新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第09讲 二次函数与幂函数（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
4．二次函数的图像
二次函数的图像是一条抛物线，二次项系数a的正负决定图象的开口方向，对称轴方程为，顶点坐标为.
【常用结论】
1.幂函数在第一象限内图象的画法如下：
①当时，其图象可类似画出；
②当时，其图象可类似画出；
③当时，其图象可类似画出．
2．实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系
（1）方程有两个不等正根
（2）方程有两个不等负根
（3）方程有一正根和一负根，设两根为
二、题型分类精讲
题型一 幂函数的定义与图像
策略方法 若幂函数y＝xα(α∈Z)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
【典例1】已知幂函数满足，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【详解】依题意，设，则，
所以.
故选：B
【题型训练】
一、单选题
1．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可
【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
2．已知为幂函数， 且， 则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据幂函数及求其解析式，进而求.
【详解】因为为幂函数，
设，则，
所以，可得，则.
故选：B
3．下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用分数指数式与根式的互化，结合具体函数的定义域的求法逐项分析即可求出结果.
【详解】A，则需要满足，即，所以函数的定义域为，故A不符合题意；
B，则需要满足，所以函数的定义域为，故B不符合题意；
C，则需要满足，所以函数的定义域为，故C不符合题意；
D，故函数的定义域为，故D正确；
故选：D.
4．已知幂函数的图像过点，则 的值域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先求出幂函数解析式，根据解析式即可求出值域.
【详解】幂函数的图像过点，
，解得，
，
的值域是.
故选：D.
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及幂函数的性质进行排除可得答案.
【详解】因为，所以为偶函数，排除A,B选项；
易知当时，为增函数，且增加幅度较为缓和，所以D不正确.
故选：C.
6．下列函数中，其图像如图所示的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的性质逐项分析即得．
【详解】由图象可知函数为奇函数，定义域为，且在单调递减，
对于A，，定义域为，，
所以函数为奇函数，在单调递减，故A正确；
对于B，，定义域为，故B错误；
对于C，，定义域为，故C错误；
对于D，，定义域为，，函数为偶函数，故D错误.
故选：A．
7．如图所示是函数(且互质)的图象，则（ ）
A．是奇数且B．是偶数，是奇数，且
C．是偶数，是奇数，且D．是偶数，且
【答案】C
【分析】根据幂函数的性质及图象判断即可；
【详解】解：函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，
在第一象限内，函数是凸函数，故，
故选：C.
二、填空题
8．函数的定义域为_______．
【答案】
【解析】将函数解析式变形为，即可求得原函数的定义域.
【详解】，所以，.
因此，函数的定义域为.故答案为：.
9．设集合，集合，则________．
【答案】/
【分析】根据指数函数与幂函数的性质，先求出集合A、B，然后根据交集的定义即可求解.
【详解】解：因为集合，，
所以，
故答案为：.
10．若函数的图像经过点与，则m的值为____________．
【答案】81
【分析】根据函数图象过的点求得参数，可得函数解析式，再代入求值即得答案.
【详解】由题意函数的图像经过点与，
则，则
故，
故答案为：81
11．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取，则定义域为R，且，
，，满足.
故答案为：.
12．已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.
【答案】-2(答案不唯一，满足或即可)
【分析】作出y=x和y=的图象，数形结合即可得a的范围，从而得到a的可能取值．
【详解】y=x和y=的图象如图所示：
∴当或时，y=有部分函数值比y=x的函数值小，
故当或时，函数在上不是增函数．
故答案为：-2．
题型二 幂函数的性质和综合应用
策略方法
(1)紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数.
(2)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0；若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
【典例1】函数同时满足①对于定义域内的任意实数x，都有；②在上是减函数，则的值为（ ）
A．8B．4C．2D．1
【答案】B
【分析】由的值依次求出的值，然后根据函数的性质确定，得函数解析式，计算函数值．
【详解】，，，代入分别是，
在定义域内，即是偶函数，因此取值或0，
时，在上不是减函数，
只有满足，此时，，
．
故选：B．
【题型训练】
一、单选题
1．已知幂函数为偶函数，则实数的值为（ ）
A．3B．2C．1D．1或2
【答案】C
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．
【详解】幂函数为偶函数，
，且为偶数，
则实数，
故选：C
2．幂函数的图象关于轴对称，且在上是增函数，则的值为（ ）
A．B．C．D．和
【答案】D
【分析】分别代入的值，由幂函数性质判断函数增减性即可.
【详解】因为，，
所以当时，，由幂函数性质得，在上是减函数；
所以当时，，由幂函数性质得，在上是常函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
所以当时，，由幂函数性质得，图象关于 y 轴对称,在上是增函数；
故选：D.
3．已知、，则“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】利用函数在上单调递增即可判断出结论.
【详解】是奇函数且为递增函数，所以，则，即，同理，，则，函数单调递增，得；
“”是“”的充要条件.
故选：C.
4．已知幂函数的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件求出的解析式，再根据的单调性和奇偶性求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
故，易知，为偶函数且在上单调递减，
又因为，
所以，解得，或.
故的取值范围为.
故选：C.
5．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用中间值比较a,b的大小，再让b，c与中间值比较，判断b,c的大小，即可得解.
【详解】，又因为通过计算知，所以，即，
又，所以，所以.
故选：B
二、多选题
6．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数的定义域为
B．函数为非奇非偶函数
C．过点且与图象相切的直线方程为
D．若，则
【答案】BC
【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作差比较大小，进而判定选项D错误.
