新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第28讲 等差数列（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、等差数列的有关概念
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示，定义表达式为（常数）．
2.等差中项的概念
若三个数，，成等差数列，则叫做与的等差中项，且有．
二、等差数列的有关公式
1.等差数列的通项公式
如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是．
2.等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和．
三、等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
1.通项公式的推广：．
2.在等差数列中，当时，．
3.，…仍是等差数列，公差为．
4.，…也成等差数列，公差为．
5.若，是等差数列，则也是等差数列．
四、等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列是等差数列⇔（为常数）．
【常用结论】
1.等差数列中，若，则．
2.等差数列中，若，则．
3.等差数列中，若，则．
4.若与为等差数列，且前项和为与，则．
二、题型分类精讲
题型一 等差数列基本量的计算
策略方法 解决等差数列运算问题的思想方法
(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．
(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
【典例1】在等差数列中，，，则201是数列的第几项（ ）
A．59B．60C．61D．62
【答案】C
【分析】根据等差数列的定义求出公差，从而求出通项公式，再根据，构造关于的方程，解方程即可．
【详解】等差数列中，，，设公差为，
∴，解得；
∴通项公式为，
当时，．
故选：C．
【典例2】在等差数列中，，，则的值为（ ）
A．2B．6C．8D．12
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差即可求解作答.
【详解】在等差数列中，，则数列的公差，
所以.
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知为等差数列，，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】利用基本量法可求公差和首项，从而可求.
【详解】设等差数列的公差为，则，
故，故，
故选：A.
2．（2023·江西赣州·统考二模）等差数列满足，，则（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质运算求解.
【详解】设等差数列的公差为d，
因为，解得，
所以.故选：B.
3．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）在等差数列中，，，则=（ ）
A．9B．11C．13D．15
【答案】C
【分析】利用等差数列的基本量计算可得答案.
【详解】设等差数列的公差为，则，
则
故选：C
4．（2023·广西·统考模拟预测）设为等差数列，若，则公差（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
【答案】D
【分析】由等差数列的基本量法列方程组求解．
【详解】由题意得解得，
故选：D.
5．（2023·四川凉山·三模）在等差数列中，，，则（ ）．
A．3B．5C．7D．9
【答案】C
【分析】由等差中项性质得，利用等差数列通项公式求基本量公差，进而写出通项公式，即可得.
【详解】由题设，则，而，
若等差数列公差为，则，
所以，通项公式为，故.
故选：C
6．（2023·西藏日喀则·统考一模）中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（ ）
A．乙分到28文，丁分到24文B．乙分到30文，丁分到26文
C．乙分到24文，丁分到28文D．乙分到26文，丁分到30文
【答案】A
【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，再根据题意列方程组可解得结果.
【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为，，，，，，，
则，解得，
所以乙分得（文），丁分得（文），
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可求得的值，进而可求得的值.
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，，故.
故选：D.
8．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知等差数列满足，则的前20项和（ ）
A．200B．300C．210D．320
【答案】C
【分析】设，，则，解方程即可求出，再由等差数列的前项和即可得出答案.
【详解】因为数列为等差数列，设，所以，
所以．因为，
所以所以
则，所以．故选：C.
二、填空题
9．（2023·甘肃白银·甘肃省靖远县第一中学校联考二模）在等差数列中，，，则的公差是 ．
【答案】-3
【分析】设的公差为d，由等差数列的通项公式可得答案.
【详解】设的公差为d，，
则．
故答案为：．
10．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为，且满足，，则数列的通项公式 ．
【答案】
【分析】根据等差数列得通项求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可得解.
【详解】由，，
得，由解得，
所以.
故答案为：.
11．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）等差数列中，，则的值是 .
【答案】
【分析】先由等差数列的通项公式化简得到，再由等差数列的通项公式把化为即可求出答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，
所以.
所以.故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，若，则 ．
【答案】
【分析】根据下标和性质求出、，即可求出公差，再根据计算可得.
【详解】因为，又，所以，
又，，所以，
所以公差，
所以，即，解得.
故答案为：
13．（2023·上海普陀·上海市宜川中学校考模拟预测）已知数列满足：，若为等差数列，则通项公式为 ．
【答案】
【分析】设等差数列的首项为，公差为，由求出和，即可写出通项公式．
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，
所以，解得，
所以，
故答案为：．
14．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 .
