河北省唐山市丰南区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省唐山市丰南区2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 是虚数单位，则复数（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B
2. 已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ）
A. 垂直B. 共线
C. 不垂直D. 以上都可以
【答案】A
【解析】因为，所以，
故选：A
3. 若复数的实部与虚部互为相反数，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】根据复数除法法则(分子分母同时乘以分母的共轭复数)得
，因为该复数的实部与虚部互为相反数，所以 ，故选C
4. 如图，已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由，得，而，
所以.
故选：A.
5. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列命题正确的是（ ）
A. 平面B. 与相交
C. 与是异面直线D. 四边形为正方形
【答案】A
【解析】因为分别为的中点，在正方体中易证平面，不在平面内，所以平面，A对，
在平面内，与平面相交于点，不在上，所以与为异面直线，B错，
因为分别为的中点，易知，所以与共面，C错，
设正方体的棱长为2，易知，，
，所以四边形为菱形而不是正方形，D错，
故选：A．
6. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知,则四边形的周长为（ ）
A. 8B. 10C. 12D.
【答案】B
【解析】由题设知：原四边形中且，所以原四边形为平行四边形，而，则原四边形中，故
，综上，四边形的周长为.
故选：B
7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，由正弦定理可得，
即，又，所以，因为且，所以，所以又，所以，.
故选：B
8. 如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（ ）
A. 16B. C. 18D.
【答案】C
【解析】取的中点的中点，连接，，，
，所以四点共面，
如图所示.
，且平面，平面，所以平面，
因为，且，所以四边形是平行四边形，则，且平面，平面，
所以平面，且，平面，
所以平面平面，所以四边形即为平面截该正方体所得截面，易得，
所以四边形的面积.
故选：C.
二、多选题
9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 的相反向量是
B. 若，则
C. 在上的投影向量为
D. 若，则
【答案】AC
【解析】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；
对于B，因为，所以，又，
且，所以，解得，故B错误；
对于C，因为，所以，，所以在上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，又，且，所以，解得，故D错误．
故选：AC.
10. 已知是两个不重合平面，是两条不重合直线，则下列说法错误的是（ ）
A. 若，则与是异面直线
B. 若，则平行于内的无数条直线
C. 若，则
D. 若，则与一定相交
【答案】AD
【解析】对A，若，则与平行或异面，故A错误；
对B，若，则平面内所有与平行的直线都与平行，故B正确；
对C，若，则平面内所有直线都与平行，
因为，所以，故C正确；
对D，若，当时，，故D错误.
故选：AD
11. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则以下说法正确的是（ ）
A.
B. 是钝角三角形
C. 若，则外接圆半径为
D. 若周长为15，则内切圆半径为
【答案】ACD
【解析】因为，由正弦定理可得：，又，故可得
，设，则；
对A：，故A正确；
对B：根据大边对大角，为最大角，又，则，又，故为锐角，则△为锐角三角形，故B错误；
对C：由B知：，为锐角，故，
又，设外接圆半径为，由正弦定理可得：，则，故C正确；
对D：若周长为15，即，则，故，设内切圆半径为，则，即，解得，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题
12. 已知两个单位向量满足则的夹角为______
【答案】
【解析】两边平方得，设的夹角为，
即，因为为单位向量，所以，
解得，因为，所以.
故答案为：
13. 河北省邢台市又称卧牛城，其卧牛雕像现坐落于达活泉公园．如图，为了测量卧牛雕像的高度，选取了与该雕像底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，在点C处测得点A的仰角为，，，，则卧牛雕像的高度______m．（参考数据：取，）
【答案】5
【解析】在中，因为，
由余弦定理可得，即，
在中，可得，
所以卧牛雕像的高度m.
故答案为：5.
14. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，现有一箱这种的陀螺共重（不包含箱子的质量），陀螺的密度为（取3）．则该箱中有这样的陀螺__________个．如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，则共需涂颜料_________
【答案】 40 ；
【解析】由，得，
圆锥部分的体积为，圆柱部分的体积为，
则一个陀螺的体积为，质量为，
所以该箱中共有陀螺个；
由图知，，则圆锥的侧面积为，
圆柱侧面积为，底面面积为，
因此一个陀螺的表面积为，
则，
所以给这箱陀螺的每个表面涂上颜料共需涂的颜料.
故答案为：40；
四、解答题
15. 已知平面向量.
（1）若，求向量的坐标；
（2）若，求的值；
（3）若向量，若与共线，求的值.
解：（1）因为，所以，解得，故，
则.
（2）因为，所以，则，则.
（3），，
若与共线，则，解得，即，
故.
16. 如图，在平面四边形ABCD中，，．
（1）若，，求的值；
（2）若，，求三角形的面积．
解：（1）在中，，，则由余弦定理得
，所以，
在中，，，，所以由正弦定理得
，得,
，得；
（2）在中，，由余弦定理得
，
在中，，，则余弦定理得
,
因为，所以，
化简得，解得，
所以，
因为，所以，
所以的面积.
17. 如图，正四棱台中，上底面边长为，下底面边长为，为的中点，侧棱长为3.
（1）证明：平面；
（2）求该正四棱台的表面积.
解：（1）连结，交于点，连结.
在正四棱台中，底面为正方形，所以为中点，
又为的中点，
又平面，平面，
平面.
（2）由已知，梯形中，，，，
过作，交于点，
，，
所以梯形的面积为
正四棱台的表面积为：
.
18. 已知的内角，，的对边分别为，，，且 ．
（1）求；
（2）若，角的平分线交于点，的周长为15，求的长．
解：（1）由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
因为，所以．
（2）因为，，所以．
在中，由余弦定理可得：，所以．
因为为角的平分线，所以，
因为，
所以，
即，所以．
19. 如图，正三棱柱中，分别是棱的中点.
（1）判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由）
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
解：（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交.
理由如下：因平面,平面, 平面,
故直线与直线是异面直线；
又因平面，因点是的中点，,
故相交，设交点为,则点平面，
又点平面，故直线与平面相交.
（2）取的中点为，连接
∵是棱的中点，
∴且
∵点是棱的中点，
∴且
∴且
∴四边形是平行四边形
∴.
且平面，平面，
所以平面.
（3）当点为棱的中点时，平面平面，

证明：∵分别是棱的中点，
∴，∵ ，∴ ，
∵平面，平面，∴平面，
∵分别是棱的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵，平面，
∴平面平面.