高考数学一轮复习考点讲与练专题34 空间点、直线、平面之间的位置关系讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题34 空间点、直线、平面之间的位置关系讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了与平面有关的基本事实及推论，基本事实4和等角定理，异面直线所成的角，二面角等内容，欢迎下载使用。

1．与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实
(2)基本事实1的三个推论
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
3．基本事实4和等角定理
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
4．异面直线所成的角
(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))．
4．线面角
线面角是斜线与平面中其射影所成的锐角（范围：，斜线与平面垂直时角为，直线在平面内或平行于平面时角为）．
5．二面角
在二面角的棱上取一特殊点（如中点、端点），过该点分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（或其补角）即为二面角的平面角（范围：）．
常用结论：
1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3．
2．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
►考点01 基本事实的应用

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【例1】（2025•洮北区一模）在四面体中，，分别是线段，的中点，，分别是线段，上的点，且．求证：
（1）四边形是梯形；
（2），，三条直线相交于同一点．
【分析】（1）连结，推导出，，由此能证明四边形是梯形．
（2）设，则平面，平面，由平面平面，得，由此能证明，，三条直线相交于同一点．
【解答】证明：（1）连结，
，分别是边，的中点，
，且，
又，
，且，
因此且
故四边形是梯形．
（2）由（1）知，相交，设
，平面，平面，
同理平面，又平面平面，
，
故和的交点在直线上．
所以，，三条直线相交于同一点．
【例2】（2024春•琼山区期中）已知和△所在平面相交，并且，，交于一点．
（1）求证：和在同一平面内；
（2）若，，，求证：，，三点共线．
【分析】（1）欲证两直线在同一平面内，根据两条相交直线确定一个平面，证明其点在这个平面上，那么直线就在这个平面内．
（2）欲证两直线的交点在同一直线上，可根据公里2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上．
【解答】证明：（1）如图，
与，确定平面，
又，，，，
，，
和在同一平面内；
（2）证明：，，
平面平面，
平面，平面，且，
，
即，，三点共线
【例3】（2024秋•保定期中）如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：
（1）直线和在同一平面上；
（2）直线、和交于一点．
【答案】（1）证明见详解；
（2）证明见详解．
【分析】（1）连结，，，根据点，分别是，的中点，利用平行关系的传递性得到即可；
（2）易得与相交，设交点为，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证．
【解答】证明：（1）如图，连结，，，
因为点，分别是，的中点，
所以，
由正方体的结构特征可知，
所以，
所以，，，四点共面，即和共面；
（2）由（1）可知，且
所以与相交，设交点为，
因为，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面，
因为平面平面，
所以，
所以、、三线交于点．
【例4】（2024秋•广州期中）已知：四边形是空间四边形，，分别是边，的中点，，分别是边，上的点，且，求证：直线、、交于一点．
【分析】证明四边形是梯形，得出，相交于一点，再利用面面相交即可证明直线、、交于一点．
【解答】证明：连接，，分别是边，的中点，
；（2分）
又，；（4分）
因此且；（6分）
故四边形是梯形；
所以，相交，设，（8分）
，平面，
平面；
同理平面，（10分）
又平面平面，，
故直线、、交于一点．（12分）
【例5】（2023秋•长宁区期末）在正方体中，，分别是，的中点．
（1）画出平面与平面的交线，并说明理由；
（2）求证：，，，四点在同一平面内．
【分析】（1）利用平面基本性质2，可得结论；
（2）利用平面基本性质3，可得结论．
【解答】（1）解：设，，连结，则
，分别在平面、平面，
平面平面；
（2）证明：连，则．
故、、、四点共面
►考点02 空间两条直线的位置关系

