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm3.
14.已知圆锥的母线与底面半径之比为3∶1,若一只蚂蚁从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9,则该圆锥的体积为 .
15.螺的形状结构如图所示,由一个同底的圆锥和圆柱组合而成,若圆锥和圆柱的高以及底面圆的半径长分别为h1,h2,r,且h1=h2=r,设圆锥的侧面积和圆柱的侧面积分别为S1和S2,则S1S2= .
16.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,AD=CD=CB=1,将△ACD沿AC折起,连接BD,得到三棱锥D-ABC,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 ,此时该三棱锥的外接球的表面积为 .
参考答案与解析
1.A 解析 以边长为2的正方形的一边所在直线为旋转轴,旋转一周得到的旋转体为圆柱,其底面半径r=2,高h=2,故其侧面积为S=2πr×h=2π×2×2=8π.
2.B 解析 该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成,且正四棱锥的底面是边长为2的正方形,棱锥的高为1,所以该正八面体的体积为2×13×2×2×1=43.
3.C 解析 因为6>23,故球心在圆锥的内部且在圆锥的高上.
设球O的半径为R,则(6-R)2+(23)2=R2,解得R=4,
故球O的表面积S=4πR2=64π.
4.A 解析 由题可得,在图1中,V水=12×2×2×2=4,在图2中,V水=VABC-A1B1C1−VC-A1B1C1=12×2×2×h-13×12×2×2×h=43h.因为43h=4,解得h=3.故容器的高为3.
5. A 解析 AC⊥BC,AC=BC=1,设O1为AB的中点,连接CO1,OO1,则CO1=22,由题意OO1⊥平面ABC,在Rt△OO1C中,OO1=OC2-CO12=22,则三棱锥O-ABC的体积为13×12×1×1×22=212.
6. A 解析 设圆锥的底面半径为r,母线长为l,圆锥的高为h,内切球的半径为R,其轴截面如图所示,O为内切球球心.因为圆锥的侧面展开图是一个半圆,所以πl=2πr,得l=2r,即PA=PB=2r,所以PD=PB2-BD2=4r2-r2=3r,所以PO=PD-OD=3r-R.
由图可知,△POE∽△PBD,所以POPB=OEBD,即3r-R2r=Rr,解得R=33r,所以圆锥的内切球的表面积和圆锥的侧面积的比为(4πR2)∶(πrl)=4π·13r2∶(2πr2)=2∶3.
7. C 解析 如图,甲、乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆,设圆的半径(即圆锥的母线长)为3,则圆的周长为6π,甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则2πr1=4π,2πr2=2π,则r1=2,r2=1,由勾股定理得,h1=5,h2=22,
所以V甲V乙=13πr12ℎ113πr22ℎ2=22×512×22=10,故选C.
8. C 解析 由题意知,和正四面体A-BCD的三个侧面以及内切球都相切的小球的半径最大.设内切球球心为O,半径为R,空隙处的最大球球心为O1,半径为r.
G为△BCD的中心,易知AG⊥平面BCD,E为CD中点,球O和球O1分别与平面ACD相切于点F和点H.
由题得,BE=(23)2-(3)2=3,
则BG=23BE=2,AG=(23)2-22=22.
由VA-BCD=VO-BCD+VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD,
可得R=3VA-BCDS△BCD+S△ABC+S△ABD+S△ACD.
又VA-BCD=13×23×3×22×12=26,S△BCD=S△ABC=S△ABD=S△ACD=12×23×3=33,故R=22,AO1=AG-GO1=22-2×22-r=2-r,AO=AG-GO=22−22=322.由图可知,△AHO1∽△AFO,则AO1AO=O1HOF,即2-r322=r22,解得r=24,即小球的最大半径为24.
9.AD 解析 由图可知R=3r,故A正确,B错误;由题可知包装盒的高为2r,故V2=πR2×2r=18πr3.又V1=43πr3,所以2V2=27V1,故C错误,D正确.
10. ACD 解析 如图,设O1,O2分别为圆台下、上底面的圆心,对于A,过点A作AF∥O1O2交BC于点F,因为O1O2⊥底面,则AF⊥底面,所以∠ABF即为母线AB与底面所成角.
在等腰梯形ABCD中,AB=2,BF=2-1=1,
所以cs∠ABF=BFAB=12.
因为∠ABF为锐角,所以∠ABF=60°,故A正确.
