高考数学一轮复习考点讲与练专题09 函数的对称性讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题09 函数的对称性讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了奇函数、偶函数的对称性，两个函数图象的对称等内容，欢迎下载使用。

1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)．
2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．
►考点01 判断函数的对称性

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例1】（2025•四川模拟）已知函数，则函数的图象
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于直线对称D．关于直线对称
【答案】
【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果．
【解答】解：因为，则为奇函数，
函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象关于点对称．
故选：．
【例2】（2024春•潮阳区期中）定义在上的函数满足．若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是
A．B．C．（4）D．（6）
【答案】
【分析】根据，令，可求得（2），再根据函数的对称性可得（6）及，再令，可求得，即可得出答案．
【解答】解：因为函数满足，
所以（2）（2），所以（2），
又的图象关于直线对称，
所以（6）（2），且，
则，
所以，
所以，
无法求出，（4）．
故选：．
【例3】（2025•苏州三模）已知函数，定义域为的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，，，，，则
A．0B．4C．8D．12
【答案】
【分析】先判断函数与的图象都关于对称，然后结合对称性即可求解．
【解答】解：因为，
显然为奇函数，图象关于原点对称，
故的图象关于对称，
因为，则的图象也关于对称，
则与的交点也关于对称，
若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，，，，，
则．
故选：．
【例4】（2024秋•衢州期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】令，然后判断的奇偶性，进而可求的对称性．
【解答】解：令
则，
所以为奇函数，图象关于原点对称，
所以的图象关于对称．
故选：．
【例5】（2024•泸州模拟）已知函数满足，若函数与图象的交点横坐标分别为，，，，则
A．B．C．D．0
【答案】
【分析】依题意可得，即可得到函数的图象关于对称，再根据对称性计算可得结论．
【解答】解：因为，
所以，
所以函数的图象关于对称，
又函数关于对称，
则与 的交点应为偶数个，且关于对称，
所以．
故选：．
►考点02 利用对称性求函数值或解析式

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例6】（2025•梅河口市二模）已知函数为上的奇函数，若函数与的图象关于点对称，则（4）
A．1B．0C．D．
【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性及奇函数的性质进行转化即可求解．
【解答】解：已知函数是上的奇函数，即，且．
函数与的图像关于点对称，
根据对称的定义，对于上的任意一点，对应的上的点为，
因此，当时，有，
令，则，代入得，
代入，得（4），
因此（4）．
故选：．
【例7】（2024秋•温州期末）已知函数．
（1）求（1）的值；
（2）求函数的定义域；
（3）证明：曲线是中心对称图形．
【答案】（1）0；
（2），，；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据对数函数的性质即可求解；
（2）根据对数函数的定义域即可求解；
（3）结合（1），（2）即可求解；
【解答】解：（1）；
（2）令，则，即，得或，
所以函数的定义域是，，；
（3）证明如下：由函数的定义域，结合第（1）问（1）知，
若曲线是中心对称图形，对称中心一定是，
又，
故曲线关于点中心对称．
【例8】（2024秋•谷城县期中）已知定义在上的函数，对，都有，若函数的图象关于直线对称，则
A．B．C．2D．1
【答案】
【分析】由函数的奇偶性和周期性求出即可．
【解答】解：因为对，都有，
所以，即是以4为周期的周期函数，
因为函数的图象关于直线对称，所以，
即，所以是偶函数，
所以（1），
由，令，可得（1），解得（1），
所以．
故选：．
【例9】（2024秋•鼓楼区期中）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则（1）
A．0B．2024C．4051D．8102
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的对称中心，再利用对称性求出函数值的和．
【解答】解：依题意，，
则，
显然，即函数是奇函数，
因此函数的对称中心为，即，
所以（1）
．
故选：．
【例10】（2024秋•淮阴区月考）若偶函数满足，且当时，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】分析可知的一个周期为2，根据周期性结合偶函数性质以及对数运算求解．
【解答】解：因为，则，
又因为为偶函数，则，
可得，可知的一个周期为2，
因为，且，
可得，且，
所以．
故选：．
►考点03 对称性与奇偶性、周期性的综合应用