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【例6】（2025春•徐汇区期末）如图，正方体中，、分别是线段、线段的中点．则以下和直线相交的是直线
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据正方体的性质，利用线面平行的判断和性质、中位线的性质、异面直线的定义、平面内两直线的位置关系逐一判断即可．
【解答】解：如图，
在正方体中，连接，
因为是线段的中点，所以是线段的中点．
由，平面，平面，
得平面，即与不相交，故错误；
由、分别是线段、的中点，得，故错误；
由平面，，平面，得与直线异面，故错误；
因为，，所以与直线不平行，
又，平面，所以与直线相交，故正确．
故选：．
【例7】（2024秋•浦东新区期末）已知空间中的两条直线，都与一个平面平行，则和的位置关系为
A．平行或相交B．相交或异面
C．平行或异面D．平行、相交或异面
【答案】
【分析】根据空间中各要素的位置关系，即可求解．
【解答】解：空间中的两条直线，都与一个平面平行，
与平行或相交或异面．
故选：．
【例8】（2025春•湖南期中）如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为
A．与B．与C．与D．与
【答案】
【分析】根据异面直线的判定定理，即可求解．
【解答】解：根据异面直线的判定定理可得：
与为异面直线；
与为异面直线；
与为异面直线；
与共面于平面．
故选：．
【例9】（2025•济南模拟）如图，下列正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线和为异面直线的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据题意，由直线与直线的位置关系分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，和是平行直线，不符合题意；
对于，和是相交直线，不符合题意；
对于，和是相交直线，不符合题意；
对于，和是异面直线，符合题意．
故选：．
【例10】（2025春•增城区期中）如图所示，在正方体中，，分别是侧面，侧面的中心，，分别是线段，的中点，则直线与直线的位置关系是
A．相交B．异面C．平行D．无法确定
【答案】
【分析】由题意画出图形，由三角形中位线定理可得，，再由平行公理得结论．
【解答】解：如图，
连接，，则，分别为，的中点，
由三角形中位线定理可得，，
由平行公理可得．
故选：．
►考点03 异面直线所成的角

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【例11】（2025春•重庆期末）如图，在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据异面直线所成角的定义，结合边长计算求解即可．
【解答】解：连接，，则有，
所以异面直线与所成角，等于与所成的角，
△是等腰直角三角形，，所以，
所以异面直线与所成角为．
故选：．
【例12】（2025春•天宁区期末）在正方体中，异面直线与所成角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的性质即可求解．
【解答】解：根据题意连接，，如下图所示：
因为为正方体，
所以，并且，，
所以四边形为平行四边形，并且，
故，
所以是异面直线与所成角或其补角，
所以异面直线与所成角为．
故选：．
【例13】（2025•巴中模拟）已知三棱柱的各条棱长相等，且，，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由题意求出这两个向量，的夹角的余弦值，进而可得所求的异面直线所成的角的余弦值．
【解答】解：由题意设三棱柱棱长为1，，
，
设，，，，
可得，，
又，
可得，
则，
所以，．
所以异面直线与所成角的余弦值为，．
故选：．
【例14】（2025春•上城区月考）在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】取的中点，连接，，或其补角即为异面直线与所成的角，在△中，利用余弦定理求出的长，再在△中，利用余弦定理的推论求出即可．
【解答】解：取的中点，连接，，是的中点，
，，
或其补角即为异面直线与所成的角，
设正四面体的棱长为4，
是的中点，是的中点，△和△均为正三角形，
，，且，，
在△中，，
在△中，，
异面直线与夹角的余弦值为．
故选：．
【例15】（2025春•东海县期末）已知正三棱锥的底面是边长为的等边三角形，侧棱，点是棱的中点，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】取的中点，连接，，可得或其补角就是异面直线与所成角，在△中，由余弦定理可得，在△中，再由余弦定理可得的值，即求出用米直线所成的角的余弦值．
【解答】解：如图，取的中点，连接，，则，
所以或其补角就是异面直线与所成角，
由题知，，两两垂直，在△中，，，
所以，
连接，在△中，，，
由余弦定理可得，
在△中，，
所以，
在△中，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．
►考点04 线面角的计算

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【例16】（2025春•赣榆区期末）已知球是正三棱锥的外接球，△是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解．
【解答】解：如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心，
因为，，
所以，所以，
所以为与平面所成角，
因为与平面所成角的正切值为，
所以，
所以，
设正三棱锥外接球的半径为，
则，得，
所以，
所以，
如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点，
所以，则，
所以，
则，
所以与该截面所成角为，
所以，
所以，
即与该截面所成角为．
故选：．
【例17】（2025春•滁州期末）在正三棱台中，，分别为棱，的中点，，，则直线与平面所成角的余弦值为 ．
【答案】．
【分析】利用正三棱台补形为正三棱锥，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，从而可得正四面体，再利用正四面体来求线面角即可．
【解答】解：如图，，
，，分别为，，的中点，
又，分别为棱，的中点，
，且，
又，且，
且，
即四边形是平行四边形，又，
四边形是菱形，即，
又，，，
即可得，
即四面体是正四面体，取为的中点，
，，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
即直线与平面所成角为，
设正四面体的棱长为1，
则．
故答案为：．
【例18】（2025春•柘荣县月考）把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由三棱锥的体积公式，结合线面角的求法求解即可．
【解答】解：把正方形沿对角线折起，当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，
此时平面平面，
取中点，
则平面，
连接，
则直线和平面所成的角为，
又，
则，
故选：．
【例19】（2025•长沙二模）已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】画出相应图形，借助正四棱台的性质及体积公式可得其高，结合线面角定义计算即可得解．
【解答】解：如图所示，作于点，
则，即，
，
则，
由正四棱台的侧棱与底面所成角即为与底面所成角，
设其为，则，即，
故选：．
【例20】（2025春•百色期中）三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可．
【解答】解：过点作平面于，在平面内过作，，
垂足分别为，，连接，，
所以为直线与平面所成的角，
因为平面，，平面，
所以，，
又因为，，且，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
同理可得，因为，
所以，又因为，
所以四边形为正方形，则，，
所以直线与平面所成角的正弦值．
故选：．
►考点05 二面角的计算

