2024-2025学年湖南省株洲二中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省株洲二中高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1, 3)，则z的共轭复数z−=( )
A. 1+ 3iB. 1− 3iC. −1+ 3iD. −1− 3i
2.在△ABC中，已知BC=6，A=π3，B=π4，则AC=( )
A. 2 3B. 3 2C. 2 6D. 3 6
3.已知空间中非零向量a，b，且|a|=1，|b|=2，=60°，则|2a−b|的值为( )
A. 1B. 2C. 2D. 4
4.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是( )
A. 54B. 4 55C. 52D. 2 55
5.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x−4，则不等式f(x)≥0的解集为( )
A. [−2,2]B. [−2,0]∪[2,+∞)
C. [−2,0)∪[2，+∞)D. (−∞,−2]∪[2,+∞)
6.若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西60°方向，且|OA|=|OB|=2km，则向量OA+OB表示( )
A. 从点O出发，朝北偏西60°方向移动2 3km B. 从点O出发，朝北偏西75°方向移动2 3km
C. 从点O出发，朝北偏西60°方向移动2km D. 从点O出发，朝北偏西75°方向移动2km
7.已知△ABC中，点P满足PA+PB=CP，点Q在△PBC内(含边界)，其中AQ=xAB+yAC，则下列说法中不正确的是( )
A. 若x=13，y=23，则CQBQ=12 B. 若P，Q两点重合，则AQ=13AB+13AC
C. 存在x，y，使得x+2y=12能成立 D. 存在x，y，使得x+2y=32能成立
8.如图，在△ABC中，已知∠ACB=120°，将△ABC以AC为轴旋转一周形成的几何体的体积为V1，以BC为轴旋转一周形成的几何体的体积为V2，若V1=2V2，则ACBC=( )
A. 12B. 13
C. 14D. 15
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 随机试验的频率与概率相等
B. 如果一事件发生的概率为99.9999%，说明此事件必然发生
C. 只有不确定事件有概率
D. 若事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1
10.下列说法正确的是( )
A. z⋅z−=|z|2，z∈C
B. 若a+bi=1+i(a,b∈C)，则a=b=1
C. 若|z|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1
D. 若−4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根，则p=8
11.已知四棱锥P−ABCD如图，AB//CD且AB=2CD，M，N分别是AP，AB的中点，则下列说法正确的有( )
A. PC//平面DMN
B. 四棱锥P−ABCD的体积为V1，三棱锥D−AMN的体积为V2，则V1V2=92
C. 平面PCD与平面PAB的交线记为l1，则直线l1//平面ABCD
D. 平面PDA与平面PBC的交线记为l2，则直线l2//平面DMN
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若i为虚数单位，则复数z=2+i1+i的虚部为______．
13.如图所示，一个平面图形在斜二测画法下的直观图为直角梯形O′A′B′C′(上底为2，下底为4，高为2)，则原平面图形的面积为______．
14.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asinA+bsinB−csinCasinB=2sinC，则∠C的大小为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知O为坐标原点，A(4,0)，B(1,m)，C(0,3)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若点M满足OM=xOA+(2−x)OC，求|OM|的最小值．
16.(本小题15分)
在①ca+b=1−ab+c，② 3asinC=2csinAsinB，③(2a−c)csB=bcsC这三个条件中任选一个补充在下面问题中并作答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足_____．
(1)求角B的大小；
(2)若b=6，AC⋅BC=0，求△ABC的周长．
注：如果边择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17.(本小题15分)
