专题八：统计与概率（11考点二十五考法）期末专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

这是一份专题八：统计与概率（11考点二十五考法）期末专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册，共3页。试卷主要包含了75等内容，欢迎下载使用。
考点1：随机抽样 PAGEREF _Tc230438306 \h 3
考法1：抽样方法的选择 PAGEREF _Tc230438307 \h 3
考法2：分层随机抽样的样本量分配 PAGEREF _Tc230438308 \h 3
考法3：随机数的生成与应用 PAGEREF _Tc230438309 \h 4
考点2：频率分布直方图 PAGEREF _Tc230438310 \h 5
考法4：由频率分布直方图求频率 PAGEREF _Tc230438311 \h 5
考法5：由频率分布直方图估计总体 PAGEREF _Tc230438312 \h 7
考点3：数字特征估计总体 PAGEREF _Tc230438313 \h 7
考法6：计算平均数、中位数、众数 PAGEREF _Tc230438314 \h 7
考法7：由频率分布直方图估计平均数/中位数 PAGEREF _Tc230438315 \h 9
考法8：计算方差与标准差 PAGEREF _Tc230438316 \h 11
考法9：百分位数的计算与应用 PAGEREF _Tc230438317 \h 12
考点4：其他统计图表 PAGEREF _Tc230438318 \h 13
考法10：从统计图表中提取信息 PAGEREF _Tc230438319 \h 13
考法11：统计图表的综合对比 PAGEREF _Tc230438320 \h 14
考点5：用样本估计总体 PAGEREF _Tc230438321 \h 16
考法12：用样本平均数估计总体平均数 PAGEREF _Tc230438322 \h 16
专题：概率 PAGEREF _Tc230438323 \h 17
考点6：随机事件与样本空间 PAGEREF _Tc230438324 \h 17
考法13：写出随机试验的样本空间 PAGEREF _Tc230438325 \h 17
考点7：事件的关系与运算 PAGEREF _Tc230438326 \h 17
考法14：事件的关系判定 PAGEREF _Tc230438327 \h 17
考法15：事件的并与交 PAGEREF _Tc230438328 \h 20
考法16：利用互斥事件和对立事件求概率 PAGEREF _Tc230438329 \h 20
考点8：古典概型 PAGEREF _Tc230438330 \h 21
考法17：列举法求古典概型概率 PAGEREF _Tc230438331 \h 21
考法18：有放回与不放回抽样 PAGEREF _Tc230438332 \h 22
考点9：概率的性质 PAGEREF _Tc230438333 \h 23
考法19：互斥事件加法公式的应用 PAGEREF _Tc230438334 \h 23
考法20：对立事件公式的应用 PAGEREF _Tc230438335 \h 23
考点10：事件的相互独立性 PAGEREF _Tc230438336 \h 24
考法21：判断事件是否相互独立 PAGEREF _Tc230438337 \h 24
考法22：利用独立事件公式求概率 PAGEREF _Tc230438338 \h 25
考法23：多事件独立性的概率计算 PAGEREF _Tc230438339 \h 27
考点11：频率与概率 PAGEREF _Tc230438340 \h 30
考法24：用频率估计概率 PAGEREF _Tc230438341 \h 30
考法25：随机模拟方法的应用 PAGEREF _Tc230438342 \h 31
专题：统计
考点1：随机抽样
考法1：抽样方法的选择
1.（填空）用简单随机抽样的方法从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 5 的样本，则个体 m 被抽到的概率为＿＿＿＿＿＿．
【答案】0.1
【解析】由简单随机抽样中每个个体被抽到的概率相同可得，个体 m 被抽到的概率为 550=0.1．
【点拨】简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率均为 nN（n 为样本容量，N 为总体容量）．
2.（单选）为了了解邵东市中小学生的视力情况，拟从邵东市的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到邵东市小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大.则下列抽样方法最合理的是（ ）
A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 按性别或学段分层抽样都行
【答案】C
