2026年高考物理一轮讲义(福建专用)第16讲万有引力定律(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考物理一轮讲义(福建专用)第16讲万有引力定律(复习讲义)(学生版+解析)，共17页。
\l "_Tc28044" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc28044 \h 3
\l "_Tc28250" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc28250 \h 4
\l "_Tc12572" 考点一 开普勒定律 PAGEREF _Tc12572 \h 4
\l "_Tc31488" 知识点 开普勒行星运动定律 PAGEREF _Tc31488 \h 4
\l "_Tc456" 考向 开普勒行星运动定律的理解及应用 PAGEREF _Tc456 \h 5
\l "_Tc12107" 考点二 万有引力定律 PAGEREF _Tc12107 \h 7
\l "_Tc21412" 知识点1 万有引力定律 PAGEREF _Tc21412 \h 7
\l "_Tc18593" 知识点2万有引力与重力的关系 PAGEREF _Tc18593 \h 8
\l "_Tc18814" 知识点3星体表面上的重力加速度 PAGEREF _Tc18814 \h 8
\l "_Tc21909" 考向1 万有引力与重力的关系 PAGEREF _Tc21909 \h 9
\l "_Tc15029" 考向2 天体不同位置及其他星球重力加速度 PAGEREF _Tc15029 \h 11
\l "_Tc3801" 考点三 天体质量及密度的计算 PAGEREF _Tc3801 \h 14
\l "_Tc26834" 知识点1 万有引力定律的应用 PAGEREF _Tc26834 \h 14
\l "_Tc29928" 知识点2 在天体表面计算天体质量及密度（ “自力更生”法(g－R)） PAGEREF _Tc29928 \h 14
\l "_Tc27415" 知识点3 利用环绕天体计算天体质量及密度（“借助外援”法(T－r)） PAGEREF _Tc27415 \h 14
\l "_Tc16356" 考向1 在天体表面计算天体质量及密度 PAGEREF _Tc16356 \h 15
\l "_Tc18271" 考向2 利用环绕天体计算天体质量及密度 PAGEREF _Tc18271 \h 17
\l "_Tc23417" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc23417 \h 18


考点一 开普勒定律
\l "_Tc25045" 知识点 开普勒行星运动定律
注意：
①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；
②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；
③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。
得分速记
①开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运转,也适用于其他天体系统，但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
②中学阶段一般把行星的运动看成匀速圆周运动,太阳处在圆心,开普勒第三定律中的a可看成行星的轨道半径R．
③由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
④当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
\l "_Tc17630" 考向 开普勒行星运动定律的理解及应用
例1 （2022·福建厦门·模拟预测）1970年4月24日，中国第1颗人造地球卫星东方红一号发射成功，拉开了中国人探索宇宙奥秘，和平利用太空、造福人类的序幕，因此4月24日定为“中国航天日”。52年过去了，东方红一号仍然在太空飞行，运行在近地点441千米，远地点2286千米的椭圆轨道上，卫星质量173千克，运行周期114分钟。则（ ）
A．东方红一号在近地点的运行速率比远地点小
B．东方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点小
C．地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上
D．东方红一号的运行周期大于静止卫星的运行周期
【变式训练1·变载体】（2025·福建龙岩·二模）如图为中国农历二十四个节气与地球在公转椭圆轨道上对应位置的示意图。仅考虑太阳对地球的引力，则关于地球绕太阳公转过程，（ ）
A．冬至时地球的线速度比夏至时小
B．冬至时地球的加速度比夏至时大
C．经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03
D．地球自转周期的平方与公转轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数
【变式训练2·时事热点与学科知识结合】（2025·福建宁德·三模）某人造卫星绕地球运动，所受地球引力随时间变化如图所示，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（ ）
A．卫星的周期为
B．卫星绕地球运行时机械能守恒
C．卫星在近地点与远地点的速度之比为
D．卫星在近地点与远地点的加速度之比为

考点二 万有引力定律
知识点1 万有引力定律
（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