【答案】
【分析】先计算出等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，求出新数列的第项.
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，
设在数列每相邻两项之间插入三个数所得新数列为，
则新的等差数列的公差为，首项为，
所以新数列的通项公式为，
故.
故答案为：.
题型二 等差数列的性质及其应用
策略方法 利用等差数列的性质解题的两个关注点
(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝eq \f(na1＋an,2)中，Sn与a1＋an可相互转化．
(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m．
【典例1】已知等差数列中，，则（ ）
A．30B．40C．50D．45
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由得，
所以，
故选：D
【典例2】已知和的等差中项是，和的等差中项是，则和的等差中项是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差中项的概念，列方程，求的m+n=12，再根据等差中项的定义，可知m和n的等差中项为6.
【详解】：∵m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，
由等差中项的概念得：m+2n=16 ① ,2m+n=20 ②
①+②得：3m+3n=36，即m+n=12．
∴m和n的等差中项为6．
故选：C
【点睛】本题考查了等差中项的概念，是基础题．
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列是等差数列，若，则等于（ ）
A．7B．14C．21D．7(n-1)
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】因为，所以.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）如果等差数列中，，那么（ ）
A．14B．12C．28D．36
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】∵，∴，则，又，
故.
故选:C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列中，，则（ ）
A．30B．15C．5D．10
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质计算.
【详解】∵数列为等差数列，，所以
∴.
故选：B
4．（2023·青海西宁·统考二模）已知，均为等差数列，且，，，则数列的前5项和为（ ）
A．35B．40C．45D．50
【答案】B
【分析】根据等差数列的等差中项性质解决即可.
【详解】由题知，均为等差数列，且，，，
所以，得，
所以数列的前5项和为．
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，
由题意可得，
所以，
故选：B
6．（2023·陕西榆林·统考三模）一个等差数列的前3项之和为12，第4项为0，则第6项为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质，求得，再结合，即可求解.
【详解】由等差数列的前3项之和为12，可得，所以，
又由第4项为0，即，
因为第2项、第4项、第6项依次成等差数列，即，
所以.故选：B.
7．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）数列是等差数列，若，，则（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】根据等差数列性质得到，得到答案.
【详解】，故.
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】A
【分析】根据题意，分别设十二个节气为 ，再运用等差中项求解.
【详解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为，
依题意有：，，
，公差 ，
则，
所以谷雨这一天的日影长度为尺，
故选：A
9．（2023·全国·高三专题练习）“”是“数列为等差数列”的（ ）．
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.
【详解】设，则，，，所以，但数列不是等差数列；
若数列为等差数列，根据等差数列的性质可知，成立.
所以，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件.
故选：C.
10．（2023·全国·高三专题练习）公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列通项求出，再利用基本不等式即可求出，对于CD选项，利用特殊值法反驳即可.
【详解】因为,所以,
因为公差不为零,,所以，B正确，A错误，
取,则,此时,C,D均不正确,
故选：B.
二、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列，，=
【答案】e
【分析】由等差中项的性质计算即可.
【详解】由等差数列性质可知：，
又，故.
故答案为：e
12．（2023春·甘肃天水·高三校考开学考试）已知等差数列，， .
【答案】1
【分析】由等差数列的性质求解．
【详解】是等差数列，∴，．
故答案为：1.
13．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，，，则 .
【答案】74
【分析】根据等差数列的性质列式计算即可.
【详解】因为，所以由等差数列的性质可得，
所以，
故答案为：74
14．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列中，是方程的根，则＝ .
【答案】3
【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论.
【详解】由是方程的根得＝3.
又数列为等差数列，∴＝＝3.
故答案为：3
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则 .
【答案】21
【分析】根据题中条件，判断数列为等差数列，再计算基本量即可得出结果．
【详解】由知，数列是等差数列，∴成等差数列．
∴，∴.
故答案为：21.
题型三 等差数列的前n项和
策略方法
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
【典例1】设是等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．16B．18C．20D．22
【答案】B
【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】设该等差数列的公差为，
因为是等差数列的前项和，
所以由，，可得，
所以，
故选：B
【典例2】已知为等差数列的前项和，，则的值为（ ）
A．4B．7C．8D．9
【答案】A
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得.