【解析】因为邵东市小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，所以应按学段进行分层抽样．
【点拨】分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．
考法2：分层随机抽样的样本量分配
3.（多选）福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生 540 人，女生 360 人.现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本.样本中有 8 位女生的测试成绩，分别是 6，7，7，7，8，9，10，10，样本中男生测试成绩的平均数为 7.5，则（ ）
A. 样本中有 12 位男生的测试成绩
B. 样本中女生测试成绩的第 70 百分位数是 9
C. 样本中女生测试成绩的方差为 2
D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为 7.75
【答案】ABC
【解析】对于 A，由题意得，该学校高一年级共有 540+360=900 人，则样本容量为 8360900=20，所以样本中男生有 20−8=12 人，A 正确；
对于 B，由于 8×70%=5.6，所以样本中女生成绩的 70 百分位数是第 6 项 9，故 B 正确；
对于 C，样本中女生成绩的平均数为 18×(6+7+7+7+8+9+10+10)=8，所以样本中女生成绩的方差为 18×[(6−8)2+(7−8)2+(7−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2+(10−8)2]=2，故 C 正确；
对于 D，样本中所有学生测试成绩的平均数为 820×8+1220×7.5=7.7，故 D 错误．
【点拨】根据分层抽样的定义求出样本容量和各层样本数，再结合百分位数、方差和平均数的定义求解即可．
4.（单选）现有男志愿者 120 人，女志愿者 80 人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 15 的样本，则女志愿者应抽取的人数是（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】由题可得分层随机抽样的抽样比为 120:80=3:2，
所以抽取一个容量为 15 的样本，则女志愿者应抽取的人数是 15×23+2=6．
【点拨】分层抽样中，各层抽取的个体数之比等于各层总体个体数之比．
5.（单选）某企业生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2:3:5，现用按比例分配的分层随机抽样方法，抽取一个容量为 n 的样本，样本中甲型号产品有 10 件，则 n 的值为（ ）
A. 20 B. 30 C. 50 D. 100
【答案】C
【解析】甲、乙、丙数量之比为 2:3:5，甲型号产品占总数的 22+3+5=15．因为样本中甲型号产品有 10 件，所以样本容量 n=10÷15=50．
【点拨】分层抽样中，某层抽取的个体数等于样本容量乘以该层在总体中所占的比例．
考法3：随机数的生成与应用
6.（单选）某校从 500 名同学中用随机数法抽取 30 人参加这一项调查．将这 500 名同学编号为 001,002,⋯500，假设从第 1 行第 4 列的数字开始，则第 5 个被抽到的同学的编号为（ ）
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
A. 331 B. 047 C. 447 D. 672
【答案】B
【解析】从第 1 行第 4 列的数字开始，每次读取 3 位数字，依次为：
442（有效），175（有效），572（无效），175（重复，无效），455（有效），608（无效），331（有效），047（有效）．
所以第 5 个被抽到的同学编号为 047．
【点拨】利用随机数表法抽样时，要注意跳过不在总体编号范围内的数以及重复的数．
考点2：频率分布直方图
考法4：由频率分布直方图求频率
7.（解答）为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了 100 份试卷进行调查，这 100 份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为 0.9，第一组和第五组的频率相同．
求 a，b 的值，并估计这 100 名同学面试成绩的平均数；
【答案】a=0.005，b=0.025，平均数为 69.5
【解析】由题意可知，第二、三、四组的频率之和为 0.9，
即 10×(b+0.045+0.020)=0.9，解得 b=0.025．
又所有组的频率之和为 1，且第一组和第五组的频率相同，
所以 2×10a+0.9=1，解得 a=0.005．
由直方图知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05．
