微专题2　函数的对称性高考数学一轮复习讲义练习

这是一份微专题2　函数的对称性高考数学一轮复习讲义练习，共4页。
轴对称
探究1 一个函数的自对称
例 1-1 已知函数f(x－1)为偶函数，且函数f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，则关于x的不等式f(1－2x)＜f(－7)的解集为( )
A. (－∞，3)B. (3，＋∞)
C. (－∞，2)D. (2，＋∞)
变式 1-1 (2024·萍乡期末)已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2]上单调递增，若函数f(x＋2)为偶函数，且f(3)＝0，则不等式xf(x)＞0的解集为( )
A. (0，3)
B. (－∞，0)∪(1，3)
C. (－∞，0)∪(3，＋∞)
D. (0，1)∪(3，＋∞)
探究2 两个函数的互对称
例 1-2 (2024·平顶山联考)下列函数中，其图象与函数y＝lg2x的图象关于直线x＝2对称的是( )
A. y＝lg2(2＋x)B. y＝lg2(2－x)
C. y＝lg2(4＋x)D. y＝lg2(4－x)
变式 1-2 若函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(2＋x)的图象关于直线x＝m对称，则m＝( )
A. 3B. eq \f(3,2)
C. －1D. － eq \f(1,2)
中心对称
例2 已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝ eq \f(x＋1,x)与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，则 eq \(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1)) (xi＋yi)＝_____________．
变式2 (2024·商洛预测)若y＝f(x＋1)－2为奇函数，则f(－3)＋f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝( )
A. －14B. 14
C. －18D. 18
中心对称与轴对称的应用
例3 (1) (2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )
A. f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0B. f(－1)＝0
C. f(2)＝0D. f(4)＝0
(2) (2025·漳州一检)(多选)已知定义在R上的函数f(x)不恒等于0，f(π)＝0，且对任意的x，y∈R，有f(2x)＋f(2y)＝2f(x＋y)f(x－y)，则( )
A. f(0)＝1
B. f(x)是偶函数
C. f(x)的图象关于点(π，0)成中心对称
D. 2π是f(x)的一个周期
变式3 (2024·济宁一模)设函数f(x)的定义域为R，f(2x－1)为奇函数，f(x－2)为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2－1，则f(2 023)－f(2 024)＝( )
A. －1B. 0
C. 1D. 2
三次函数的对称中心
例4 (1) 对于定义在D上的函数f(x)，点A(m，n)是f(x)图象的一个对称中心的充要条件是：对任意x∈D都有f(x)＋f(2m－x)＝2n，则函数f(x)＝x3＋2x2＋3x＋4图象的一个对称中心为______________．
(2) 已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是_____________．
变式4 (多选)已知函数f(x)＝x3－3x2＋3x，则( )
A. f(f(1))＝1
B. 函数f(x)的图象关于直线x＝1对称
C. 函数f(x)是奇函数
D. 函数f(x)的图象关于点(1，1)中心对称
配套精练
1. (2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A. －50 B. 0
C. 2 D. 50
2. (2024·烟台、德州一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则f(lg212)＝( )
A. － eq \f(1,3) B. － eq \f(1,4)
C. eq \f(1,3) D. eq \f(1,2)
3. (2021·全国甲卷理)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,2)))＝( )
A. － eq \f(9,4) B. － eq \f(3,2)
C. eq \f(7,4) D. eq \f(5,2)
4. (2024·泰州预测)已知f(x)是定义在R上的函数，且f(2x－1)为偶函数，f(x－2)为奇函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝ eq \f(1,2x)－1，则f(11)＝( )
A. －1 B. － eq \f(1,2)
C. eq \f(1,2) D. 1
5. (2024·新乡二模)已知函数f(x)满足f(x＋y＋1)＝f(x)＋f(y)，则下列结论一定正确的是( )
A. f(x)＋1是奇函数 B. f(x－1)是奇函数
C. f(x)－1是奇函数 D. f(x＋1)是奇函数
6. (2024·安庆二模)(多选)已知定义在R上的函数f(x)，满足对任意的实数x，y，均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且当x＞0时，f(x)＜1，则( )
A. f(0)＝1 B. f(1)＋f(－1)＝1
C. 函数f(x)为减函数 D. 函数y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称
7. (多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x＋1)为奇函数，当x∈[－1，0]时，f(x)＝k·3x－2，则下列结论正确的是( )
A. f(x)关于点(1，0)对称
B. k＝6
C. f(2 026)＝－4
D. 2是f(x)的一个周期
8. (多选)已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)＝f(x＋4)＋f(2)，若函数y＝f(x＋3)的图象关于直线x＝－3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则下列结论正确的是( )
A. f(2)＝0
B. f(x)是偶函数
C. f(x)是周期为4的周期函数
D. f(3)＜f(－4)
9. 若函数f(x)＝(x＋3)(2x2＋mx＋n)对于∀x∈R都有f(2－x)＋f(x)＝0，则2m＋n＝____________．
10. 我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数. 已知函数f(x)＝ln eq \f(4－x,x)＋2x，则函数y＝f(x)的对称中心为_____________．
11. 已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)满足f(x)＋g(1－x)＝3，g(x)＋f(x－3)＝3.若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝____________．
12. (2024·淮安、连云港期末)已知函数f(2x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，且当x∈(0，1]时，f(x)＝lg2x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(19,2)))＝_____________．