【详解】因为，解得.
故选：A
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·江西赣州·统考二模）已知等差数列中，是其前项和，若，，则（ ）
A．7B．10C．11D．13
【答案】C
【分析】设出公差，列出方程组，求出公差和首项，得到答案.
【详解】设公差为，则，，
解得，
故.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有（ ）
A．八层B．十层C．十一层D．十二层
【答案】D
【分析】设该塔共有层，根据等差数列的求和公式计算即可.
【详解】设该塔共有层，
则，
即，
解得或（舍），
即该塔共有层.
故选：D
3．（2023·江西新余·统考二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】由等差数列和等差数列的前项和公式代入求解即可得出答案.
【详解】由可得：①，
由可得：②，
由①②可得：或(舍去).
故选：A.
4．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（ ）个球．

A．12B．20C．55D．110
【答案】C
【分析】把每一层的球数看成数列的项，即可得一个数列，根据规律即可求解.
【详解】由题意知：
，
，
，
，
所以.
故选：C
5．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）《数书九章》有这样一个问题：有5位士兵按从低到高站成一排（从低到高依次为甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差数列，已知乙士兵的身高为5尺1寸，这五位士兵身高之和为26尺（1尺为10寸），则丁士兵的身高为（ ）
A．5尺2寸B．5尺3寸C．5尺4寸D．5尺5寸
【答案】B
【分析】依题意列方程组求出等差数列的首项和公差即可求解.
【详解】设甲、乙、丙、丁、戊这5位士兵身高依次所成等差数列为，公差为，
则，解得丁的身高为，
故选：B.
6．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
7．（2023·陕西安康·统考三模）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．6B．12C．18D．24
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由等差数列的性质，可得，
所以.
故选：B.
8．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）在等差数列{an}中，a3+2a5+a9=10，则数列{an}前10项的和为（ ）
A．20B．24C．25D．28
【答案】C
【分析】根据等差数列的通项公式求出首项和公差的关系，最后根据等差数列求和公式计算即可.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由得，
数列前10项的和.
故选：C.
9．（2023·全国·高三专题练习）在项数为的等差数列中，其前项的和为，最后项的和为，所有项的和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等差数列的基本性质求出的值，利用等差数列的求和公式可得出关于的等式，解之即可.
【详解】设等差数列的前项和为，则，
由等差数列的性质可得，
所以，，
所以，，解得.
故选：B.
10．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，
化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
11．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前n项求和公式可得，由题意可得，令，计算即可求解.
【详解】,
又，
，
所以，又，
所以.故选：A.
12．（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列，的前n项和满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据等差数列得性质和前项和公式计算即可.
【详解】由，
得.
故选：B.
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据等差数列前项和公式和通项的性质，推出，结合选项可得答案.
【详解】因为是等差数列，所以.
根据题意，又，所以，
从而，，故选项A，B正确；
又，即，故选项C正确；
对于选项D，，根据题意无法判断是否为零，故选项D错误.
故选：ABC
14．（2023·辽宁·校联考一模）设等差数列的前项和是，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】设等差数列公差为d，由题目条件，可得，由此可得各选项正误.
【详解】设等差数列公差为d，则由题目条件有：
.
A选项，，故A错误；
B选项，，故B正确；
C选项，，故C正确；
D选项，注意到，
，又由知为单调递减数列，则
，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
15．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为，，，则公差为 .
【答案】
【分析】根据等差数列公式求解.
【详解】设数列的公差为d，则解得；
故答案为：-3.
16．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）记等差数列的前n项和为，若，则数列的公差 ．
【答案】9
【分析】将和拆分为和，解方程即可得出答案．
【详解】因为，
所以，
所以，
解得，
故答案为：．
17．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）若等差数列前项和为，且，，数列的前10项的和为 .
【答案】
【分析】由题意可得，解方程求出，即可求出，再由等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，解得，
故，
所以，
所以数列的前10项的和为.
故答案为：.
18．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，则 ．
【答案】70
【分析】设公差为d，化简已知得，再利用等差数列的求和公式计算即得解.