如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2，在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N)，将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体．
(1)求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．
18.(本小题17分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，棱长AB=2，M为DD1的中点．
(1)求证：BD1//平面AMC；
(2)设E为BD1上的动点，问在棱CC1上是否存在一点N，使得EN//平面AMC？若存在说明N的位置并证明，若不存在说明理由；
(3)设三棱锥D−MAC的体积为V1，三棱锥D1−B1AC的体积为V2，求V1V2的值．
19.(本小题17分)
我们知道，正弦定理和余弦定理可以准确地刻画三角形中的边角关系.由于四边形可以分割为三角形，从而正余弦定理也可以解决有关四边形的问题.圆内接四边形作为一类特殊的四边形，有着非常好的性质，比如对角互补.如图，△AOB中，OA=2，OB=4，点C是△AOB外接圆上的一个动点(点O，C在直线AB两侧)，记∠AOB=θ．
(1)若OC=3OA+OB，求θ的值；
(2)若OA⋅OB=−2，求|OC|的最大值；
(3)若点C满足OC⋅AB=16，BC=4，求四边形OACB的面积．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.B
5.B
6.C
7.C
8.A
9.ABC
10.ACD
11.ACD
12.−12
13.12 2
14.π4
15.解：(1)因为A(4,0)，B(1,m)，C(0,3)，
所以AB=(1,m)−(4,0)=(−3,m)，AC=(0,3)−(4,0)=(−4,3)，
又A，B，C三点共线，所以AB//AC，
所以−3×3=−4m，解得m=94；
(2)因为A(4,0)，C(0,3)，
所以OA=(4,0)，OC=(0,3)，
所以OM=xOA+(2−x)OC=x(4,0)+(2−x)(0,3)=(4x,6−3x)，
所以|OM|= (4x)2+(6−3x)2= 25x2−36x+36= 25(x−1825)2+57625，
所以当x=1825时，|OM|min=245．
16.(1)若选①，由ca+b=1−ab+c，所以ca+b=b+c−ab+c，
所以b2=a2+c2−ac，由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，所以csB=12，因为B∈(0,π)，所以B=π3；
若选② 3asinC=2csinAsinB，则 3ac=2casinB，所以sinB= 32，因为B∈(0,π)，所以B=π3或2π3；
若选③(2a−c)csB=bcsC，由正弦定理可得(2sinA−sinC)csB=sinBcsC，
所以2sinAcsB=sinBcsC+sinCcsB，所以2sinAcsB=sin(B+C)=sinA，
因为sinA≠0，所以csB=12，因为B∈(0,π)，所以B=π3；
(2)因为AC⋅BC=0，所以AC⊥BC，所以C=π2，又由(1)可知B=π3，所以A=π6，
由正弦定理得asinA=csinC=bsinB=6 32=4 3，
所以a+c=4 3(sinA+sinC)=4 3(sinπ6+sinπ2)=6 3，
所以C△ABC=a+b+c=6 3+6．
17.解：(1)连接OM，则OM⊥AB，

设OM=r，OB=2−r，
在△BMO中，sin∠ABC=r2−r=12⇒r=23，
∴S=4πr2=169π；
(2)∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2，∴AC=2 33，
∴旋转体的体积V=V圆锥−V球=13π×AC2×BC−43πr3=13π×(2 33)2×2−43π×827=4081π．
18.解：(1)证明：如图，连接BD，设BD∩AC=F，
连接MF，则F为BD中点，又M为DD1的中点，
所以BD1//MF，又BD1⊄平面AMC，MF⊂平面AMC，
所以BD1//平面AMC；
(2)如图，当E为BD1的中点时，可使得EN//平面AMC，理由如下：
当E为BD1的中点时，又F为BD中点，所以EF//D1D，且EF=D1D，
又NC//D1D，且NC=D1D，
所以EF//NC，且EF=NC，
所以四边形EFCN为平行四边形，
所以EN//FC，又EN⊄平面AMC，FC⊂平面AMC，
所以EN//平面AMC；
(3)根据题意可得三棱锥D−MAC的体积为V1=VM−ACD=13×12×2×2×1=23，
三棱锥D1−B1AC的体积为V2=23−4×13×12×23=83，
所以V1V2=2383=14．
19.(1)因为OC=3OA+OB，所以OC−OB=3OA，即BC=3OA，所以BC/​/OA，
因为OA=3，所以BC=3OA=6，因为BC/​/OA，所以∠OAC+∠BCA=π，
因为∠AOB+∠BCA=π，所以∠OAC=∠AOB=θ，
所以四边形OABC为等腰梯形，其BC边上的高为 42−(6−22)2=2 3，
则sinθ=sin(π−θ)=sin∠AOB=2 34= 32，
因为0