【详解】设，将点代入，
得，则，即，
对于A：的定义域为，即选项A错误；
对于B：因为的定义域为，
所以不具有奇偶性，即选项B正确；
对于C：因为，所以，
设切点坐标为，则切线斜率为，
切线方程为，又因为切线过点，
所以，解得，
即切线方程为，即，
即选项C正确；
对于D：当时，
，
即成立，即选项D错误．
故选：BC．
7．已知函数是幂函数，对任意，，且，满足.若，，且的值为负值，则下列结论可能成立的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BC
【解析】首先根据函数是幂函数，求得的两个值，然后根据题意判断函数在上是增函数，确定的具体值，再结合函数的奇偶性可判断得正确选项.
【详解】由于函数为幂函数，故，即，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”知，函数在上为增函数，故.
易见，故函数是单调递增的奇函数.
由于，即，得，所以，此时，若当时，，故；当时，，故，故；当时，由知，，故或或，即或或.
综上可知，，且或或.
故选：BC.
【点睛】本题解题关键是熟知幂函数定义和性质突破参数m，再综合应用奇偶性和单调性的性质确定和的符号情况.
三、填空题
8．已知幂函数是偶函数，在上递增的，且满足.请写出一个满足条件的的值，__________.
【答案】
【分析】结合偶函数和单调性及可得，答案不是唯一的.
【详解】因为，所以；
因为在上递增的，所以；
因为幂函数是偶函数，所以的值可以为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查幂函数的性质，幂函数的单调性和奇偶性取决于，侧重考查数学抽象的核心素养.
9．已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】先求，再根据奇函数求
【详解】，因为为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．已知函数，则关于的表达式的解集为__________.
【答案】
【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】由题意可知，的定义域为，
所以，
所以函数是奇函数，
由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增，
由，得，即，
所以，即，解得，
所以关于的表达式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
11．已知幂函数的图像关于y轴对称．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据幂函数的定义和性质求出m的值即可；
(2)由(1)求出函数的解析式，结合二次函数的性质即可得出结果.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
又的图像关于y轴对称，所以，
故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
故在上的值域为．
12．已知幂函数的定义域为R.
(1)求实数的值；
(2)若函数在上不单调，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由幂函数定义求得参数值；
（2）由二次函数的单调性知对称轴在开区间上，再由指数函数性质，对数的定义得结论．
【详解】（1）由题意且，解得；
（2）由（1），的对称轴 ，
因为在上不单调，所以，
解得．
题型三 二次函数单调性问题
策略方法 二次函数单调性问题的求解策略
(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．
(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．
【典例1】“函数在区间上不单调”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据二次函数的单调性以及充分且必要条件的概念可得答案.
【详解】由函数在区间上不单调，可得，即；
由，得，得函数在区间上不单调，
所以“函数在区间上不单调”是“”的充分且必要条件.
故选：C
【题型训练】
一、单选题
1．若二次函数，满足，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先根据，判断出二次函数的对称轴，然后再根据二次函数的单调性即可得出答案.
【详解】因为，所以二次函数的对称轴为，
又因为，所以，
又，所以.
故选：B.
2．已知在为单调函数，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的单调性，从而得到.
【详解】在上单调递减，在上单调递增，故要想在为单调函数，需满足，
故选：D
3．已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解.
【详解】二次函数，对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
要使二次函数的两个零点都在区间内，
需，解得
故实数a的取值范围是
故选：C
4．已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a的不等式组，解不等式组即可得答案.
【详解】解：因为函数在R上为减函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围为，
故选：B.
二、填空题
5．若函数在区间单调递减，则实数的取值范围为 __．
【答案】
【分析】根据一元二次函数单调性，结合条件，可知，然后求出的取值范围即可.
【详解】易知二次函数的单调递减区间为，
又因为函数在区间单调递减，
所以，
即，解得.
故答案为：.
6．若函数满足下列性质：
（1）定义域为，值域为；
（2）图象关于直线对称；
（3）对任意的，且，都有．
写出函数的一个解析式：_______．
【答案】（不唯一）
【分析】根据二次函数的对称性、值域及单调性可得一个符合条件的函数式.
【详解】由二次函数的对称性、值域及单调性可得解析式，
此时对称轴为，开口向上，满足（），
因为对任意，，且，都有，
等价于在上单调减，
∴，满足（），
又，满足（），
故答案为：（不唯一）．
7．若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是_____________.
【答案】[0,4]
【分析】可先求出二次函数的对称轴，再根据函数的增减性及对称性可求得m的取值范围．
【详解】二次函数的对称轴，时函数单调递增，，二次函数开口向下，函数单调递减，根据二次函数的对称性，，f(m)≥f(0)，
【点睛】二次函数是对称函数，解题时，一定要根据对称性来解题，防止漏解错解．
题型四 二次函数最值问题
策略方法 二次函数最值问题的类型及解题思路
(1)类型：
①对称轴、区间都是给定的；
②对称轴动、区间固定；
③对称轴定、区间变动．
(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．
【典例1】若函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－1，2]上有最大值4，则a的值为( )
A．B．－3C．或－3D．4
【答案】C
【分析】按分类讨论求的最大值，然后由最大值为4得参数值．
【详解】由题意得f(x)＝a(x＋1)2＋1－a．①当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
②当a>0时，函数f(x)在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得；
③当a