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例11】（2025•黑龙江模拟）函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则下列说法错误的是
A．为偶函数B．为周期函数且周期为12
C．（4）D．
【答案】
【分析】用代替，可得，可判断；用替换，结合偶函数的性质可得正确；用替换，结合偶函数的性质可得正确；由函数的周期性可得错误．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
所以（2），所以（2），
又（4）（2），所以（4）（2），所以选项正确；
因为，所以，
所以，所以为偶函数，所以选项正确；
因为，所以，
所以，所以，
所以，即．
所以，
故是以12为周期的周期函数，所以选项正确；
（6），
所以（6）（4）（4）（2）；
（8）（2），（4），，
所以，所以选项错误．
故选：．
【例12】（2025•李沧区模拟）已知函数是上的奇函数，且，当，时，，则
A．2B．1C．0D．
【答案】
【分析】根据题意可得，，从而可得，进而可得的周期为4，再利用函数的周期性，即可求解．
【解答】解：因为是上的奇函数，
所以，且，又，
所以，
所以，
所以，所以的周期为4，
由，可得，
所以（1）（3）（2）（4），
所以（1）（2）（3）（4），
又（1），
所以根据周期性可得（1）（2）（3）（4）
．
故选：．
【例13】（2025•鹤山区二模）已知函数的定义域为，若为奇函数，且为偶函数，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用奇偶函数得到周期为8，且，即可求得结果．
【解答】解：函数的定义域为，
为奇函数，
，
①；
令，得到；
为偶函数，
，
②；结合①②得到：，
，，
，所以函数的周期为8，
（7）．
故选：．
【例14】（2025春•大祥区期中）已知的图像关于点对称，对，都有成立，且当时，，则等于
A．B．2C．0D．
【答案】
【分析】根据函数的对称性，周期性，化归转化，即可求解．
【解答】解：的图像关于点对称，
的图像关于点对称，
，
，，的周期为4，
（1）．
故选：．
【例15】（2025春•青羊区期中）已知函数的定义域是，满足，，函数的导函数在上总有意义，则（5）
A．0B．1C．2D．4
【答案】
【分析】求导后，根据抽象函数的对称性，即可求解．
【解答】解：因为，，
所以，，
所以（1）（1），所以（1），
由，，
可得，，
所以，所以，
所以，
所以（5）（1）．
故选：．
►考点04 利用对称性解不等式或方程

▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼ ▼

【例16】（2024•博望区学业考试）已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在，上单调递减，若，则不等式的解集为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】由已知结合函数的对称性及单调性即可求解不等式．
【解答】解：因为函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，
所以的图象关于对称，
因为在，上单调递减，，
所以在上单调递增，（5）
则不等式可得，
解得．
故选：．
【例17】（2024秋•蔡甸区月考）已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在，上单调递减，若，则不等式的解集为 ， ．
【答案】，．
【分析】依题意，由函数的对称性与单调性的性质以及分析可求得：的解，进而可得的解集．
【解答】解：对任意的，均有成立，
的图象关于直线对称，又，
（5），
又在，上单调递减，
在，上单调递增，
当时，，
，解得，
不等式的解集为，．
故答案为：，．
【例18】（2024秋•沙坪坝区期末）已知函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【分析】先判断函数的对称性以及单调性，结合函数的对称性将不等式进行转化求解即可
【解答】解：，则关于对称，且当时，为增函数，
由，等价，
平方得，解得
故选：．
【例19】（2023秋•垫江县月考）已知函数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）2；
（2）答案见解析．
【分析】（1）利用图象平移变化可得的对称轴为，然后由二次函数性质可解；
（2）根据相应二次函数开口方向和两根大小关系分类讨论即可．
【解答】解：（1）根据题意，因为为偶函数，则的图象关于对称，
所以，解得，
此时，满足题意，
所以，的值为2．
（2）．
因为，所以方程的两根为和1，
当时，，不等式解集为；
当时，，不等式解集为；
当时，，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
【例20】（2024秋•耒阳市月考）已知偶函数与奇函数的定义域都是，，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
【分析】分，和，两种情形，结合函数奇偶性的特点，即可得解．
【解答】解：因为不等式，
所以当，时，有，，；
当，时，有或，，，
综上，，，．
故选：．
1.轴对称：
验证是否对某常数a恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）．
2.中心对称：
验证是否对某常数a,b恒成立．
若为多项式函数，观察是否满足（整理后各项系数为0）．
技巧：
二次函数必关于对称．
三次函数必关于其拐点中心对称．
1.利用对称性建立等式：
若关于对称，则，代入已知点求未知值．
若关于对称，f(x)=2b-f(2a-x)，用于递推或构造方程．
2.对称变换法：
若关于对称，则（g为偶函数）．
若关于对称，则f(x)=b+h(x-a)（h为奇函数）．
1.对称性与周期性的关系：
若函数有两条对称轴和（），则周期．
若函数有一个对称中心和一条对称轴（），则周期．
若函数有两个对称中心和（），则周期．
2.奇偶性与对称性的结合：
奇函数+关于对称周期．
偶函数+关于对称周期．
1.利用对称性化简表达式：
若关于对称，令，将不等式转化为关于t的偶函数形式，利用单调性求解．
若关于对称，令t=x-a，将表达式转化为关于t的奇函数形式，结合中心对称性质分析.
2.对称性与单调性结合：
对称轴 / 中心两侧的单调性相反（如偶函数在x>a单调递增，则单调递减），利用对称性将不等式两边转化到同一单调区间求解．