平均数为：50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5．
【点拨】在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为 1，平均数等于各组组中值与该组频率乘积的累加和．
8.（多选）某学校为了调查学生在一周生活方面支出情况，抽出了一个容量为 n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在 [50,60) 内的学生有 60 人，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本中支出在 [50,60) 内频率为 0.03
B. 样本中支出不少于 40 元的人数为 132
C. n 的值为 200
D. 若该校有 2000 名学生，则估计有 600 人支出在 [50,60) 内
【答案】BCD
【解析】样本中支出在 [50,60) 内的频率为 1−(0.01+0.024+0.036)×10=0.3，故 A 错误；
样本容量 n=600.3=200，故 C 正确；
样本中支出不少于 40 元的频率为 0.36+0.3=0.66，人数为 200×0.66=132，故 B 正确；
若该校有 2000 名学生，则估计有 2000×0.3=600 人支出在 [50,60) 内，故 D 正确．
【点拨】频率分布直方图中，小矩形的面积等于该组的频率，各组频率之和等于 1．
9.（解答）2025 年 7 月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 [45,55)，第二组 [55,65)，第三组 [65,75)，第四组 [75,85)，第五组 [85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求 a 的值．
【答案】0.025
【解析】由频率分布直方图中各小矩形的面积之和为 1，可得 10×(0.005+0.045+0.020+0.005+a)=1，解得 a=0.025．
【点拨】在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为 1．
考法5：由频率分布直方图估计总体
10.（解答）某地区市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准 x（千瓦时）：月用电量不超过 x 的部分按平价收费，超出 x 的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了 100 位居民每人的月均用电量（千瓦时），将数据按照 [0,100)，[100,200)，⋯，[600,700) 分成 7 组，制成了如图所示的频率分布直方图．
若该市有 900 万居民，估计全市居民中月均用电量不低于 400 千瓦时的人数；
【答案】495 万人
【解析】由图可得，用电量不低于 400 千瓦的频率为 0.3+0.15+0.1=0.55，
故全市居民中月均用电量不低于 400 千瓦时的人数为 900×0.55=495 万人．
【点拨】用样本的频率分布估计总体分布时，总体的频数估计值等于总体容量乘以对应的频率．
考点3：数字特征估计总体
考法6：计算平均数、中位数、众数
11.（填空）在一次高一学生的答题测试中，10 位参加测试的同学答对题目的数量分别为 7,7,4,6,8,8,2,5,10,7，则该组数据的平均数为＿＿＿＿＿＿；该组数据的第 70 百分位数为＿＿＿＿＿＿．
【答案】6.4；7.5
【解析】这 10 个数据从小到大排列为：2,4,5,6,7,7,7,8,8,10，
平均数为 110(2+4+5+6+7+7+7+8+8+10)=6.4，
因为 10×70%=7，所以第 70 百分位数为第 7 个和第 8 个数的平均数，即 7+82=7.5．
【点拨】计算百分位数时，先将数据从小到大排序，再计算 n×p%，若为整数，则取该位置与下一位置数据的平均数．
12.（单选）某项比赛共有 7 个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ）
A. 极差 B. 45% 分位数 C. 平均数 D. 众数
【答案】B
【解析】不妨设原始数据为：1,1,1,3,3,4,8，
原始数据的极差为：8−1=7，平均数为 17(1+1+1+3+3+4+8)=3，众数为 1，
去掉一个最高分与一个最低分后剩下数据为：1,1,3,3,4，
剩下数据的极差为：4−1=3，平均数为 15(1+1+3+3+4)=2.4，众数为 1 和 3，
由此可知，与原始数据相比，剩下数据的极差，平均数，众数可能发生改变，故 A，C，D 错误，
对于 B 项，假设这 7 个数据从小到大为 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7，
去掉一个最高分与一个最低分后剩下数据为：x2,x3,x4,x5,x6，
因为 7×0.45=3.15，5×0.45=2.25，
