高考数学一轮复习考点讲与练专题10 二次函数与幂函数同步练习（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题10 二次函数与幂函数同步练习（含答案解析），共3页。试卷主要包含了若幂函数是偶函数，则，已知幂函数，则下列结论正确的是，函数在区间，上的最小值是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题）
1．（2024秋•西安期末）若幂函数是偶函数，则
A．B．3C．1D．1或3
2．（2025春•广东月考）已知幂函数在定义域内单调递增，则
A．B．C．D．2
3．（2024秋•福建期末）已知函数的值域为，，则实数的值为
A．或1B．C．1D．1或2
4．（2025春•杭州期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数
A．2B．C．1D．1或
5．（2025•湖南一模）已知幂函数在上单调递增，则的值为
A．1B．C．D．1或
6．（2025•湖北模拟）已知幂函数，则下列结论正确的是
A．为奇函数B．在其定义域上单调递减
C．（2）D．
7．（2024春•顺义区月考）函数在区间，上的最小值是
A．B．C．0D．4
8．（2024秋•渭南期中）如果函数在区间，上是减函数，那么实数的取值范围是
A．B．C．D．
9．（2024秋•清城区期中）若函数在，上单调递增，则实数的取值范围为
A．，B．，C．，D．，
10．（2024秋•泸州期末）已知函数的两个零点分别是和3，函数，则函数在，上的值域为
A．，B．，C．，D．，
二．多选题（共4小题）
（多选）11．（2025春•清远期中）已知幂函数的图象经过点，则下列判断中正确的是
A．函数图象经过点
B．当，时，函数的值域是，
C．函数满足
D．函数的单调减区间为，
（多选）12．（2025春•湖南月考）已知函数在区间，上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是
A．B．C．0D．1
（多选）13．（2024秋•甘肃期末）已知幂函数，函数在区间上单调递减，则下列正确的是
A．
B．函数的图象经过点
C．若，则（b）（a）
D．若，则
（多选）14．（2024秋•抚顺期末）已知幂函数，则下列说法正确的是
A．若，则在上单调递减
B．若，则是奇函数
C．函数过定点
D．若，则（5）
三．填空题（共4小题）
15．（2025•江苏三模）已知函数，，是偶函数，则 ．
16．（2025•浦东新区三模）已知幂函数在上严格增，则实数 ．
17．（2024秋•合肥期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ．
18．（2025春•湖北月考）已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋•驻马店期末）已知函数，且的解集为．
（1）求的解析式；
（2）若在区间上单调，求实数的取值范围；
（3）求在区间，上的最小值．
20．（2024秋•日照期末）已知幂函数的图象过点．
（1）求函数的解析式；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
21．（2025春•临泉县月考）设函数．
（Ⅰ）若函数在，上是单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若，是否存在实数，，使得函数的定义域为，，值域为，，若存在，求出，；若不存在，说明理由．
22．（2025•利津县开学）已知幂函数在上单调递减．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围．
23．（2024秋•石嘴山期末）若函数为幂函数，且在单调递减．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数，且．
写出函数的单调性，无需证明；
求使不等式成立的实数的取值范围．
24．（2024秋•福建期末）设幂函数在单调递增．
（1）求的解析式；
（2）设不等式的解集为函数的定义域，记的最小值为（a），求（a）的解析式．
一．选择题（共10小题）
二．多选题（共4小题）
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】由幂函数的定义和函数的奇偶性即可求解．
【解答】解：因为是幂函数，所以，
解得或，
当时，，该函数为奇函数，不符合题意，
当时，，该函数为偶函数，符合题意，
所以．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得即可．
【解答】解：因为幂函数在定义域内单调递增，
所以，且，解得．
故选：．
3．【答案】
【分析】因为函数，则由题意得，进而可求得答案．
【解答】解：因为函数开口向上，对称轴，
所以，
又函数的值域为，，
则，解得或．
故选：．
4．【答案】
【分析】利用幂函数的定义及性质即可得到判断．
【解答】解：是幂函数，
则，解得，
当时，在上单调递减，不合题意；
当时，在上单调递增，满足题意，故．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解．
【解答】解：因为幂函数在上单调递增，
所以，
解得．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据幂函数的定义求出的值，再结合幂函数的奇偶性和单调性判断各个选项即可．
【解答】解：因为幂函数，
所以，
设函数，显然函数在上单调递增，
又因为，
所以，
所以，定义域为，
因为，所以为偶函数，故错误；
因为，所以在上单调递减，
所以在上单调递增，故错误；
因为，且在上单调递减，
所以（1）（2），即（2），故正确；
因为，且在上单调递增，
所以，即，故错误．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据二次函数相关性质可解．
【解答】解：函数的对称轴为，
则在，单调递减，
在的最小值为（1）．
故选：．
8．【答案】
【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到关于的不等式，解出即可．
【解答】解：函数，开口向上，
对称轴是，
故的递减区间是，，
而在，上是减函数，
则，解得：．
故选：．
9．【答案】
【分析】由已知结合二次函数的单调区间与对称轴的位置关系可求．
【解答】解：因为函数在，上单调递增，
所以，
故选：．
10．【答案】