（2）表达式：F＝G eq \f(m1m2,r2) ，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
（3）适用条件：
①公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
知识点2万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
知识点3星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2)
所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2)。
(3) 万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力,即F=GM'mr2。
考向1 万有引力与重力的关系
例1 （2023福建厦门）已知地球两极的重力加速度大小为，赤道上的重力加速度大小为g．若将地球视为质量均匀分布、半径为R的球体，地球静止卫星的轨道半径为
A．B．C．D．
【变式训练1·变载体】（2023·福建莆田·模拟）2020年8月13日，“嫦娥四号”着陆器结束月夜休眠，受光照自主唤醒，进入第21月昼工作期，继续月球背面的探索之旅。若在着陆器上安装一个半径为 0.8 m、光滑的竖真圆轨道，将一质量为1 kg的小球（视为质点）沿圆弧与圆心等高点由静止滑下，小球到达最低点时对圆轨道的压力大小为4.8 N，已知月球的半径约为1.7× 103km。引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2，下列说法正确的是（ ）
A．月球表面重力加速度大小为1.6m/s
B．着陆器在近月轨道做匀速圆周运动的周期约为3.2×103s
C．月求的第一宇宙速度约为1.65×103m/s
D．月球的质量约为7.35×1019 kg
【变式训练2·变考法】（2025·福建·模拟预测）如图，两颗地球卫星A、B的轨道处于同一平面，P为A卫星椭圆轨道的远地点，两卫星轨道相切于A的近地点Q；B为近地卫星，周期为T；A卫星的远地点P到地球中心的距离为，地球半径为R，引力常量为G，求：
(1)地球表面的重力加速度g和地球质量M；
(2)A卫星的周期。
考向2 天体不同位置及其他星球重力加速度
例2如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练1·多过程问题】半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练2·变载体】（2025·福建泉州·一模）月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练3·变载体】（2023·福建·一模）在第73届国际宇航大会上，我国“天问一号”火星探测任务团队被国际宇航联合会授予2022年度“世界航天奖”。天问一号着陆器在着陆火星的动力减速阶段，从火星表面附近以的初速度竖直向下做匀减速运动，经速度减为0。已知着陆器质量约为，火星表面重力加速度取，忽略火星自转，求：
（1）着陆器在动力减速阶段下降的距离h；
（2）着陆器在动力减速阶段所受阻力大小f；
（3）若火星的半径是地球半径的，地球表面重力加速度g取，求火星与地球的质量之比。

考点三 天体质量及密度的计算
知识点1 万有引力定律的应用
基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得：
知识点2 在天体表面计算天体质量及密度（ “自力更生”法(g－R)）
1.天体质量：由，得天体质量.
2.天体密度：由天体质量及球体体积公式，得天体密度
知识点3 利用环绕天体计算天体质量及密度（“借助外援”法(T－r)）
1.天体质量：由，得天体质量.
2.天体密度：由天体质量及球体体积公式，得天体密度
3.若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
特别提醒
（1）利用环绕天体的T、r法计算的质量和密度对应中心天体，因为计算过程中环绕天体的质量被约掉了。
（2）注意区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的R只能是中心天体的半径。
考向1 在天体表面计算天体质量及密度
例1 （2024·福建福州·模拟预测）某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．该行星的自转周期为B．该行星的质量为
C．该行星赤道处的重力加速度为FmD．该行星的密度为
【变式训练1·解决实际问题】（2025·福建福州·模拟预测）设想在将来的某一天，一位航天员乘坐中国航天集团的飞行器，成功地降落在火星上。他在离火星地面表面高h（h远小于火星的半径）处无初速释放一小球，认为小球在火星表面做初速度为零的匀加速直线运动，即火星上的自由落体运动，并测得小球落地时速度为v（不计阻力），已知引力常量为G，火星半径为R，下列正确的是（ ）
A．小球下落所用的时间
B．火星表面的重力加速度
C．火星的质量
D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度
考向2 利用环绕天体计算天体质量及密度
例2 （2024·福建漳州·一模）“嫦娥七号”探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为的匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的倍。引力常量为，则（ ）
A．根据题中所给信息可求出地球的质量B．根据题中所给信息可求出月球的质量
C．周期和满足D．地球质量与月球质量之比