对于B,由圆台侧面积公式知S侧=π(r上+r下)·AB=π(1+2)×2=6π,故B错误.
对于C,设圆台外接球的球心为O,半径为R.由题意可得,O1B=2,O2A=1,O1O2=22-12=3.
设OO1=a,则OO2=3-a.由R=OA=OB,即12+(3-a)2=22+a2,解得a=0,即O,O1两点重合,所以R=OB=2,故C正确.
对于D,如图所示,在圆台的侧面上,从点C到点E的最短路径的长度为CE.由题意可得,FB=FC=4,AB=2.由E为AB的中点,得FE=3,又弧BB'的长为2πr下=4π=π·FB,所以圆台的侧面展开图为半圆环,所以CE=CF2+FE2=42+32=5,故D正确.
11. CD 解析 设AB=ED=2FB=2a,因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,则
V1=13·ED·S△ACD=13·2a·12·(2a)2=43a3,
V2=13·FB·S△ABC=13·a·12·(2a)2=23a3,连接BD交AC于点M,连接EM,FM,易得BD⊥AC.
又ED⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,则ED⊥AC.
又ED∩BD=D,ED,BD⊂平面BDEF,则AC⊥平面BDEF,又BM=DM=12BD=2a,过F作FG⊥DE于G,易得四边形BDGF为矩形,则FG=BD=22a,EG=a,
则EM=(2a)2+(2a)2=6a,FM=a2+(2a)2=3a,EF=a2+(22a)2=3a,EM2+FM2=EF2,
则EM⊥FM,S△EFM=12EM·FM=322a2,AC=22a,
则V3=VA-EFM+VC-EFM=13AC·S△EFM=2a3,则2V3=3V1,V3=3V2,V3=V1+V2,故A,B错误;C,D正确.故选CD.
12. BCD 解析 设底面中心为O,则在正六棱锥P-ABCDEF中,PO⊥平面ABCDEF,
∴PO⊥AB.
对于A,若PD⊥AB,则AB⊥平面POD,则AB⊥OD,即AB⊥AD,与已知矛盾,故A错误;
对于B,AB与直线PC,PD,PE,PF异面,故B正确;
对于C,设内切球半径为r,取AB中点M,PA=PB=2,BM=12,OM=32,∴PM=4-14=152,
∴S△PAB=12×1×152=154,
∴S侧=154×6=3152,S底=6×12×1×32=332.
在Rt△POM中,PO=PM2-OM2=154-34=3.
由等体积法得13×332×3=13×3152+332r,解得r=15-34,故C正确;
对于D,设外接球半径为R,则(3-R)2+1=R2,解得R=233,故外接球的表面积为S=4πR2=16π3,故D正确.
13.123−π2 解析 ∵底面正六边形的面积S正六边形=6×12×2×2×sin60°=63,
圆柱底面圆的面积S圆=π·122=π4,
∴六角螺帽毛坯的体积V=63-π4×2=123−π2.
14.26π 解析 设母线长为l,底面半径为r,侧面展开图的圆心角为θ,则θ=2πrl.由已知得lr=3,联立解得θ=2π3.
圆锥的侧面展开图为扇形,如图所示,则∠OAB=π6.从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为AB,
则l=OA=12ABcs∠OAB=33,即r=3,则圆锥的高为h=27-3=26,故该圆锥的体积为V=13πr2h=26π.
15.22 解析 由题意,圆锥的母线长为l=ℎ12+r2=2r,则圆锥的侧面积为S1=πrl=2πr2.根据圆柱的侧面积公式,可得圆柱的侧面积为S2=2πrh2=2πr2,所以S1S2=22.
16. 312 5π 解析 如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E,
∵ABCD为等腰梯形,AB=2,CD=1,∴BE=12,则∠B=π3.
由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcsπ3=3,即AC=3.∵AB2=BC2+AC2,∴BC⊥AC.
易知,当平面ACD⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大,此时BC⊥平面ACD,即BC为三棱锥B-ACD的高.
由题可知∠D=2π3,∴S△ACD=12AD·CDsin2π3=34,
∴VD-ABC=VB-ACD=13×34×1=312.
记O为外接球球心,半径为R,∵BC⊥平面ACD,OB=OC,∴O到平面ACD的距离d=12.
又△ACD的外接圆半径r=AC2sin2π3=1,
∴R2=r2+d2=54,∴S外接球=4πR2=5π.