河北唐山市丰南区区2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷（含解析）

这是一份河北唐山市丰南区区2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷（含解析），共6页。试卷主要包含了回答选择题时，选出每小题答案后等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. 扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用弧长公式计算得解.
【详解】扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为.
故选：D
2. 若复数满足，则对应的点位于复平面的（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】由题利用复数的除法运算可求复数，根据复数几何意义即可求解.
【详解】根据题意，
，在复平面对应的点为位于第三象限.
故选：C.
3. 在边长为的正三角形中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积定义直接求解即可.
【详解】.
故选：C.
4. 如图，棱长为1的正方形中，异面直线AC与所成的角是（ ）

A. 120°B. 90°C. 60°D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解.
【详解】连接，因为且，

所以四边形为平行四边形，
则可得，所以直线AC与所成的角为或其补角.
在正方体中可知，所以可知.
故选：C
5. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解.
【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则，
所以该圆锥侧面积与其表面积的比为.
故选：B
6. 已知中，分别为角的对边，已知，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理可得，由此可得，，然后解三角即可得到周长.
【详解】，由正弦定理得
，
又，
所以，
则，或，（舍），
所以，，
则，
.
故选：A.
7. 某学校高一､高二､高三年级学生人数之比为，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为（ ）
A. 7B. 10C. 15D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据分层抽样的特点即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的特点知高一年级抽取学生人数为.
故选：C.
8. 一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（ ）
A. “甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”
B. “甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”
C. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”
D. “甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”
【答案】C
【解析】
【分析】由互斥，对立事件定义分析各选项可得答案.
【详解】A选项，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故A错误；
B选项，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故B错误；
C选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故C正确；
D选项，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故D错误.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．
9. 某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于至之间，将成绩数据按照分组，作出频率分布直方图如图所示，则（ ）
A.
B. 估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于分的有人
C. 估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是
D. 估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由所有矩形条的面积和为，列方程求，判断A，由频率分布直方图求成绩不低于分的频率，再由频率频数样本量的关系，求结论，判断B，根据平均数的计算公式求平均数，判断C，根据中位数定义求中位数判断D.
【详解】对于A，由频率分布直方图，得，解得，故A正确；
对于B，成绩不低于分的频率为，所以估计成绩不低于分的有人，故B正确；
对于C，成绩的平均值，故C正确；
对于D，成绩在，的频率依次为，
显然中位数，则，解得，故D错误.
故选：ABC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. ，
B.
C. 若，，则的最小值为1
D. 若是关于x的方程的根，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.
【详解】对于A，，设复数，则，，
故，A正确；
对于B，由于，故，B错误；
对于C，，设，由于，则，
故，
由，得，则，
故当时，的最小值为1，C正确；
对于D，是关于x的方程的根，
故，即，
故，D正确，
故选：ACD
11. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
D. 的最大值为3
【答案】ACD
【解析】
【分析】应用向量垂直计算判断A，应用向量平行得出正切进而得出角判断B，根据投影向量公式计算得出夹角判断C，应用向量坐标模长公式计算结合正弦值域判断D.
【详解】对于A，由，得，因此，故A正确；
对于B，若，则，所以，所以，故B错误；
对于C，因，，
由在上的投影向量为，解得，
又，，故C正确；
对于D，因，
故，
当，即时，
也即时，取得最大值9，即的最大值为3，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为_____.
【答案】.
【解析】
【分析】根据正方体的表面积，可得正方体边长，然后计算外接球的半径，利用球的表面积的公式，可得结果.
【详解】设正方体边长，正方体外接球的半径为
由正方体的表面积为24，所以
则，又，所以
所以外接球的表面积为：
故答案为：
本题考查正方体外接球的表面积，属基础题.
13. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出总平均数，然后根据分层方差和总方差关系直接计算可得.
【详解】总平均数，
则总样本方差.
故答案为：
14. 图，在正方体中，是的中点，二面角的正切值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由二面角的平面角定义作出所求角，解三角形，即可求得答案.
【详解】在正方形中，连接交于O点，连接，
则，即，又平面，平面，
故，而平面，
故平面，平面，则，
即得为二面角的平面角，
设正方体的棱长为2，
则，
故，
即二面角的正切值为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，．
（1）用，，表示，，；
（2）求异面直线AC与所成角的正切值．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可；
（2）利用空间向量的数量积定义计算，再根据空间向量数量积的运算分别求，，，根据向量夹角余弦公式求解，即可异面直线AC与所成角的余弦值，根据同角三角函数关系求正切值即可.
【小问1详解】
，
，
；
【小问2详解】
因为，
，
又，，
所以，
，
，
设异面直线AC与所成角为，
则，
所以，故，
所以异面直线AC与所成角的正切值为.
16. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示：
（1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）
（2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率.
【答案】（1）0.008；平均数为，中位数；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出，再估算平均数和中位数.
（2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率.
【小问1详解】
依题意，，解得，
数学成绩的平均数为
由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62，
所以该校数学成绩的中位数，则，解得；
【小问2详解】
抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人，
记在内的4人为a，b，c，d，在内的1人为A，
从5人中任取3人，，共10个，
选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种，
所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是.
17. 某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：

（1）填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内);
（2）补全频率分布直方图;
（3）若成绩在[80，100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人.
【答案】（1）表格见解析
（2）作图见解析 （3）504
【解析】
【分析】（1）利用频率、频数和样本容量的关系即可完成此表格；
（2）利用表中数据计算出这个分数段对应的矩形高度即可完成频率分布直方图.
（3）先找出成绩分及以上对应的分数段的频率，再用该频率乘以总人数即可得到.
【小问1详解】
由频率分布表，可知样本容量为50，
故成绩在[60,70)的频数为，
成绩在[70,80)的频率为，
成绩在[90,100]的频数为，
频率为，
故频率分布表为：
【小问2详解】
频率分布直方图如图所示：
【小问3详解】
样本中成绩在[80,100]的频率为0.32 + 0.24 = 0.56，
所以估计该校获得环保纪念勋章的学生人数为900×0.56 = 504.
18. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为的中点．
（1）求证：AC1//平面BDE；
（2）当点F在棱DD1的中点时，求证：平面//平面BDE．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接交于，通过三角形中位线证得，由此证得平面；
（2）先证出四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理及面面平行的判定定理，证得平面平面.
【小问1详解】
设，连,
∵、为别为、的中点,
∴，
又平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
∵点为棱中点，为的中点．
∴且
∴为平行四边形，
∴，
又平面，平面.
∴平面.
又平面，且 ，平面，
∴平面平面.
19. 已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知，是等边三角形.
（1）求证：;
（2）求点D到平面PBC的距离;
（3）若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；
（2）根据题干数据结合即可求解；
（3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，可得，由，可得结论.,
【小问1详解】
∵点在底面上的射影是与的交点，
∴平面，
∵平面，∴，
∵四边形为菱形，∴，
∵， 平面，∴平面，
∵平面，∴；
【小问2详解】
由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，
，，
，，
，
设点到平面的距离为，
由得，
即，解得，
故点到平面的距离为.
【小问3详解】
设直线与平面所成的角为，
，平面，平面，
平面，
到平面的距离即为到平面的距离.
过作垂线平面交于点，则，
此时，
由（2）易知，，
，
则的边上的高为，
，而，
.分组
频数
频率
[50，60)
4
0.08
[60，70)
0.16
[70，80)
10
[80，90)
16
0.32
[90，100]
合计
50
分组
频数
频率
[50，60)
4
0.08
[60，70)
8
0.16
[70，80)
10
0.20
[80，90)
16
0.32
[90，100]
12
0.24
合计
50
1