【详解】设公差为d，因为是等差数列，所以，
化简得，即，
所以．
故答案为：70
19．（2023·全国·高三专题练习）已知和均为等差数列，，，，则数列的前60项的和为 ．
【答案】7260
【分析】确定是等差数列，计算首项和公差，求和得到答案.
【详解】和均为等差数列，则是等差数列，
首项为，公差为，
故前60项的和为.
故答案为：
20．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，若，，，则 ．
【答案】4
【分析】先利用关系式，求出公差，进而用通项公式和求和公式得到方程组，求出.
【详解】由题意得：，，
则等差数列的公差，
则，，
解得：或（舍去）.
故答案为：4
21．（2023·全国·高三专题练习）已知两个等差数列和的前n项和分别为，，且，则 .
【答案】
【分析】由与的比值可求得等差数列和的首项及公差，进而可求得，，求出其比值即可.
【详解】解：设等差数列的首项为，公差为，等差数列的首项为，公差为，
则，
故
又已知
不妨令且
解得且
故
故答案为：.
题型四 等差数列中与的关系
策略方法 等差数列中与的关系
数列的前项和和通项的关系：则
【典例1】已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据通项与前n项和的关系，分与两种情况分别求解即可.
【详解】当时，；当时，，且当时也满足.
故.
故选：D
【典例2】已知数列的前项和，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由数列的前项和公式求得，当时，由求得，验证后得答案．
【详解】，
当时，；
当时，
．
验证时上式不成立，
,故选C．
【点睛】本题主要考查由数列的前项和求数列的通项公式，是中档题．已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意的情况.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据通项与前n项和的关系，分与两种情况分别求解即可.
【详解】当时，；当时，，且当时也满足.
故.
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】由与的关系先求出，再结合已知条件可求出答案.
【详解】由，得也适合，
又由得，
又，
∴，
故选:A．
3．（2023·河南开封·统考一模）已知数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值.
【详解】当时，；
当时，.
也满足，故对任意的，，
因此，.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，且满足，则（ ）
A．27B．28C．29D．30
【答案】B
【分析】首先根据前n项和，求出，然后即可求出结果.
【详解】因为，
当时，，
当时，
经检验，当时不符合，
所以
.
故选：B.
5．（2023·全国·高三专题练习）设为数列的前项和.若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】用定义法，分充分性和必要性分别进行讨论.
【详解】因为为数列的前项和，且，
所以当时，；
当时，；
所以
充分性：当时，.所以；；.满足，所以充分性满足；
必要性：由可得：，，，符合，但是不能推出.所以必要性不满足.
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前n项和为，且，则（ ）
A．4045B．4042C．4041D．4040
【答案】A
【分析】根据与的关系，由的的递推关系式，由时，确定首项，即可得，于是能求解的值.
【详解】解：∵ ①，
∴当时， ②，
①-②得，
∵，∴，∴，
∴当时，，解得
∴是首项为1，公差为2的等差数列，则，于是有．
故选：A．
7．（2023·北京·高三专题练习）在无穷正项等差数列中，公差为，则“是等差数列”是“存在，使得”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】可设，利用可求得数列的通项公式，结合数列为等差数列可求得，求出关于的关系式，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出合适的选项.
【详解】若是等差数列，设，则，
当时，，
当时，
，
因为数列为等差数列，则满足，
即，可得，故，
且，
所以，“”“存在，使得”，
但“”“存在，使得”，
因此，“是等差数列”是“存在，使得”的充分而不必要条件.
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等差数列
B．数列是递增数列
C．，，成等差数列
D．，，成等差数列
【答案】D
【分析】由与的关系推导出数列的通项公式，判断选项A，B，分别计算出，，和，，，再由等差数列中项的性质判断选项C，D.
【详解】，
∴时，
时，．时，不满足
∴数列不是等差数列；
，因此数列不是单调递增数列；
，因此，，不成等差数列．
．．∴成等差数列．
故选：D
二、多选题
9．（2023·山西阳泉·统考三模）设无穷数列为正项等差数列且其前n项和为，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据数列为正项等差数列，且，利用等差数列的性质求得，再利用项与项，前n项和与通项的关系逐项判断.
