（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点25 平面向量的基本运算及其线性运算 (含解析)

考点二十五  平面向量的基本概念及其线性运算

知识梳理

1．向量的有关概念

(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作

||.

(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．

(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．

(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．

规定：0与任一向量平行．

(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．

2.向量的加法

(1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．

(2) 法则：三角形法则；平行四边形法则．

(3) 运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

3.向量的减法

(1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．

(2) 法则：三角形法则．

(3) 运算律：a－b＝a＋(－b)

4.向量的数乘

(1) 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

① |λa|＝|λ||a；

② 当λ>0时，λa与a的方向相同；

当λ<0时，λa与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0.

(2) 运算律：设λ、μ∈R，则：① λ(μa)＝(λμ)a；② (λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb．

5. 向量共线的判定定理

a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．

注意：两向量相加、相减结果仍是一个向量；数乘一个向量，所得结果也是一个向量．

向量加法的三角形法则的要点是“首尾相连，指向终点”，即第二个向量的起点和第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要点是“起点重合，指向被减”，即作向量减法时，将两个向量的起点重合，然后连接两向量的终点，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点．

平行四边形法则的要点是“起点重合”，即两向量的起点相同．

典例剖析

题型一  平面向量的基本概念

例1　给出下列命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量一定是共线向量．

其中不正确命题的个数为____________.

答案　1

解析  对于④，在△ABC中，与有公共终点A，但不是共线向量，故④错．①②③正确.

变式训练  下列命题中，正确的是________．(填序号)

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③向量与向量共线，则A、B、C、D四点共线；

④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；

⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

答案　⑤

解析　①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④不正确，如果b＝0，则a与c不一定平行；

⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．

解题要点  注意向量平行与直线平行的区别与联系，两向量平行，指两向量对应的有向线段所在直线平行或重合，这点与直线平行有区别．另外，平行向量又称共线向量，它们均与起点无关.

题型二  平面向量的线性表示

例2　如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点(靠近B)，那么＝____________.

答案  －

解析  在△CEF中，有＝＋，因为点E为DC的中点，所以＝.因为点F为BC的一个三等分点，所以＝.

所以＝＋＝＋＝－.

变式训练  如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)

答案　

解析　如图，

∵在正六边形ABCDEF中，

＝，＝，

∴＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝.

解题要点  在表示向量时，注意基向量的选取，解题时要善于运用多边形法则来进行求解．

题型三  向量的共线

例3　设a，b是两个不共线的非零向量，若8a＋kb与ka＋2b共线，则实数k＝__________.

答案  ±4

解析  因为8a＋kb与ka＋2b共线，所以存在实数λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是两个不共线的非零向量，故解得k＝±4.

变式训练  设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，

＝e1＋3e2，＝2e1－e2.

(1)求证：A，B，D三点共线；

(2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

解析  (1)证明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2

∵＝2e1－8e2，∴＝2，

又∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．

(2)由(1)可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，

∵B，D，F三点共线，得＝λ，即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

得解得k＝12，∴k＝12.

解题要点  1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

2．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，，不共线，若P，A，B共线，且＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝1.

3.中点的向量表示：若A是BC外一点，D是BC中点，则＝(＋)．

当堂练习

1．(2015四川文)设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x等于____________.

答案　3

解析　a＝(2,4)，b＝(x,6)，∵a∥b，∴4x－2×6＝0，

∴x＝3.

2．下列等式：①0a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0a；⑤a－b＝a＋(－b)．其中正确的个数是____________.

答案  4个

解析  a＋(－a)＝0，故③错，其余等式均正确.

3. 若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是____________.

答案  ＝－

解析  ＝＋＝－.

4．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝____________.

答案  a＋b

解析  ＝－＝a－b，又＝3，

∴＝＝(a－b)，

∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.

5．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝____________.

答案 

解析  ＝＋＝＋，＝＋＝＋，∴＋＝(＋)＝.

课后作业

一、    填空题

1．下列说法正确的个数是____________.

①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；

②零向量没有方向；

③向量的模一定是正数；

④非零向量的单位向量是唯一的．

答案　0

解析　①错误，只有速度和位移是向量；②错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；③错误，|0|＝0；④显然错误．

2．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．

③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．

其中错误的命题的个数为____________.

答案  2

解析  ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．

②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．

③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.

3．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且＋＋＝0，则△ABC的内角A等于_________.

答案  30°

解析  由＋＋＝0得＋＝，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故A＝30°.

4．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为____________.

答案 

解析  ∵＋2＝3，∴2－2＝－，即2＝，∴2||＝||，＝.

5．对于非零向量a与b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的___________条件

答案  充分不必要

解析  “a＋2b＝0”⇒“a∥b”，但“a∥b”  “a＋2b＝0”，所以“a＋2b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．

6．已知ABCD为平行四边形，若向量＝a，＝b，则向量为____________.

答案  b－2a

7．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么_______. (填序号)

①k＝1且c与d同向  ②k＝1且c与d反向

③k＝－1且c与d同向  ④k＝－1且c与d反向

答案  ④

解析  由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)．(λ－k)a＝(λ＋1)b.

∵a, b不共线，∴∴k＝λ＝－1.∴c与d反向.

8．设M是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则＋＝____________.

答案  ＋＝0

解析  ∵＋＝2，∴－＋－＝2，即＋＝2＋2＝0.

9．(2015新课标II理)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.

答案　

解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.

10．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．

答案  －a＋b

解析  ＝＋＝－＝b－(a＋b)＝－a＋b.

11．在四边形ABCD中，＝2，||＝||，则四边形ABCD的形状是__________．

答案  等腰梯形

解析  ∵＝2，∴AB∥DC，且AB＝2DC，又||＝||，∴AD＝BC，∴四边形ABCD为等腰梯形．

二、解答题

12．已知两个非零向量a与b不共线．

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

解析  (1)∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，

∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.

∴、共线，

又因为它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．

(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.

∴(k－λ)a＝(λk－1)b.

∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.

经检验，k＝±1均符合题意．

13．在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，求实数m的值．

解析  如题图所示，＝＋，

∴P为BN上一点，则＝k，

∴＝＋k＝＋k(－)，

又＝，即＝，

因此＝(1－k)＋，

所以1－k＝m，且＝，

解得k＝，则m＝1－k＝.