所以原始数据的 45% 分位数为第四个数，即 x4，剩下的数据的 45% 分位数为第 3 个数，即 x4
所以与原始数据相比，剩下数据的 45% 分位数不变，故 B 正确；
【点拨】去掉最高分和最低分，处于中间位置的百分位数通常不受影响，而极差、平均数、方差等受极端值影响较大．
13.（多选）下列命题正确的是（ ）
A. 一组数据 0，1，2，2，3，3，3，4，5 的众数是 3
B. 已知随机事件 A 和 B，若 P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(AB)=0.12，则 A 和 B 相互独立
C. 若学校田径队有 49 名运动员，其中男运动员有 28 人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为 14 的样本，则女运动员应抽取 8 人
D. 已知样本数据 x1,x2,x3,⋯,xn 的平均数为 x，方差为 s2，若样本数据 ax1+2,ax2+2,ax3+2,⋯,axn+2（a>0）的平均数为 4x，方差为 9s2，则平均数 x=2
【答案】ABD
【解析】对于 A，一组数据 0，1，2，2，3，3，3，4，5 的众数是 3，故 A 正确；
对于 B，已知随机事件 A 和 B，若 P(A)=0.3，P(B)=0.4，P(AB)=0.12，则 P(AB)=P(A)P(B)，所以 A 和 B 相互独立，故 B 正确；
对于 C，若学校田径队有 49 名运动员，其中男运动员有 28 人，现进行比例分配的分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为 14 的样本，则女运动员应抽取 14×49−2849=6 人，故 C 错误；
对于 D，已知样本数据 x1,x2,x3,⋯,xn 的平均数为 x，方差为 s2，若样本数据 ax1+2,ax2+2,ax3+2,⋯,axn+2（a>0）的平均数为 4x，方差为 9s2，则 a2s2=9s2，解得 a=3，又 ax+2=4x，即 3x+2=4x，解得 x=2，故 D 正确．
【点拨】若数据 xi 的平均数为 x，方差为 s2，则数据 axi+b 的平均数为 ax+b，方差为 a2s2．
考法7：由频率分布直方图估计平均数/中位数
14.（多选）将某工厂新生产的 10000 件产品的质量大小统计如下图所示，则（ ）
A. 质量在区间 [1.20,1.25) 的产品有 2000 件
B. 质量在区间 [1.05,1.10) 的频率为 0.2
C. 这 10000 件产品的质量的中位数大于 1.15
D. 这 10000 件产品的质量的众数为 1.175
【答案】BD
【解析】依题意，因为 10000×0.05×3=1500，故 A 错误；
4×0.05=0.2，B 正确；
前三块小矩形的面积依次为 0.05,0.2,0.28，而 0.05+0.2+0.28>0.5，
故这 10000 件产品质量的中位数小于 1.15，故 C 错误；
众数为 1.15+1.202=1.175，故 D 正确；
【点拨】频率分布直方图中，最高矩形底边中点的值为众数；平分直方图面积的垂直线对应的横坐标为中位数．
15.（解答）寒假期间某学校团委组织学生开展志愿服务活动，假期过后对学生的志愿服务时长（单位：小时）作一次随机抽样调查，画出频率分布直方图如图所示.根据志愿服务时长从长到短，时长在前 34% 的学生可获得“优秀志愿之星”的称号.
试估计至少需要参加多少小时的志愿服务活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号.
【答案】24
【解析】依题意知所求时长为这组数据的第 66 百分位数，
因为 4×(0.005+0.04+0.085)=0.520.66，
所以第 66 百分位数 y 位于 [22,26) 内，
所以 0.52+(y−22)×0.07=0.66，
解得 y=0.66−+22=24，
所以至少需要参加 24 个小时的志愿活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号．
【点拨】求前 p% 的临界值，即求该组数据的第 100−p 百分位数，在直方图中通过面积累加寻找对应横坐标．
16.（解答）从三明市某高中学校 1200 名男生中随机抽取 50 名测量身高，被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组 [155,160)，第二组 [160,165)，⋯，第八组 [190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为 3.
估计该校男生身高的中位数；
【答案】174.5
【解析】由图知：身高在 [155,160) 的频率为 0.008×5=0.04，
身高在 [160,165) 的频率为 0.016×5=0.08，
身高在 [165,170) 的频率为 0.04×5=0.2，
因为 0.04+0.08+0.2=0.32，0.5−0.32=0.18，
所以设这所学校男生的身高中位数为 x，则 170