【详解】解：因为数列为正项等差数列，
所以，
所以，
因为数列为正项等差数列，
所以，
所以，，
，
故选：ABD
10．（2023·全国·高三专题练习）等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A．当时，
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】当时，根据可求出，进而求得，可知A正确；利用等差数列性质可得，即得，可判断B;同理可判断C;
举特例当时，求出，可说明D的对错.
【详解】对于等差数列与，
当时，，则， ，
则，也适合，
故，故A正确；
因为，所以，
所以，
即，故B正确；
同理可得，故C错误；
当时，，则，
则不存在，使得，故D错，
故选：AB
三、填空题
11．（2023·河南郑州·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，则 ．
【答案】15
【分析】利用求数列通项，进而求.
【详解】由，，且满足上式，
所以.
故答案为：
12．（2023·全国·高三专题练习）数列的前项和，则该数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】由可求得数列的通项公式.
【详解】当时，；
当时，.
不满足.
所以，.
故答案为：.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】利用前项和和的关系求通项即可.
【详解】当时，；
当时，由，可得，
故有，当时，不相符.
故答案为：.
14．（2023·全国·高三专题练习）正项数列的前n项和满足，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】，，两式相减得到，当时，解得，得到通项公式.
【详解】，，
两式相减得到，
正项数列，故，得到，
当时，，解得或（舍去），
故数列为首项为1公差为1的等差数列，故.
故答案为：
15．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，且成等差数列，若，则使得，同时成立的k的值为 ．
【答案】7
【分析】先由与的关系推导出数列为等差数列，再代入等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程组求解k即可.
【详解】
，
即，
又成等差数列，
即，
故数列是公差为1的等差数列，
则，解得，．
故答案为：7
题型五 等差数列的判定与证明
策略方法 等差数列的判定与证明的方法
【典例1】已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由，即可求出数列的通项公式；
（2）由等差数列的定义证明即可；
【详解】（1）当时，，
当时，，
令，满足，所以.
（2）由（1）知，，
所以数列是以首项为，公差为等差数列.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意和等差中项的性质可知数列为等差数列，进而可得，结合诱导公式计算即可.
【详解】由题意知，，
由等差数列的等差中项，得数列为等差数列，
又，所以，
则，
所以.故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，则“”是“为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用等差数列前项和及性质，结合充分条件、必要条件的意义判断作答.
【详解】等差数列的前项和为，则，
数列的前项和为，取，显然有，
而，即数列不是等差数列，
所以“”是“为等差数列”的必要不充分条件.
故选：B
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知数列各项为正数，满足，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列
C．是等差数列D．是等比数列
【答案】C
【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论.
【详解】因为数列各项为正数，满足，，
故对任意的，，则，
所以，数列的每一项都是正数，
所以，，可得，
由等差中项法可知，数列是等差数列，
故选：C.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由数列的前项和求出通项，可得数列是等差数列，利用首项和公差求其前项和.
【详解】数列中，前项和，
时，，
时， ，时，也满足，
∴，则有，∴数列中是首项为1公差为4 的等差数列，
则数列中是首项为1公差为8的等差数列，其前项和.
故选：C
5．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等差中项定义可确定为等差数列，结合等差数列通项公式可推导得到，代入即可求得结果.
【详解】由得：，数列为等差数列，
又，，数列的公差，
，，.
故选：C.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，.若，则（ ）
A．1B．2C．3D．2022
【答案】A
【分析】令，则，再根据等差数列的定义即可得到，即可求出答案.
【详解】令，则
故，为常数，
故数列是等差数列
故选：A.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列中，，，若，则（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【分析】根据给定条件，构造新数列，求出通项公式即可计算作答.
【详解】依题意，，，而，
因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即，
由，得，所以.
故选：C
8．（2023·全国·高三专题练习）数列满足（，），，其前n项和为，若，则（ ）
A．47B．46C．45D．44
【答案】C
【分析】由题意可知数列是首项为1，公差为2的等差数列，进而可得，从而有，求解即可
【详解】数列满足（，），即，，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
又，则，
因为，
又，且，
所以，
故选：C
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）设数列的前项和为，则下列能判断数列是等差数列的是（ ）
A．B．C．D．．
【答案】AB
【分析】对各个选项，利用求出数列的通项，再借助通项判断等差数列作答.