【变式训练1】（2023·福建福州·模拟预测）2022年7月14日下午，长征五号B火箭成功将我国空间站的首个实验舱“问天”实验舱送入太空与天和核心舱进行对接，随后神舟十四号乘组顺利进入问天实验舱，开启了太空实验的新阶段。如图所示，已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）

A．空间站绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
B．若已知空间站的运行周期则可以计算出地球的质量
C．“问天”实验舱需先进入核心舱所在的轨道，再加速追上核心舱完成对接
D．核心舱在轨运行时，舱内宇航员的加速度为0
【变式训练2】（2024·福建·一模）三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖，他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出（ ）
A．黑洞质量约为B．黑洞质量约为
C．恒星S2质量约为D．恒星S2质量约为
1．（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（ ）
A．金星与地球的公转轨道之间B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间D．天王星与海王星的公转轨道之间
2．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（ ）
A．B．C．D．
3.（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（ ）
A．B．C．D．
考点
要求
考频
2025年
2024年
2023年
（1）开普勒定律
（2）万有引力定律
应用
低频
\
\
\
考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2.命题分析：高考对万有引力定律应用的考查几乎每年都考；福建近三年在这一部分考查较少，但该部分内容仍属于热点内容。命题主要以选择题的形式出现，多以航天技术为背景。考查难度不大。
3.备考建议：本讲内容备考时候，注意理清开普勒三定律的物理内容，辨析常见误区（如误认为不同行星的相等时间扫过面积相同（实际仅对同一行星成立））重点掌握万有引力与圆周运动（向心力公式）综合应用
4.命题情境：
①生活实践类：以嫦娥工程、天问系列、中国空间站、"羲和号"太阳探测卫星等为背景；宇宙探索前沿类；小行星采矿的轨道转移问题；利用凌日法估算系外行星轨道周期
②学习探究类：同一中心天体不同轨道问题；星体质量密度问题；地球不同纬度重力加速度的比较；
5.常用方法：构建模型，比例法分析问题.
复习目标：
1.掌握开普勒定律和万有引力定律。
2.能够应用万有引力定律估算天体的质量密度。
定 律
内 容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在 的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
a3T2=k,k是一个与行星无关的常量
行星
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径
0.39
0.72
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
第16讲 万有引力定律
目录
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc21904" 01考情解码·命题预警 PAGEREF _Tc21904 \h 1
\l "_Tc28044" 02体系构建·思维可视 PAGEREF _Tc28044 \h 3
\l "_Tc28250" 03核心突破·靶向攻坚 PAGEREF _Tc28250 \h 4
\l "_Tc12572" 考点一 开普勒定律 PAGEREF _Tc12572 \h 4
\l "_Tc31488" 知识点 开普勒行星运动定律 PAGEREF _Tc31488 \h 4
\l "_Tc456" 考向 开普勒行星运动定律的理解及应用 PAGEREF _Tc456 \h 5
\l "_Tc12107" 考点二 万有引力定律 PAGEREF _Tc12107 \h 7
\l "_Tc21412" 知识点1 万有引力定律 PAGEREF _Tc21412 \h 7
\l "_Tc18593" 知识点2万有引力与重力的关系 PAGEREF _Tc18593 \h 8
\l "_Tc18814" 知识点3星体表面上的重力加速度 PAGEREF _Tc18814 \h 8
\l "_Tc21909" 考向1 万有引力与重力的关系 PAGEREF _Tc21909 \h 9
\l "_Tc15029" 考向2 天体不同位置及其他星球重力加速度 PAGEREF _Tc15029 \h 11
\l "_Tc3801" 考点三 天体质量及密度的计算 PAGEREF _Tc3801 \h 14
\l "_Tc26834" 知识点1 万有引力定律的应用 PAGEREF _Tc26834 \h 14
\l "_Tc29928" 知识点2 在天体表面计算天体质量及密度（ “自力更生”法(g－R)） PAGEREF _Tc29928 \h 14
\l "_Tc27415" 知识点3 利用环绕天体计算天体质量及密度（“借助外援”法(T－r)） PAGEREF _Tc27415 \h 14
\l "_Tc16356" 考向1 在天体表面计算天体质量及密度 PAGEREF _Tc16356 \h 15
\l "_Tc18271" 考向2 利用环绕天体计算天体质量及密度 PAGEREF _Tc18271 \h 17
