高考数学一轮复习考点讲与练专题11 指数与指数函数讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题11 指数与指数函数讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了根式，分数指数幂，指数幂的运算性质，指数函数及其性质等内容，欢迎下载使用。

1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子eq \r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(eq \r(n,a))n＝a.
当n为奇数时，eq \r(n,an)＝a，
当n为偶数时，eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：＝＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
►考点01 指数运算与化简求值

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【例1】（2025•湖北模拟）已知，，化简得
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据分数指数幂和根指数幂的关系化简即可．
【解答】解：，，化简，
故选：．
【例2】（2025•新乡二模）
A．16B．C．32D．
【答案】
【分析】结合指数幂的运算法则，即可求解．
【解答】解：原式．
故选：．
【例3】（2024秋•光明区期末）化简的结果是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】直接化根式为分数指数幂得答案．
【解答】解：．
故选：．
【例4】（2025•扬州模拟）已知，则化为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用根式的运算性质即可得出．
【解答】解：原式．
故选：．
【例5】（2024秋•上城区月考）已知，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据条件可求出的值，然后对求平方即可得解．
【解答】解：，，
，
．
故选：．
►考点02 指数函数的定义域与值域

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【例6】（2023秋•上饶期末）函数的定义域为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】根据函数的定义域的概念以及指数函数的性质求解．
【解答】解：函数有意义则必有，解得，
所以定义域为，．
故选：．
【例7】（2024秋•宜春期中）函数的定义域为
A．，B．C．，D．
【分析】可看出，要使函数有意义，则需满足，解出的范围即可．
【解答】解：要使函数有意义，则；
解得：；
函数的定义域是．
故选：．
【例8】（2024秋•常州期末）函数的值域为
A．，B．，C．D．，
【答案】
【分析】根据指数函数的性质即可求解．
【解答】解：设，，
，．
故选：．
【例9】（2025•杨浦区开学）已知函数的定义域为，则函数的值域为 ， ．
【答案】，．
【分析】根据题意可转化为在上恒成立，从而可解范围，再利用换元法可解值域．
【解答】解：已知函数的定义域为，
即在上恒成立，
若时，则不能恒成立，
则时，则，则，
综上，
令，
又在，单调递增，
则，
则函数的值域为，．
故答案为：，．
【例10】（2024秋•安宁区期末）已知，求函数的值域为 ．
【答案】．
【分析】借助换元法可得，再结合的范围运用二次函数性质计算即可得．
【解答】解：令，由，则，
则
，
由，则，
又当时，，
当时，，
有，
故，故函数的值域为．
故答案为：．
►考点03 指数函数的单调性与比较大小

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【例11】（2024秋•江西期末）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】由指数复合函数的区间单调性有，即可求参数范围．
【解答】解：根据指数函数的性质可知，在上单调递减，且在区间上单调递减，
根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递增，
根据二次函数的单调性可知，，即，
的取值范围是，．
故选：．
【例12】（2024秋•海南期末）设，，，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性即可判断．
【解答】解：因为在上增函数，所以，即，
又在上减函数，所以，即，
所以．
故选：．
【例13】（2024秋•庐江县期末）已知，，，则，，的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据指数函数、幂函数的性质判断即可．
【解答】解：指数函数在定义域上单调递减，过点，
幂函数在上单调递增且过点，
在同一平面直角坐标系中画出与的图象如下：
所以与有且仅有一个交点，
且交点的横坐标属于，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，，
综上知，．
故选：．
【例14】（2024秋•普陀区期末）函数的严格递减区间为 ， ．
【答案】，．
【分析】由题意结合指数函数、二次函数以及复合函数单调性即可得解．
【解答】解：由题意指数函数在定义域内严格单调递减，
若要函数关于严格单调递减，只需关于严格单调递增即可，
而二次函数对称轴为，且开口向上，
故它的严格单调递增区间为，，即函数的严格递减区间为，．
故答案为：，．
【例15】（2025•辽宁二模）已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据函数单调递增，单调递减，判断．
【解答】解：因为单调递增，所以，
又因为单调递减，所以，
所以，即．
故选：．
►考点04 指数方程与不等式

