2027届高考数学人教A版一轮复习第26讲简单的三角恒等变换 课时作业（含答案）

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1.已知α∈(0,π),若sin(2α+2 025π2)=2+34,则sin α=( )
A.3−18 B.3−14
C.3+18D.3+14
答案:B
解析:sin(2α+2 025π2)=sin(2α+1 012π+π2)=sin(2α+π2)=cs 2α,
若sin(2α+2 025π2)=2+34,则cs 2α=1-2sin2α=2+34,
所以sin2α=2−38=(3−14)2.
又因为α∈(0,π),则sin α>0,所以sin α=3−14.
2.化简:sin2α−2cs2αsin(α−π4)=( )
A.22cs α B.2cs α
C.2sin αD.sin α
答案:A
解析:原式=2sinαcsα−2cs2α22(sinα−csα)
=22csα(sinα−csα)sinα−csα=22cs α.
3.(2026·贵州毕节模拟)已知cs(α+β)=110,tan αtan β=23,则cs(α-β)=( )
A.150B.116
C.110D.12
答案:D
解析:因为cs(α+β)=cs αcs β-sin αsin β=110,
tan αtan β=sinαsinβcsαcsβ=23,解得sin αsin β=15,cs αcs β=310,
所以cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=310+15=12.
4.已知tan α,tan β是方程x2-4x-3=0的两根,且α,β∈(π2,π),则α+β的值为( )
A.π4B.3π4
C.5π4D.7π4
答案:C
解析:由题意,得tanα+tanβ=4,tanα·tanβ=−3,则tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα·tanβ=41−(−3)=1.
因为α,β∈(π2,π),所以α+β∈(π,2π),故α+β=5π4.
5.若msin10°-3cs10°=4,则实数m=( )
A.3B.2
C.1D.2
答案:C
解析:msin10°-3cs10°=mcs10°−3sin10°sin10°cs10°=4,
即mcs 10°-3sin 10°=4sin 10°cs 10°=2sin 20°=2sin(30°-10°)=2sin 30°cs 10°-2cs 30°sin 10°=cs 10°-3sin 10°,故m=1.
6.(多选)下列式子计算结果为32的有( )
A.sin 240°
B.sin 23°cs 37°+cs 23°sin 37°
C.3sin 150°·1−tan15°1+tan15°
D.cs2π12-cs25π12
答案:BCD
解析:对于选项A,sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-32,故A错误;
对于选项B,sin 23°cs 37°+cs 23°sin 37°=sin(23°+37°)=sin 60°=32,故B正确;
对于选项C,3sin 150°·1−tan15°1+tan15°=3×12×tan(45°-15°)=32×33=32,故C正确;
对于选项D,cs2π12-cs25π12=cs2π12-cs2(π2-π12)=cs2π12-sin2π12=csπ6=32,故D正确.
7.(多选)已知α,β∈(0,π2),tan(α+β)=7,tan(α-β)=1,则以下说法正确的是( )
A.tan 2α=-43B.tan 2β=34
C.β=α+π4D.β=α-π4
答案:ABD
解析:因为tan(α+β)=7,tan(α-β)=1,
所以tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]=tan(α+β)+tan(α−β)1−tan(α+β)tan(α−β)=7+11−7=-43,
tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]=tan(α+β)−tan(α−β)1+tan(α+β)tan(α−β)=7−11+7=34,故A,B正确;
因为α,β∈(0,π2),所以2α,2β∈(0,π),又tan 2α0,
所以2α∈(π2,π),2β∈(0,π2),
所以α∈(π4,π2),β∈(0,π4),
所以α-β∈(0,π2),
因为tan(α-β)=1,所以α-β=π4即β=α-π4,故C错误,D正确.
8.(2026·广东深圳模拟)若cs(α+π4)=35,α∈(0,π2),则sin α= .
答案:210
解析:因为α∈(0,π2),则π4