【详解】对于A，当时，，而满足上式，
则，数列是常数数列，是等差数列，A是；
对于B，当时，，而满足上式，
则有，数列的通项是n的一次整式，是等差数列，B是；
对于C，当时，，而不满足上式，
则，显然，数列不是等差数列，C不是；
对于D，当时，，而不满足上式，
则，显然，数列的不是等差数列，D不是.
故选：AB
10．（2023·全国·模拟预测）设是数列的前项和．下面几个条件中，能推出是等差数列的为（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ABD
【分析】由与的关系得出与的关系式即可判断ABD，通过举反例即可判断出C．
【详解】对于A，当时，且，
两式相减可得，即．
所以是恒为0的数列，即是公差为0的等差数列，故A正确；
对于B，当时，且，
两式相减可得，即，
所以，即是常数列，是公差为0的等差数列，故B正确；
对于C，如果，令可得，
当时，且，
两式相减可得，
如果，则，这并不能推出是等差数列，
例如：考虑如下定义的数列：1，1，2，2，3，3，，则其通项公式可写成，．
则，
．
即数列1，1，2，2，3，3，满足对任意正整数成立，但它并不是等差数列，故C错误；
对于D，当时，且，
两式相减可得，
所以，即，
故，即是公差为的等差数列，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）甲､乙两个机器人分别从相距70的两处同时相向运动，甲第1分钟走2，以后每分钟比前1分钟多走1，乙每分钟走5.若甲､乙到达对方起点后立即返回，则它们第二次相遇需要经过 分钟.
【答案】15
【分析】甲每分钟走的路程成等差数列，求出通项，因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共走了，列出方程，求出时间即可.
【详解】由已知甲每分钟走的路程成等差数列，设为，则，
乙每分钟速度为每分钟走5，
因为第1次相遇甲､乙共走70m；第2次相遇甲､乙共走了，时间设为，
则.
（负值舍去）.
故答案为：15.
12．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，，，若，则正整数 ．
【答案】10
【分析】根据题意，令，判断数列是等差数列，从而求得通项公式，进而代入求解即可．
【详解】由，，令，则，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，即，
又为正整数，所以，即，解得或（舍去）．
故答案为：10．
13．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知数列，都是等差数列，且，，则 ．
【答案】2025
【分析】利用等差数列的性质求数列的项.
【详解】因为数列，都是等差数列，
所以是等差数列．
设的公差为d，
又，，
所以，
解得，
所以．
故答案为：2025.
14．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则 .
【答案】
【分析】当时，由可得，两式作差可得出，当时，求出的值，可得出，分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得的值.
【详解】当时，由可得，
两式相减得，即，
即.
当时，，即，
所以，，则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列.
则.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，，，.证明数列为等差数列，并求通项公式；
【答案】证明见解析，.
【分析】利用已知条件，确定k的值，最值得递推关系式，得证为等差数列，即可求解通项公式.
【详解】证明：，，，则，即，解得，
所以，，即，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，故.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：.求的通项公式；
【答案】
【分析】由和的关系，利用公式得到数列的递推公式，通过因式分解结合已知条件得到是等差数列，公式法可求通项.
【详解】∵，①
当时，解得，
∴，②
①－②得，
∴，化简.
∵，∴.
∴是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知各项均为正数的等差数列的首项为，前项和为，且满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明数列是等差数列．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设等差数列的公差为，，，利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程，即可求出和，由此即可求出结果；
（2）由（1）即可求出，即，再根据等差数列的定义即可证明结果.
【详解】（1）解：设各项均为正数的等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，即，
所以； 即.
（2）解：由（1）知，所以，
因为，
又因为
所以数列是首项为，公差为的等差数列．
18．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{}满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{}的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）两边取倒数可得：，即可证明；
（2）由（1）利用等差数列的通项公式即可得出．
【详解】（1）证明：数列{}满足．
两边取倒数可得：，即，
∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2；
（2）由（1）可得：，
解得．①等差数列基本量的计算
②等差数列的性质及其应用
③等差数列的前n项和
④等差数列中中与的关系
⑤等差数列的判定与证明
方法
解读
适合题型
定义法
为同一常数 ⇔是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔是等差数列
通项公式法
为常数）对任意的正整数都成立
⇔是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前项和公式法
验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列