\l "_Tc23417" 04真题溯源·考向感知 PAGEREF _Tc23417 \h 18


考点一 开普勒定律
\l "_Tc25045" 知识点 开普勒行星运动定律
注意：
①行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理；
②面积定律是对同一个行星而言的,不同的行星相等时间内扫过的面积不等；
③该比值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体值不同。
得分速记
①开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运转,也适用于其他天体系统，但该定律只能用在同一中心天体的星体之间。例如月球、卫星绕地球的运动。此时k是一个与中心天体有关的常量。
②中学阶段一般把行星的运动看成匀速圆周运动,太阳处在圆心,开普勒第三定律中的a可看成行星的轨道半径R．
③由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
④当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律．
\l "_Tc17630" 考向 开普勒行星运动定律的理解及应用
例1 （2022·福建厦门·模拟预测）1970年4月24日，中国第1颗人造地球卫星东方红一号发射成功，拉开了中国人探索宇宙奥秘，和平利用太空、造福人类的序幕，因此4月24日定为“中国航天日”。52年过去了，东方红一号仍然在太空飞行，运行在近地点441千米，远地点2286千米的椭圆轨道上，卫星质量173千克，运行周期114分钟。则（ ）
A．东方红一号在近地点的运行速率比远地点小
B．东方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点小
C．地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上
D．东方红一号的运行周期大于静止卫星的运行周期
【答案】C
【详解】A．根据开普勒第二定律知东方红一号与地球的连线在相等时间内扫过的面积相等，则东方红一号卫星在近地点的速率大于在远地点的速率，A错误；
B．根据
因为近地点到地心的距离小于远地点到地心的距离，则东方红一号在近地点受到地球的万有引力比远地点大，B错误；
C．东方红一号绕地球在椭圆轨道上，则地球位于东方红一号椭圆轨道的一个焦点上，C正确；
D．根据开普勒第三定律，东方红一号轨道的半长轴小于静止卫星轨道的半径，则东方红一号的运行周期小于静止卫星的运行周期，D错误。
故选C。
【变式训练1·变载体】（2025·福建龙岩·二模）如图为中国农历二十四个节气与地球在公转椭圆轨道上对应位置的示意图。仅考虑太阳对地球的引力，则关于地球绕太阳公转过程，（ ）
A．冬至时地球的线速度比夏至时小
B．冬至时地球的加速度比夏至时大
C．经过近日点、远日点两位置的瞬时速度大小之比约为1.03
D．地球自转周期的平方与公转轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数
【答案】BC
【详解】AB．地球冬至时距离太阳最近，夏至时距离太阳最远，根据开普勒第二定律可知，冬至时地球的线速度比夏至时大，根据，
冬至时地球的加速度比夏至时大，选项A错误B正确；
C．根据开普勒第二定律可知，经过近日点、远日点两位置
可得
选项C正确；
D．根据开普勒第三定律，地球公转周期的平方与公转轨道半长轴三次方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数，选项D错误。
故选BC。
【变式训练2·时事热点与学科知识结合】（2025·福建宁德·三模）某人造卫星绕地球运动，所受地球引力随时间变化如图所示，假设卫星只受地球引力，下列说法正确的是（ ）
A．卫星的周期为
B．卫星绕地球运行时机械能守恒
C．卫星在近地点与远地点的速度之比为
D．卫星在近地点与远地点的加速度之比为
【答案】BD
【详解】A．由图可知，卫星的周期为，选项A错误；
B．卫星绕地球运行时，只有地球引力做功，则机械能守恒，选项B正确；
C．卫星在近点时
远点时
可知
根据开普勒第二定律，卫星在近地点与远地点时
可知近地点与远地点的速度之比为
选项C错误；
D．根据，
可知卫星在近地点与远地点的加速度之比为，选项D正确。
故选BD。

考点二 万有引力定律
知识点1 万有引力定律
（1）内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
（2）表达式：F＝G eq \f(m1m2,r2) ，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。
（3）适用条件：
①公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
知识点2万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。
(1)在赤道上：Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg2。
知识点3星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2)。
(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，由mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2)
所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2)。
(3) 万有引力的“两个推论”
