2025-2026学年湖南省株洲四中高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年湖南省株洲四中高二（下）期中数学试卷，共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U={x|0＜x＜6，x∈Z}，集合A={1，2，3}，则∁UA=（ ）
A. {4，5}B. {4，5，6}C. {1，2，3}D. {x|3＜x＜6}
2.已知正项数列{an}是公比不为1的等比数列，，则m+n=（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 16
3.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. 2x+πy-π=0B. 2x-πy-π=0C. D.
4.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下
根据上表可得回归方程，则实数a的值为（ ）
A. 37.3B. 38C. 39D. 39.5
5.，则a1+a2+a3+a4=（ ）
A. 16B. 65C. 80D. 81
6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（λ＞0且λ≠1），则点P的轨迹是个圆.在平面直角坐标系中，已知O（0，0），A（3，0），若直线上存在点M与点O，A的距离之比为，则实数b的取值范围是（ ）
A. （-5，3）B. [-5，3]C. （-3，5）D. [-3，5]
7.已知A，B为样本空间中的两个随机事件，其中，则P（B）=（ ）
A. B. C. D.
8.已知f（x）是定义在区间（0，+∞）上的函数，且x4f′（x）+4x3f（x）=（x+2）ex，f（1）=2e,则（ ）
A. f（x）只有1个零点
B. f（x）有2个零点
C. ∀x∈（0，+∞），f（x）≥3x
D. ∀x∈（0，+∞），
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知某AI软件公司为迎合市场的需求开发了一款新型智能AI写作软件，现将该软件上市后的月份x以及每个月获得的利润y（单位：万元）之间的关系统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（ ）
A.
B. 可以估计每增加1个月份，月利润提高2.8万元
C. 可以估计10月份的利润为26.8万元
D. 5月份利润的残差为0.4万元
10.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F也是椭圆的一个焦点，过点（-1，1）作C的两条切线，斜率分别为k1，k2，对应的切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），则（ ）
A. B. （i=1，2）
C. 点F在直线MN上D. MN的中点到y轴的距离为
11.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，BB1=4，M，N分别是AB，CC1的中点，点P在A1D1上运动（含端点），则（ ）
A. 该长方体外接球的表面积为24π
B. 点P到平面ABN的距离的最大值为
C. 过D1，M，N三点的平面截该长方体所得截面图形的周长为
D. 过D1，M，N三点的平面截该长方体所得截面图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某市10000名高一学生的某次数学测试得分X（单位：分）服从正态分布X～N（60，σ2），若P（X＜70）=0.75，则得分高于50分的人数约为 .
13.勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数n,存在质数p,满足n2＜p＜（n+1）2，我们把区间（n2，（n+1）2）称为正整数n的质数分布区间.现从集合{1，2，3，4，5，6}中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有 种.（用数字作答）
14.函数的图象本质是双曲线，那么该双曲线的离心率是 ，焦距是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为.
（1）求数列{an}的通项公式an；
（2）记，求数列{bn}的前n项和.
16.(本小题15分)
在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以ξ表示抽取的指令中成功完成的个数.
（1）求ξ的分布列和数学期望；
（2）另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为p,若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求p的值.
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为边长为2的正三角形，PA⊥AC，PB=PC.
（1）证明：平面PAB⊥平面ABC.
（2）已知PA=1，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=alnx-（x-1）ex，其中a∈R.
（1）若a≤0，求f（x）的单调区间；
（2）若a＞e,
（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；
（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞1，证明：x0+2lnx0＞x1.
19.(本小题17分)
已知点R是圆O：x2+y2=4上的动点，过点R作x轴的垂线段RD，D为垂足，T为线段RD的中点.
（1）求点T的轨迹方程E；
（2）过点M（4，0）的直线l与曲线E交于A，B两点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若曲线E与x轴交于A1，A2两点，直线A1A，A2B分别与直线x=4相交于P，Q两点，求的值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】7500
13.【答案】4
14.【答案】
8

15.【答案】解：（1）因为数列的前n项和为，
当n=1时，，
当n≥2时，，
所以，
又当n=1时，an=n也成立，
所以数列{an}的通项公式为an=n.
（2）由（1）可得，
设数列{bn}的前n项和为Tn，
则Tn=b1+b2+b3+⋯+bn
=．
16.【答案】分布列为：
0.25
17.【答案】取BC的中点D，连接AD，PD，
∵△ABC为边长为2的正三角形，∴AD⊥BC，
∵PB=PC，∴PD⊥BC，
∵PD∩AD=D，PD，AD⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD，
∵PA⊂平面PAD，∴BC⊥PA，
∵PA⊥AC，AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥平面ABC，
∵PA⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面ABC
18.【答案】（1）解：已知函数f（x）=alnx-（x-1）ex，
求导得：，
因为a≤0，对任意x＞0，都有，
因此f（x）=alnx-（x-1）ex的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
（2）（i）证明：f（x）=alnx-（x-1）ex，，a>e,x>1,
令g（x）=a-，a>e,x>1,
当x＞1时，g′（x）=（-2x-x2）ex=-x（x+2）ex＜0，
故g（x）在（1，+∞）上单调递减，
因为a＞e,因此g（a）=a-a2ea=a（1-aea）＜0，
又g（1）=a-e>0，故g（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点m,且m∈（1，a）；
因此当x∈（1，m）时，g(x)>0，，
当x∈（m,+∞）时，g(x)