高考数学一轮复习考点讲与练专题12 对数与对数函数讲义（含答案解析）

这是一份高考数学一轮复习考点讲与练专题12 对数与对数函数讲义（含答案解析），共3页。试卷主要包含了对数的概念，对数的性质与运算性质，对数函数的图象与性质等内容，欢迎下载使用。

1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作 ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．lgab·lgba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1，b>0)
2．如图，给出4个对数函数的图象．
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
►考点01 对数式的运算

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【例1】（2024秋•滨州期末）计算的值为
A．5B．6C．7D．8
【答案】
【分析】根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式运算即可．
【解答】解：
．
故选：．
【例2】（2024秋•安徽期末）化简的值为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简即可求解．
【解答】解：
．
故选：．
【例3】（2024秋•济宁期末）
A．2B．4C．6D．8
【答案】
【分析】利用对数的运算性质即可求解．
【解答】解：原式
．
故选：．
【例4】（2025春•河东区月考）计算的值为 3 ．
【答案】3．
【分析】结合对数的运算性质即可求解．
【解答】解：
．
故答案为：3．
【例5】（2024秋•沙依巴克区期末）
A．10B．11C．12D．3
【答案】
【分析】利用对数的运算和性质，指数幂的运算化简求值即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
►考点02 对数函数的定义域与值域

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【例6】（2025春•朝阳月考）函数的定义域为
A．B．，，C．D．，，
【答案】
【分析】根据函数解析式列出相应不等式，即可求得答案．
【解答】解：由题意得，得且．
即函数的定义域为，，．
故选：．
【例7】（2024秋•仁寿县期末）函数的定义域为
A．，B．，C．，，D．，，
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求解集即可．
【解答】解：因为函数，
所以，即，
解得且，
所以的定义域为，，．
故选：．
【例8】（2023秋•内蒙古期末）已知函数的值域为，，则函数的定义域为
A．，B．，C．，D．
【答案】
【分析】先求出的定义域，再结合抽象函数定义域的求法，即可求解．
【解答】解：由值域为，，得，
故，即的定义域为，，
令得，故的定义域为，．
故选：．
【例9】（2023秋•镇江期末）函数的定义域为，则值域为
A．B．C．D．，
【答案】
【分析】根据已知条件，结合函数的单调性，即可求解．
【解答】解：在上单调递增，
，，
故所求值域为．
故选：．
【例10】（2024秋•宝山区月考）函数的值域为 ， ．
【答案】，．
【分析】求出的范围，得到函数解析式中分母的范围，取倒数得答案．
【解答】解：，，
则，
则函数的值域为，．
故答案为：，．
►考点03 对数函数的单调性应用（解不等式、比较大小）

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【例11】（2025•金华模拟）已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据已知条件，结合换底公式，以及对数函数单调性，即可求解．
【解答】解：，，，
又，
则，
又，
则．
故选：．
【例12】（2025•安溪县模拟）已知函数在，上为减函数，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】根据对数复合函数的对称性进行求解即可．
【解答】解：令，对称轴为，
因为函数是正实数集上的减函数，
所以要想函数在，上为减函数，
只需函数在，上为增函数，且在，上恒成立，
所以，且（2），
解得．
故选：．
【例13】（2025•思明区模拟）若函数是减函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据可得，利用求出的取值范围验证取舍可得结果．
【解答】解：由题意得，函数定义域为，
因为，
所以，
又因为且，所以，所以，
又因为，所以，解得，
当时，，，不合题意，
所以的取值范围是，．
故选：．
【例14】（2025•吉林三模）若函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由已知结合对数函数，一次函数的单调性及复合函数的性质即可求解．
【解答】解：若函数在区间，上单调递减，
则，解得．
故选：．
【例15】（2025•南开区一模）已知函数，在，上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】令，得到为单调递增函数，根据对数函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，求得的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：根据知是增函数，
又在，上是减函数，
，解得，
的取值范围为：．
故选：．
►考点04 对数函数的奇偶性与对称性

