2024-2025学年湖南省株洲四中高一（下）期末数学试卷(含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省株洲四中高一（下）期末数学试卷(含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足i⋅z=1−i，则|z|=( )
A. 12B. 1C. 2D. 2
2.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且|a|=1,|b|=1,|c|=2，则|a+b+c|=( )
A. 2B. 4C. 2或4D. 1或4
3.已知f(x)是在R上单调递增的奇函数，则函数y=f(x)csx在[−2,2]上的图象可能为( )
A. B.
C. D.
4.圆锥SO的底面圆半径OA=1，侧面的平面展开图的面积为3π，则此圆锥的体积为( )
A. 2 23πB. 2 33πC. 4 23πD. 8 33π
5.已知某中学共有学生1000名，其中男生有600人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生身高的平均数和方差分别为160和4，女生身高的平均数和方差分别为155和3，则估计该校学生身高的总体方差是( )
A. 9.6B. 9C. 8.6D. 8
6.如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原来的路程约多了(参考数据：sin18°≈0.31，sin27°≈0.45， 2≈1.41)( )
A. 45.5kmB. 51.5km
C. 56.5kmD. 60.5km
7.已知△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所在的对边，且a=4，b+c=5，tanB+tanC+ 3= 3tanB⋅tanC，则△ABC的面积为( )
A. 34B. 3 3C. 3 34D. 34
8.设角α1、α2满足12+sinα1+12+sin2α2=2，则|10π−α1−α2|的最小值为( )
A. π4B. π3C. π2D. π6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z满足|z|= 6，则下列结论正确的是( )
A. z在复平面内对应的点可能是(2, 2) B. z⋅z−=4
C. z的实部与虚部之积小于等于3 D. 复数z1=1+i，则|z−z1|的最大值为 6+ 2
10.以下结论正确的是( )
A. “事件A，B互斥”是“事件A，B对立”的充分不必要条件．
B. 掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一次出现奇数点”，B=“第二次出现偶数点”，则A与B相互独立
C. 假设P(A)=0.7，P(B)=0.8，且A与B相互独立，则P(A∪B)=0.56
D. 若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与事件A，B互斥不能同时成立
11.在平面四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则( )
A. 异面直线AC，BD所成的角是π4B. BD⊥平面AEC
C. 平面ABD⊥平面AECD. V三棱锥A−BCD=2V三棱锥E−ACD
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知平面向量a=(t−1,2−t)，b=(3,−2)，若a//b，则t=______．
13.某中学举办电脑知识竞赛，满分为100分，80分以上为优秀，现将高一两个班参赛学生的成绩进行整理后分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第五组[90,100]，其中第一、三、四、五小组的频率分别为0.30，0.15，0.10，0.05，而第二小组的频数是40，则参赛的人数为______，成绩优秀的经验概率是______．
14.已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC的重心.过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E.设AD=λAB，AE=μAC，则1λ+1μ= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=asin(π−x)csx+cs(2x+π4)，且f(π4)= 22．
(Ⅰ)求a的值和函数f(x)的最小正周期；
(Ⅱ)求不等式f(x)> 32的解集；
(Ⅲ)在△ABC中，AB=1，AC= 3，AD为BC边上的中线，设∠BAD=α，f(34α)= 22，请直接写出α的值和BC的长．
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P−ABCD为正四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，四棱锥的高为1，点E在棱AB上，且2AE=EB．
(1)若点F在棱PC上，是否存在实数λ满足PF=λFC，使得BF//平面PDE？若存在，请求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．
(2)在第(1)问的条件下，当BF//平面PDE时，求三棱锥P−DEF的体积．
17.(本小题15分)
高一年级疫情期间举行全体学生的数学竞赛，成绩最高分为100分，随机抽取100名学生进行了数据分析，将他们的分数分成以下几组：第一组[0,20)，第二组[20,40)，第三组[40,60)，第四组[60,80)，第五组[80,100]，得到频率分布直方图，如图所示．
(1)试估计这次竞赛成绩的众数和平均数；
(2)已知100名学生落在第二组[20,40)的平均成绩是32，方差为7，落在第三组[40,60)的平均成绩为50，方差为4，求两组学生成绩的总平均数x−和总方差s2；
(3)已知年级在第二组[20,40)和第五组[80,100]两个小组按等比例分层抽样的方法，随机抽取4名学生进行座谈，之后从这4人中随机抽取2人作为学生代表，求这两名学生代表都来自第五组[80,100]的概率．
18.(本小题12分)
如图1，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，将△BCD沿BD折起至△BPD(如图2)，且点E为AP的中点．
(1)证明：平面ABP⊥平面BDE；
(2)若AP⋅AC=9，求平面PBC与平面BDE夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
如图，在正四面体A−BCD中，棱长为2，E为CD中点．
(1)求证：CD⊥平面ABE．
(2)已知F为棱BC上一点(不含端点)，CF=x，M为线段AF上一动点，N为截面ABE上一动点．
(i)若存在M，N使得平面FMN//BD，求x范围．
(ⅱ)设CM+MN的最小值为关于x的函数f(x)，求f(x)值域．
参考答案
1.C
2.D
3.B
4.A
5.A
6.C
7.C
8.A
9.ACD
10.BD
11.BCD
12.4
13.100 0.15
14.3
15.(Ⅰ)f(x)=asin(π−x)csx+cs(2x+π4)
=asinxcsx+cs2xcsπ4−sin2xsinπ4
=a− 22sin2x+ 22cs2x，
因为f(π4)= 22，所以a− 22×1+ 22×0= 22，即a=2 2，
所以f(x)= 22sin2x+ 22cs2x=sin(2x+π4)，
所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．
(Ⅱ)由f(x)=sin(2x+π4)> 32，得2kπ+π3