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【例16】（2023秋•长沙期中）已知且满足不等式．
（1）求实数的取值范围．
（2）求不等式．
（3）若函数在区间，有最小值为，求实数值．
【答案】
【分析】（1）根据指数函数的单调性解不等式即可求实数的取值范围．
（2）根据对数函数的单调性求不等式．
（3）根据复合函数的单调性以及对数的性质即可求出的值．
【解答】解：（1）．
，即，
，
，，
．
（2）由（1）知，
．
等价为，
即，
，
即不等式的解集为，．
（3），
函数在区间，上为减函数，
当时，有最小值为，
即，
，
解得．
【例17】（2024秋•河南期中）设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若（1），判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若（1），且，求在，上的最小值．
【分析】由题意，先由奇函数的性质得出的值，
（1）由（1）求出的范围，得出函数的单调性，利用单调性解不等式；
（2）（1）得出的值，将函数变为，再利用换元法求出函数的最小值．
【解答】解：函数且是定义域为的奇函数，可得，从而得，即．
（1）由（1）可得，解得，所以是增函数，
由可得，
所以，解得，
即不等式的解集是．
（2）（1）得，解得，故，
令，它在，上是增函数，故，即．
此函数的对称轴是，故最小值为．
【例18】（2024•德阳模拟）已知函数，的最大值为1．
（1）求常数的值；
（2）若，，求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由题可得，分类讨论可得时，，即，然后通过构造函数可求；
（2）由题可得，构造函数，利用导数可得，即得．
【解答】解：（1）由题意，．
由于，
所以若，即，
当时，；当时，；
即在上单调递减，在，上单调递增，不合题意；
若，即，
当时，；当时，；
即在上单调递增，在，上单调递减，
，
所以，两边取自然对数得：，
即，
令，
则，
易知时，，单调递增；时，，单调递减，
（1），
即的根为1，
所以，
即；
（2）由（1）知，且在上单调递增，在上单调递减，
（1），，
当时，；当时，，
由，不妨设，
则，
令，
于是，
所以在上单调递增，
所以，
所以，且，，
从而，
即．
【例19】（2024秋•辛集市期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
【分析】根据指数函数的单调性将不等式转化为一元二次不等式恒成立，利用一元二次不等式恒成立转化为对应判别式△，解不等式即可得到结论．
【解答】解：不等式等价为，
即恒成立，
恒成立，
即△，
即，
解得，
故答案为：．
【例20】（2024春•衡阳期末）若偶函数满足，则不等式的解集是
A．B．C．或D．或
【答案】
【分析】由偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式．
【解答】解：由偶函数满足，
可得，
则，
要使，只需
，
解得或．
故选：．
►考点05 指数函数的图象及应用

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【例21】（2025春•湖南月考）若函数的大致图象如图所示，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由已知可得，分类讨论，可得结论．
【解答】解：由题意知，令，得，所以．
由函数的图象知，，
所以当时，；当时，．
当时，若，，所以，和图象不符，
所以，，所以一定有．
故选：．
【例22】（2024秋•阜阳期末）四个指数函数，，，的图象如图所示，则下列结论正确的是
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和
【答案】
【分析】由已知结合指数函数的性质分别检验各函数即可判断
【解答】解：结合指数函数的性质可知，当时，单调递增，且底数越大，函数图象越接近轴，
当时，单调递减，且底数越小，函数图象越接近轴，
故，，，的图象分别对应④③①②．
故选：．
【例23】（2024秋•颍泉区期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用函数奇偶性的性质，及特殊值可判定选项．
【解答】解：令，
易知，，，，
即，，，分别为奇函数、偶函数、偶函数、偶函数，
由图象可知为奇函数，且在处有定义，故排除，
显然对于项，在处有定义，，
为奇函数，故成立．
故选：．
【例24】（2024秋•安宁区期末）函数的图象大致形状是
A．B．
C．D．
【分析】由已知写出分段函数解析式，作出分段函数的图象得答案．
【解答】解：，
函数函数的图象大致形状是：
故选：．
【例25】（2024秋•巴音郭楞州期末）指数函数与的图象如图所示，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先根据指数函数图像增减性判断出，大小；其次根据函数单调性判断出，大小；最后根据函数单调性判断出，大小，综合得出答案．
【解答】解：①先判断和的大小：由图像单调递增可得出；
同理由图像单调递减可得出，故．
②判断出与大小：由图象可知，函数的图象在上单调递增，
，，答案，错误，
③判断出与大小：函数的图象在上单调递减，
，，答案正确．
故选：．a>1
01；
当x