推论1:在匀质球壳的空腔内任意位置处,质点受到球壳的万有引力的合力为零,即F引=0。
推论2:在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M')对其的万有引力,即F=GM'mr2。
考向1 万有引力与重力的关系
例1 （2023福建厦门）已知地球两极的重力加速度大小为，赤道上的重力加速度大小为g．若将地球视为质量均匀分布、半径为R的球体，地球静止卫星的轨道半径为
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】地球静止卫星公转周期等于地球自转的周期，根据万有引力提供向心力及在地球两极表面万有引力等于重力，列式即可解题．
【详解】设地球质量为M，地球赤道上物体的质量为m，地球静止卫星的轨道半径为h，地球的自转周期为T，则地球两极的物体受到引力等于其重力，即为，而赤道上物体受到引力与支持力差值提供向心力，即为，静止卫星所受万有引力等于向心力，故地球静止卫星轨道半径为，故A正确．
【变式训练1·变载体】（2023·福建莆田·模拟）2020年8月13日，“嫦娥四号”着陆器结束月夜休眠，受光照自主唤醒，进入第21月昼工作期，继续月球背面的探索之旅。若在着陆器上安装一个半径为 0.8 m、光滑的竖真圆轨道，将一质量为1 kg的小球（视为质点）沿圆弧与圆心等高点由静止滑下，小球到达最低点时对圆轨道的压力大小为4.8 N，已知月球的半径约为1.7× 103km。引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2，下列说法正确的是（ ）
A．月球表面重力加速度大小为1.6m/s
B．着陆器在近月轨道做匀速圆周运动的周期约为3.2×103s
C．月求的第一宇宙速度约为1.65×103m/s
D．月球的质量约为7.35×1019 kg
【答案】AC
【详解】A．球（视为质点）沿圆弧与圆心等高点由静止滑下，由动能定理得
在最低点，由牛顿第二定律得
根据牛顿第三定律可知
解得
A正确；
BC．着陆器在近月轨道，由重力提供向心力，有
解得
，
B错误，C正确；．
D．在月球表面，有
解得
D错误。
故选AC。
【变式训练2·变考法】（2025·福建·模拟预测）如图，两颗地球卫星A、B的轨道处于同一平面，P为A卫星椭圆轨道的远地点，两卫星轨道相切于A的近地点Q；B为近地卫星，周期为T；A卫星的远地点P到地球中心的距离为，地球半径为R，引力常量为G，求：
(1)地球表面的重力加速度g和地球质量M；
(2)A卫星的周期。
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）对于近地卫星B，由万有引力提供磁场力可得
解得地球质量为
在地球表面有
解得地球表面的重力加速度为
（2）A卫星轨道半长轴为
根据开普勒第三定律可得
解得A卫星的周期为
考向2 天体不同位置及其他星球重力加速度
例2如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力，未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分的引力等于小球对物体N的引力，根据万有引力定律可得，
联立可得
故选B。
【变式训练1·多过程问题】半径为R、质量分布均匀且为M的两个相同的球固定在水平面上，两个球球心之间的距离为4R，它们间的万有引力大小为 F。现在两球心的连线外侧各挖掉一个直径为 R 的小球，剩余部分放在相同位置，如图所示。则剩余部分之间的万有引力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设小球对另一个大球的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球的万有引力大小为，小球对小球的万有引力大小为，小球对另一个大球剩余部分的万有引力大小为，大球剩余部分对另一个大球剩余部分的万有引力大小为。由题可知，挖掉小球的质量
所以
故选D。
【变式训练2·变载体】（2025·福建泉州·一模）月球绕地球公转的同时也在自转，月球的自转周期恰好与公转周期相同，使得月球始终以同一面朝向地球，这种现象称为“同步自转”。月球公转近似看成半径为r的圆周运动。已知月球半径为R0，地球半径为R，地球极地处的重力加速度大小为g。月球表面各处的重力加速度因自转而不同，其极地与赤道处的重力加速度大小之差为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】在地球极地处，万有引力等于重力
地球对月球的万有引力提供向心力
在月球极地处
在月球赤道处
联立，解得
故选A。
【变式训练3·变载体】（2023·福建·一模）在第73届国际宇航大会上，我国“天问一号”火星探测任务团队被国际宇航联合会授予2022年度“世界航天奖”。天问一号着陆器在着陆火星的动力减速阶段，从火星表面附近以的初速度竖直向下做匀减速运动，经速度减为0。已知着陆器质量约为，火星表面重力加速度取，忽略火星自转，求：
（1）着陆器在动力减速阶段下降的距离h；
（2）着陆器在动力减速阶段所受阻力大小f；
（3）若火星的半径是地球半径的，地球表面重力加速度g取，求火星与地球的质量之比。
【答案】（1）3840m；（2）6240N；（3）1:10
【详解】（1）根据运动学公式，有
（2）动力减速阶段下降过程中的加速度为
根据牛顿第二定律，有
代入数据解得
（3）在地球表面，万有引力等于重力，有
在火星表面，万有引力等于重力，有
联立可得

考点三 天体质量及密度的计算
知识点1 万有引力定律的应用
基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.即得：
知识点2 在天体表面计算天体质量及密度（ “自力更生”法(g－R)）
1.天体质量：由，得天体质量.