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【例16】（2024秋•巫山县期末）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称，若，则的值是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】由函数的图象与的图象关于直线对称，则的图象与互为反函数，易得的解析式，由函数的解析式构造方程，解方程即可求得的值．
【解答】解：函数的图象与的图象关于直线对称，
函数与互为反函数，
则，
又
，
，
故选：．
【例17】（2024•盐湖区一模）设方程的两根分别为、，则
A．B．C．D．
【答案】
【分析】作出函数对应的图象，判断两个根的取值的大体范围，然后利用对数的运算法则和指数函数的性质进行判断大小即可．
【解答】解：作出函数，的图象，由图象可知，两个根一个小于，一个在之间，
不妨设，，
则，
．
两式相减得：
，
即．
故选：．
【例18】（2024秋•城区月考）已知，则函数与函数的图象可能是 ② ．
【分析】由，则得到，即，然后根据指数函数和对数函数的性质即可判断函数的图象．
【解答】解：，
，即，
①的定义域为，①错误．
②由图象知指数函数单调递增，，此时单调递增，满足条件．
③由图象知指数函数单调递减，，此时单调递减，不满足条件．
④由图象知指数函数单调递增，，此时单调递增，不满足条件．
故答案为：②．
【例19】（2024秋•高要市月考）已知函数，，若（3）（3），则与的图象为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据指数函数的性质，由（3）（3）得到（3）从而得到的取值范围，然后根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论．
【解答】解：，，若（3）（3），
（3），（3），
，
即，都为增函数，
故选：．
【例20】函数，的图象与直线的交点分别为，和，，下列各式成立的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据指数函数和对数函数之间的关系，得到函数，为反函数，两个函数的图象关于对称，然后利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：，
函数的反函数为，
即函数，的图象关于轴对称．
即在直线上，
，
即，
，
故选：．
►考点05 对数函数的图象及应用

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【例21】（2025•长沙一模）已知，，且，，则函数与的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分析可知，，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．
【解答】解：由可知，，
故，
故函数与函数的单调性相同．
故选：．
【例22】（2024秋•盐城期末）函数的图象大致为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再代入特殊点逐一排除即可．
【解答】解：由函数，可知定义域为，，，且定义域关于原点对称．
因为，
所以函数为奇函数，故排除选项；
因为，故排除选项；
因为，故排除选项．
故选：．
【例23】（2024秋•蚌埠期末）函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：
则按照从左到右图象对应的函数序号是
A．①④③②B．①④②③C．④①②③D．③④②①
【答案】
【分析】将函数写成分段函数，结合函数定义域，单调性作出判断，得到答案．
【解答】解：已知函数：①；②；③；④，
由①，对应的图象为从左到右第一个，
由②令，得，故定义域为，
且，
对应的图象为从左到右第三个，
由③，对应的图象为从左到右第四个，
令，解得或，故的定义域为，，，
由④，
由复合函数可知，在上单调递减，
在上单调递增，
对应的图象为从左到右第二个，
按照从左到右图象对应的函数序号是①④②③．
故选：．
【例24】（2024秋•安溪县期末）函数且的图象如图所示，则必有
A．，B．，
C．，D．，
【答案】
【分析】根据对数函数的知识以及图象来确定正确答案．
【解答】解：由图象可知，在定义域上单调递增，而是增函数，
根据复合函数单调性可知，，
又，，则，
由图可知，当时，，即，
由图可知，则，可得．
故选：．
【例25】（2024秋•长沙期末）函数，且与函数在同一直角坐标系中的图象大致是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由函数与函数的图象特征，结合选项直接得解．
【解答】解：函数的对称轴为，且恒过定点，观察选项可知，选项可能符合，
若选，则由图象可知，此时，函数单调递减，且恒过定点，符合题意．
故选：．a>1
00；当0