【分析】由函数的零点可得方程的根，再由韦达定理可得，的值，求出的解析式，再由函数的，单调递增，可得函数的值域．
【解答】解：因为函数的两个零点分别是和3，
所以和3是方程的根，
由韦达定理可得，解得，，
所以，
所以，，，
则单调递增，所以（1），（3），
而（1），（3），
即，．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据题意，求得函数，结合幂函数与二次函数的图象与性质，逐项判定，即可求解．
【解答】解：因为幂函数的图象经过点，
可得，解得，即，
因为，所以正确；
因为函数在区间，上单调递减，在，上单调递增，
所以当时，，
又由，（2），所以，所以函数的值域为，，所以错误；
因为，所以错误；
因为函数开口向上，对称轴为，
所以函数在区间，上单调递减，所以正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】结合函数的图象，即可得出的范围．
【解答】解：，结合函数的图象可知，，
当，时，有最大值，有最小值．
故选：．
13．【答案】
【分析】对，根据幂函数定义结合单调性求解判断；对，由选项得，代入运算判断；对，根据幂函数的单调性判断；对，利用作差比较法，结合基本不等式判断．
【解答】解：对于，为幂函数，函数在区间上单调递减，
则，解得，故错误；
对于，由选项，，可得，故正确；
对于，由函数为偶函数，可知函数在区间上单调递增，
可得（b）（a），故正确；
对于，由，，
则，
可得，故正确．
故选：．
14．【答案】
【分析】由幂函数的定义先求，然后结合幂函数性质检验各选项即可判断．
【解答】解：为幂函数，
故，即或，
：当时，，在上单调递增，显然错误；
：由题意得或为奇函数，正确；
：因为幂函数恒过，则恒过，错误；
：若，则，
所以（5），正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．
【分析】利用偶函数的定义及图象关于轴对称的特点，可以建立及，解得，，即可得到
【解答】解：函数，，是偶函数
或1
偶函数的图象关于轴对称，
故答案为：4．
16．【答案】2．
【分析】由幂函数的定义与性质，列式求解即可．
【解答】解：由幂函数的定义与性质，知，解得．
故答案为：2．
17．
【分析】根据幂函数的定义与性质，列式求解即可．
【解答】解：幂函数，且在上是增函数，
所以，解得．
故答案为：2．
18．【答案】．
【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可．
【解答】解：幂函数是偶函数，
，解得或，
当时，为奇函数，不符合题意，
当时，为偶函数，
在内单调递增，且为偶函数，
可化为，
解得，
的解集为．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2），，；
（3）．
【分析】（1）由题意可得1，3为方程的两根，再利用根与系数的关系可求出，的值，从而可求得的解析式；
（2）求出的图象的对称轴，然后由题意可得或，从而可求出实数的取值范围；
（3）分，和三种情况结合二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）的解集为，则1，3为方程的两根，
所以，得，，
所以；
（2）若在区间上单调，则或，
解得，或，
即，，；
（3）因为的开口向上，对称轴为，
所以当时，在区间，上递增，
此时；
当，即时，（2）；
当，即时，在区间，上递减，
此时；
综上所述：．
20．【答案】（1）；
（2），．
【分析】（1）将点代入幂函数的解析式，即可求解；
（2）分离出变量，再结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：（1）幂函数的图象过点．
则，解得，
故；
（2）由（1）可得，恒成立，，
令，
，，
实数的取值范围为，．
21．【答案】（Ⅰ），，；
（Ⅱ）存在，，，或．
【分析】（Ⅰ）利用二次函数的性质求出对称轴，再结合单调函数的性质求解参数范围即可．
（Ⅱ）对，的大小情况分类讨论，结合二次函数的性质求解符合情况的区间即可．
【解答】解：（Ⅰ）由二次函数性质得的对称轴，
因为函数在，上是单调函数，
所以或，则实数的取值范围是，，；
（Ⅱ）若，则，
假设存在实数，，使得函数的定义域为，，值域为，，
分以下情况讨论：若，函数在，上单调递减，
由题意得，即，
解得，此时，，；
若，函数在，上单调递增，
由题意得，即，
解得，与矛盾，排除；
若，函数在，上单调递增，在，上单调递减，
由题意得，解得，因为，
，所以，
解得，此时，
综上所述，存在实数，，，，或，
使得函数的定义域为，，值域为，．
22．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据函数是幂函数，单调性计算求参即可；
（2）根据单调性求不等式．
【解答】解：（1）由幂函数的定义可得，，
解得或3，
当时，，在上单调递增，不符合题意，
当时，，在上单调递减，符合题意，
所以；
（2）由函数图象关于轴对称，且在，上单调递增，
则可化为，
平方得，
解得，
所以的取值范围是．
23．【答案】（Ⅰ）1；
（Ⅱ）在区间单调递增，理由详见解析；
．
【分析】（Ⅰ）结合幂函数的定义域性质，即可求解；
（Ⅱ）结合复合函数的单调性，即可求解；
结合的范围，以及函数的单调性，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）函数为幂函数，
则，解得或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
所以实数的值为1；
（Ⅱ），
在区间单调递增，
证明如下：
则在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，在区间单调递增，
由知，在区间单调递增，
则，解得．
24．
【分析】（1）根据幂函数的定义形式和单调性，即可得到解析式；
（2）解出不等式，得到函数定义域，则题目转化为求含参二次函数在定区间上的最小值，分类比较对称轴和区间的关系，即可求得（a）的解析式．
【解答】解：（1）是幂函数且在单调递增，
，解得，．
（2）即，解得，
的定义域为，，
，
对称轴为，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，．
所以，．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
A
C
B
B
A
B
题号
11
12
13
14
答案
AD
BC
BCD
BD