2.天体密度：由天体质量及球体体积公式，得天体密度
知识点3 利用环绕天体计算天体质量及密度（“借助外援”法(T－r)）
1.天体质量：由，得天体质量.
2.天体密度：由天体质量及球体体积公式，得天体密度
3.若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
特别提醒
（1）利用环绕天体的T、r法计算的质量和密度对应中心天体，因为计算过程中环绕天体的质量被约掉了。
（2）注意区别中心天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的R只能是中心天体的半径。
考向1 在天体表面计算天体质量及密度
例1 （2024·福建福州·模拟预测）某星系中有一颗质量分布均匀的行星，其半径为R，将一质量为m的物块悬挂在弹簧测力计上，在该行星极地表面静止时，弹簧测力计的示数为F；在赤道表面静止时，弹簧测力计的示数为F。已知引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．该行星的自转周期为B．该行星的质量为
C．该行星赤道处的重力加速度为FmD．该行星的密度为
【答案】D
【详解】物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力
在赤道表面静止时，万有引力和重力的合力提供向心力
其中
联立解得
A.根据向心力公式
可得，该行星的自转周期为
故A错误；
B．物块在该行星极地表面静止时，万有引力等于重力
解得
故B错误；
C．在赤道表面静止时，根据平衡条件，重力等于弹簧测力计的拉力，即
解得
故C错误；
D．根据
可知，该行星的密度为
故D正确。
故选D。
【变式训练1·解决实际问题】（2025·福建福州·模拟预测）设想在将来的某一天，一位航天员乘坐中国航天集团的飞行器，成功地降落在火星上。他在离火星地面表面高h（h远小于火星的半径）处无初速释放一小球，认为小球在火星表面做初速度为零的匀加速直线运动，即火星上的自由落体运动，并测得小球落地时速度为v（不计阻力），已知引力常量为G，火星半径为R，下列正确的是（ ）
A．小球下落所用的时间
B．火星表面的重力加速度
C．火星的质量
D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度
【答案】BC
【详解】AB．根据动力学公式
解得火星表面的重力加速度为
小球下落所用的时间，故A错误，B正确；
C．根据万有引力与重力的关系
解得火星的质量为，故C正确；
D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度为，故D错误。
故选BC。
考向2 利用环绕天体计算天体质量及密度
例2 （2024·福建漳州·一模）“嫦娥七号”探测器将于2026年前后发射，准备在月球南极登陆，登陆月球前假设探测器绕月球做周期为的匀速圆周运动，轨道半径可认为等于月球半径。月球绕地球做周期为的匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的倍。引力常量为，则（ ）
A．根据题中所给信息可求出地球的质量B．根据题中所给信息可求出月球的质量
C．周期和满足D．地球质量与月球质量之比
【答案】D
【详解】A．月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，则有
解得
由于不知道月球的半径，故不能求出地球的质量，故A错误；
B．嫦娥七号绕月球表面做匀速圆周运动的周期为，则有
解得
由于不知道月球的半径，故不能求出月球的质量，故B错误；
C．开普勒第三定律是相对于同一个中心天体的，不同的中心天体该表达式不正确，故C错误；
D．地球的质量与月球的质量之比等于
故D正确。
故选D。
【变式训练1】（2023·福建福州·模拟预测）2022年7月14日下午，长征五号B火箭成功将我国空间站的首个实验舱“问天”实验舱送入太空与天和核心舱进行对接，随后神舟十四号乘组顺利进入问天实验舱，开启了太空实验的新阶段。如图所示，已知空间站在距地球表面高约400km的近地轨道上做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）

A．空间站绕地球运行的速度大于第一宇宙速度
B．若已知空间站的运行周期则可以计算出地球的质量
C．“问天”实验舱需先进入核心舱所在的轨道，再加速追上核心舱完成对接
D．核心舱在轨运行时，舱内宇航员的加速度为0
【答案】B