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【例21】（2025春•嘉兴期末）在三棱台中，平面平面，△是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，则二面角的正切值为
A．B．C．D．2
【答案】
【分析】设，先利用勾股定理证明，再分别取，的中点，，连接，，，可得，然后结合面面垂直的性质定理可证平面，最后由三垂线定理找到二面角的平面角，并求之即可．
【解答】解：设，则等腰梯形的高为，
所以，，
又，所以，
所以，即，
分别取，的中点，，连接，，，则，
所以，
因为△是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
由三垂线定理知，即为二面角的平面角，
在△中，，，
所以，
即二面角的正切值为2．
故选：．
【例22】（2025春•安徽月考）如图，已知正三棱柱的棱长均为2，为线段上的动点（含端点），当截面的周长最小时，平面与平面的夹角为
A．B．或C．D．或
【答案】
【分析】先根据展开侧面得出截面的周长时为的中点，再根据线面垂直判定定理得出二面角即可求解．
【解答】解：展开侧面，后，连接得，当为的中点时，最小，截面的周长最小．
如图，延长，交于点，平面与平面的交线为，
，
，
平面，平面，
所以，又因为，，且平面，
所以平面，平面，
所以，
则为截面与平面的夹角，
因为，，
所以．
故选：．
【例23】（2025春•中牟县期末）已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线，互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先证为二面角的平面角，再解三角形即可求解．
【解答】解：设的中点为，连接，，
因为，则，
又因为，
则，
所以为二面角的平面角，在△中，由，得，
易知，平面，则为与底面所成的角，，
又，则，
在△中，，
则．
故选：．
【例24】（2025春•安徽月考）如图，在四面体中，，，，，为棱的中点，且，则二面角的余弦值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先证为二面角的平面角，再解三角形即可求解．
【解答】解：取的中点，连接，，
因为为棱的中点，
所以，
又因为，所以，
又因为，
所以，且，
故为二面角的平面角，
由于为棱的中点，且，
所以△为等腰三角形，
故，
因为，
所以，则，
又，
所以，
故，
在△中，．
故选：．
【例25】（2025春•河南月考）如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，，则二面角的平面角为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先根据已知条件找出二面角的平面角，然后根据等腰直角三角形求出平面角的大小，从而得到答案．
【解答】解：因为，所以，
因为点在以为直径的圆的圆周上，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以是二面角的平面角，
又因为，
所以．
故选：．基本事实
内容
图形
符号
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
推论
内容
图形
作用
推论1
经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
确定平面的依据
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b＝A
a∩α＝A
α∩β＝l
独有关系
图形语言
符号语言
a，b是异面直线
a⊂α
共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
空间两条直线位置关系的判定方法和技巧
求异面直线所成角的步骤
(1)作：通过作平行线得到相交直线．
(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．
(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．
步骤：
作：过斜线上一点（非斜足）作平面的垂线，垂足为射影的端点；
连：连接斜足与垂足，得到斜线在平面内的射影；
算：斜线与射影的夹角即为线面角，在含该角的直角三角形中，利用三角函数（正弦=对边/斜边，余弦=邻边/斜边）求解．
定义法：在二面角的棱上取一特殊点（如中点、端点），过该点分别在两个平面内作棱的垂线，两条垂线所成的角（或其补角）即为二面角的平面角（范围：）．
垂线法（三垂线定理法）：过一个平面内一点作另一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连接该点与棱上垂足，所得角即为二面角的平面角（利用三垂线定理：平面内的直线垂直于斜线的射影，则垂直于斜线）．
面积射影法：若一个平面内的多边形在另一个平面内的射影面积为，原多边形面积为，则二面角满足（适用于多边形面积易求的情况）．