2024-2025学年湖南省株洲二中高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省株洲二中高二（下）期中数学试卷（含答案），共1页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知f(x)=ln(2x)，则f′(1)=( )
A. ln2B. 2C. 12D. 1
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3+a6=11，则S8=( )
A. 43B. 44C. 87D. 88
3.志愿者甲参加第21届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为14，14，12，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为45，34，23.若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为( )
A. 173240B. 93173C. 80173D. 13
4.(x−1 x)n(n∈N∗)的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为( )
A. 8B. 12C. 15D. −20
5.一家制造厂有n条生产线，每条生产线每天生产一件产品，每个产品是“良品”的概率为p，否则为“次品”，每条生产线的生产过程相互独立.每天生产结束后对所有产品进行检测，“良品”被误检测为“次品”的概率(即漏检率)为1−r，“次品”被误检测为“良品”的概率(即误接受率)为t.被检测为“良品”的产品出货，否则报废.则该制造厂每天出货的产品件数平均为( )
A. np(1−r−t)B. np(1−r+t)C. n[(1−p)r+pt]D. n[pr+(1−p)t]
6.等比数列{an}的前n项和Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=( )
A. 72B. 81C. 90D. 99
7.若函数f(x)=lnx+ax2−2在区间(14,3)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,−12)B. (−18,+∞)C. (−12,+∞)D. (−∞,−118)
8.关于x的不等式e2a+x⋅lnx3.841=x0.05．
语文成绩和数学成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．
(2)从全校数学成绩优秀的人中任取1人语文成绩优秀的概率为p=90150=35．
可得X服从二项分布，即X～B(3,35)．
X取值为0，1，2，3．
P(X=0)=C30(35)0⋅(25)3=8125；P(X=1)=C31(35)1⋅(25)2=36125；
P(X=2)=C32(35)2⋅(25)1=54125；P(X=3)=C33(35)3⋅(25)0=27125．
X的分布列为：
E(X)=3×35=95．
17.(1)当a=1时，f(x)=ex−1，
求导得f′(x)=ex，所以f′(0)=1，又f(0)=0，
所以f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=x．
(2)当a=1时，ℎ(x)=ex−ln(x+1)−1，所以ℎ′(x)=ex−1x+1=xex+ex−1x+1，
令g(x)=xex+ex−1，求导得g′(x)=ex+xex+ex=ex(x+2)，
因为x>−1，所以g(x)在(−1,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(−1)=−1．
因为ℎ′(0)=0，所以当−11时，ℎ(x)无零点：
先证ex≥x+1：
记u(x)=ex−x−1，则u′(x)=ex−1，
当x∈(−∞,0)时，u′(x)0，
所以u(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
所以u(x)≥u(0)=0，即ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，
再证lnx≤x−1：
由ex≥x+1，得elnx≥lnx+1，即x≥lnx+1，
所以lnx≤x−1，当且仅当lnx=0，即x=1时等号成立，
所以ℎ(x)=aex−ln(x+1)−1>ex−ln(x+1)−1−x+1=0，
因此当a>1时，ℎ(x)没有零点．
综上所述，a=1时，ℎ(x)有1个零点；当a>1时，ℎ(x)没有零点．
18.解：(1)证明：如图所示，以DA、DC、DD1 所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)，
B(1,1,0)，E(0,0,1)，A1(1,0,2)，
C1(0,1,2)，B1(1,1,2)，F(1,1,1)，
∵FC1=(−1,0,1)，AE=(−1,0,1)，
∴FC1//AE，
∴FC1//AE；
又EF=(1,1,0)，
设直线FC1到直线AE的距离为d2，
则d2即为F到直线AE的距离，
又d2= |EF|2−(AE⋅EF|AE|)2= 62，
∴直线FC1到直线AE的距离为 62；
(2)设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=−x+z=0n⋅B1E=−x−y−z=0，取n=(1,−2,1)，
设点A1到平面AB1E的距离为d2，
∴d2=|A1B1⋅n||n|=|(0,1,0)⋅(1,−2,1)| 1+4+1= 63，
则点A1到平面AB1E的距离为 63．
19.解：(1)由题意设双曲线C的标准方程为：x2a2−y2b2=1(a,b>0)，
则c= 9−5=2= a2+b2，3a2−6b2=1，
解得a2=1，b2=3，
∴双曲线C的标准方程为x2−y23=1．
(2)设直线l的方程为my=x−2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
把x=my+2代入双曲线方程可得：(3m2−1)y2+12my+9=0，
∵直线l交双曲线的右支于A，B两点，
∴3m2−1≠0，Δ>0，1m> 3，或1m