【详解】A．第一宇宙速度是最大的环绕速度，空间站绕地球运行的速度小于第一宇宙速度，选项A错误；
B．根据
空间站的轨道半径已知，若再已知空间站的运行周期，则可以计算出地球的质量，选项B正确；
C．“问天”实验舱需先进入低于核心舱所在的轨道，再加速做离心运动追上核心舱完成对接，选项C错误；
D．核心舱在轨运行时，舱内宇航员做匀速圆周运动，则加速度不为0，选项D错误。
故选B。
【变式训练2】（2024·福建·一模）三位科学家因在银河系中心发现一个超大质量的黑洞而获得了诺贝尔物理学奖，他们对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出（ ）
A．黑洞质量约为B．黑洞质量约为
C．恒星S2质量约为D．恒星S2质量约为
【答案】B
【详解】设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r=1AU，地球的公转周期为T=1年；
由万有引力提供向心力可得
解得
对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R=1000AU，根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期为（2002-1994）年=8年，则周期为
T′=16年
根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出
其中R为S2的轨迹半长轴，因此有
代入数据解得
M黑≈4×106M
根据题中条件无法求解恒星S2的质量。
故选B。
1．（2025·云南·高考真题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为，八大行星绕太阳的公转轨道半径如下表所示。忽略其它行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（ ）
A．金星与地球的公转轨道之间B．地球与火星的公转轨道之间
C．火星与木星的公转轨道之间D．天王星与海王星的公转轨道之间
【答案】C
【详解】根据开普勒第三定律可知
其中，，
代入解得
故可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间。
故选C。
2．（2024·海南·高考真题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设月球半径为，质量为，对嫦娥六号，根据万有引力提供向心力
月球的体积
月球的平均密度
联立可得
故选D。
3.（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有
可得
故A错误，B正确；
CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得
可得
故C正确，D错误。
故选BC。
考点
要求
考频
2025年
2024年
2023年
（1）开普勒定律
（2）万有引力定律
应用
低频
\
\
\
考情分析：
1.命题形式：单选题非选择题
2.命题分析：高考对万有引力定律应用的考查几乎每年都考；福建近三年在这一部分考查较少，但该部分内容仍属于热点内容。命题主要以选择题的形式出现，多以航天技术为背景。考查难度不大。
3.备考建议：本讲内容备考时候，注意理清开普勒三定律的物理内容，辨析常见误区（如误认为不同行星的相等时间扫过面积相同（实际仅对同一行星成立））重点掌握万有引力与圆周运动（向心力公式）综合应用
4.命题情境：
①生活实践类：以嫦娥工程、天问系列、中国空间站、"羲和号"太阳探测卫星等为背景；宇宙探索前沿类；小行星采矿的轨道转移问题；利用凌日法估算系外行星轨道周期
②学习探究类：同一中心天体不同轨道问题；星体质量密度问题；地球不同纬度重力加速度的比较；
5.常用方法：构建模型，比例法分析问题.
复习目标：
1.掌握开普勒定律和万有引力定律。
2.能够应用万有引力定律估算天体的质量密度。
定 律
内 容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在 的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
a3T2=k,k是一个与行星无关的常量
行星
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径
0.39
0.72
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30