2025-2026学年下学期广西省金太阳高三数学2026年5月联考试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期广西省金太阳高三数学2026年5月联考试卷含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数 z=6i−1+i ,则 z=
A. 6+6i B. 6-6i
C. −6−6i D. −6+6i
2. 已知命题 p:∀x1 ,命题 q:∃xfx ,则 x 的取值范围为
A. −∞,0 B. −∞,12 C. −∞,1 D. −∞,2
4. 某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有 60% 的学生喜欢足球, 80% 的学生喜欢篮球, 50% 的学生既喜欢足球又喜欢篮球. 若对只喜欢足球和只喜欢篮球的学生用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查, 抽取的样本中只喜欢足球的学生有 3 人, 则抽取的样本中只喜欢篮球的学生有
A. 3 人 B. 4 人 C. 6 人 D. 9人
5. 若 sinα+π4=13 ,则 sin2α=
A. 429 B. 79 C. −79 D. −429
6. 已知点 −2,3,−2,−3,4,15,4,−3 中有 3 个点在双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a> 0,b>0) 上,则双曲线 C 的渐近线方程为
A. y=±x B. y=±2x
C. y=±3x D. y=±15x
7. 某社区使用无人机配送生活物资，配送站 A 的位置为 A4,3 (单位:千米)，小区 B 的位置为 B3,1 . 若无人机飞行过程中存在恒定风力干扰，对应位移偏移单位向量为 ω= 22,−22 ，即无人机每主动飞行 1 千米，会额外叠加ω的偏移位移. 目标位移对应的向量是无人机主动飞行对应的向量与风力偏移对应的向量之和. 若无人机要从 A 沿直线匀速精准到达 B ,则其主动飞行的方向向量为
A. −72,12 B. −32,12
C. −322,12 D. −22,12
8. 若 a2−b>2b−2a ,则
A. a>b B. ab>0 的焦点， P 为椭圆 C 上的动点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 A,B ,若存在点 P ,使得四边形 OAPB 为矩形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,2sinA+BcsA−B=sin2C .
(1)求 △ABC 的内角中最大的角的大小；
(2)点 D 在边 BC 上，且 AB=BD ，若 5b=3a,△ACD 的面积为 6，求 AD .
16.(15分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中， PD⊥ 平面 ABCD ， AD//BC ， AD⊥AB ， BC=2AD=2 ， PD= AB=3 ,点 E 在棱 PB 上,且 PE=λPB00 .
二次函数 y=x2−ax+1 的图象过点 0,1 ,对称轴为直线 x=a2 ,当 a2≤0 或 a2>0,Δ=a2−4≤0时,y=x2−ax+1≥0 在 0,+∞ 上恒成立,此时 a≤2 . 5 分
故当 a≤2 时, f′x=x2−ax+1x2≥0,fx 在 0,+∞ 上单调递增.
因为 f1=0 ,所以 fx 只有 1 个零点. 6 分
当 a>2 时,方程 x2−ax+1=0 有 2 个正根,记为 x4=a−a2−42 1, 7 分
所以当 x∈0,x4∪x5,+∞ 时, f′x>0 ,当 x∈x4,x5 时, f′x0,fx5ea−a2−1. 9 分
令 ga=ea−a2−1,a>2,g′a=ea−2a .
令 ℎa=g′a,a>2 ,则 ℎ′a=ea−2>0 ,所以 ℎa=g′a 在 2,+∞ 上单调递增.
g′a>g′2=e2−4>0 ,所以 ga 在 2,+∞ 上单调递增, ga>g2=e2−5>0 ,
所以 fea>0,ea>x5,fx 在 x5,ea 上有 1 个零点,即 fx 在 x5,+∞ 上有 1 个零点. 11 分同理可得 f1ea2 时, fx 有 3 个零点. 12 分
综上,当 a≤2 时, fx 只有 1 个零点; 当 a>2 时, fx 有 3 个零点. 13 分
(3)证明:结合(2)可得， 01 .
fx1=x1−1x1−alnx1=0,
f1x1=1x1−x1−aln1x1=−x1−1x1−alnx1=−fx1=0.
当 x>1 时,有且仅有 fx3=0 ,所以 1x1=x3 . 15 分
x1+x2+x3=x1+1+1x1≥2x1⋅1x1+1=3 ,当且仅当 x1=1 时,等号成立,
但 00 .
由 y=kx+b,y2=4x, 得 k2x2+2kb−4x+b2=0 .
由 Δ=2kb−42−4k2b2=0 ,得 kb=1 ,则 x=1k2,y=2k ,所以 P1k2,2k .
设过点 P 且与直线 l 垂直的直线的方程为 y=−1kx−1k2+2k , 5 分与 y2=4x 联立可得 y2+4ky−4k2−8=0 .
设 Px1,y1,Hx2,y2 ,则 y1+y2=−4k,y1y2=−4k2−8 .
PH=1+k2y1+y22−4y1y2=4k2+1k2+1k=4k2+13k2, 7 分
令 k2=xx>0 ,函数 fx=x+13x ,则 f′x=x+122x−1x2 .
当 x∈0,12 时, f′x0 ,所以 fx 在 0,12 上单调递减，在 12,+∞ 上单调递增，所以 fx≥f12=274 , 8 分
PH=4k2+13k2≥63 ,当且仅当 k=22 时,等号成立,所以 PH 的最小值为 63 .
9 分
(3)设直线 PQ:x=my+1,Px1,y1,Qx3,y3 .
由 x=my+1,y2=4x, 得 y2−4my−4=0,Δ=16m2+16>0,y1+y3=4m,y1y3=−4 ,
x1+x32=my1+y3+22=2m2+1,y1+y32=2m ,则 PQ 的中点 N2m2+1,2m .
11 分
PQ=m2+1⋅y1+y32−4y1y3=m2+1⋅16m2+16=4m2+4 ,
则以 PQ 为直径的圆的圆心为 N2m2+1,2m ,半径 R=2m2+2 . 12 分假设存在符合题意的定圆 M ,设 Ms,t ,半径为 r ,则有 MN=R±r ,
即有 2m2+1−s2+2m−t2=2m2+2−r2 恒成立,
或 2m2+1−s2+2m−t2=2m2+2+r2 恒成立. 13 分
若 2m2+1−s2+2m−t2=2m2+2−r2 ,
化简得 4m2r−s−4tm+s2+t2−r2+4r−2s−3=0 ,
则 r−s=0,−4t=0,s2+t2−r2+4r−2s−3=0, 解得 s=32,t=0,r=32,
故存在定圆 M:x−322+y2=94 ,符合题意. 15 分
若 2m2+1−s2+2m−t2=2m2+2+r2 ,
化简得 4m2r+s+4tm−s2−t2+r2+4r+2s+3=0 ,
则 r+s=0,4t=0,−s2−t2+r2+4r+2s+3=0, 解得 s=32,t=0,r=−32, 舍去. 16 分
综上,存在定圆 M:x−322+y2=94 ,使得以 PQ 为直径的圆始终与 M 相切. 17 分题序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
D
B
B
D
C
A
A
D
BD
ACD
ACD
270
1 或 -2
33,22
X
0
1
2
P
171 200
7 50
1200